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Soit \(E=\mathbb{R}_{3}[x]\) l’espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 3 à coefficients réels. On confond polynôme de \(E\) et fonction polynomiale associée définie sur \(\mathbb{R}\).
Soit \(d\) l’application définie sur \(E\) qui à tout polynôme \(P\), associe le polynôme \(d( P ) =P^{\prime}\), où \(P^{\prime}\) désigne la dérivée de \(P\).
Rappeler sans démonstration la dimension de \(E\) et la base canonique \(\mathcal{B}\) de \(E\).
Montrer que \(d\) est un endomorphisme de \(E\) et donner la matrice \(M\) associée à \(d\) dans la base \(\mathcal{B}\).
Déterminer le noyau de \(d\), \(\mathrm{Ker}(d)\), l’image de \(d\), \(\mathrm{Im}(d)\), ainsi que leurs dimensions respectives.
Déterminer les valeurs propres de \(M\) ainsi que les sous-espaces propres associés. La matrice \(M\) est-elle diagonalisable ?
On désigne par \(( d^{k}) _{k\geqslant 0}\), la suite d’endomorphismes de \(E\) définie par : \(d^{0}=I\), où \(I\) représente l’endomorphisme identité et, pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}\), \(% d^{k+1}=d^{k}\circ d\). Pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}\), \(\mathrm{Ker}(d^{k})\) dé signe le noyau de \(d^{k}\).
Déterminer pour tout \(k\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,4} \right]\kern-0.15em\right]\), le sous espace \(\mathrm{Ker}(d^{k})\) ainsi que sa dimension.
Vérifier que pour tout \(k\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,4} \right]\kern-0.15em\right]\), \(% d( \mathrm{Ker}(d^{k}) ) \subset \mathrm{Ker}(d^{k})\).
Soit \(P\) un polynôme de degré \(r\), avec \(r\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,3} \right]\kern-0.15em\right]\). Montrer que la famille \(( d^{k}( P ) ) _{0\leqslant k\leqslant r}\) est libre.
Dans cette question, on cherche à déterminer les sous espaces vectoriels \(F\) de \(E\) tels que \(d( F) \subset F\).
On suppose que \(\dim F=1\). Montrer qu’il existe un réel \(\lambda\) tel que : \[\forall P \in F,\ d(P) = \lambda P\] En utilisant le résultat de la question 3, en déduire \(F\).
On suppose que \(\dim F=2\). Montrer qu’il existe dans \(F\) un polynôme de degré supérieur ou égal à 1. En déduire \(F\).
On suppose que \(\dim F=3\). On note \(\tilde{d}\) l’endomorphisme de \(F\) défini par : pour tout \(P\) de \(F\), \(\tilde{d}( P ) =d(P)\). Montrer que \(( \tilde{d}) ^{3}=0\). En déduire \(F\).
Toutes les variables aléatoires qui interviennent dans ce problème sont supposées définies sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\). Sous réserve d’existence, on note \(\mathbb{E}(X)\) et \(\mathbb{V}(X)\) respectivement l’espérance et la variance d’une variable aléatoire \(X\), et \(\mathrm{Cov}(X,Y)\) la covariance de deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\).
Dans les parties I et III, la fonction de répartition et une densité d’une variable aléatoire \(X\) à densité sont notées respectivement \(F_{X}\) et \(f_{X}\).
On admet que les formules donnant l’espérance et la variance d’une somme de variables aléatoires discrètes, ainsi que la définition et les propriétés de la covariance et du coefficient de corrélation linéaire de deux variables aléatoires discrètes, s’appliquent au cas de variables aléatoires à densité.
Pour \(n\) entier supérieur ou égal à \(2\), on dit que les variables aléatoires à densité \(X_{1},X_{2},...,X_{n}\) sont indépendantes si pour tout \(n\)-uplet \(( x_{1},x_{2},...,x_{n})\) de réels, les évènements \(\left[ X_{1}\leqslant x_{1}\right]\), \(\left[ X_{2}\leqslant x_{2}\right]\), …, \(\left[ X_{n}\leqslant x_{n}\right]\) sont indépendants.
L’objet du problème est double. D’une part, montrer certaines analogies entre les lois géométriques et exponentielles, d’autre part mettre en évidence quelques propriétés asymptotiques de variables al éatoires issues de la loi exponentielle.
La partie II est indépendante de la partie I. La partie III est indé pendante de la partie II et largement indépendante de la partie I.
Dans cette partie, \(\lambda\) désigne un réel strictement positif. Soit \(X_{1}\) et \(X_{2}\) deux variables indépendantes de même loi exponentielle de paramètre \(% \lambda\). On pose : \[Y=X_{1}-X_{2},\quad T=\max (X_{1},X_{2} ) \quad \text{et} \quad Z=\min (X_{1},X_{2} )\]
On admet que \(Y,T\) et \(Z\) sont des variables aléatoires.
Rappeler la valeur de \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-t} \, \mathrm{d}t\).
Établir, pour tout \(% n\) de \(\mathbb{N}^{\ast}\) la convergence de l’intégrale \(\displaystyle \int _{0}^{+\infty}t^{n} \, \mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t\). Dans la suite, on note : \[\forall n \in \mathbb{N},\ I_n = \int_{0}^{+\infty}t^{n} \, \mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t\]
Soit \(n\) un entier de \(\mathbb{N}^{\ast}\). À l’aide d’une inté gration par parties, établir une relation de récurrence entre \(I_{n}\) et \(I_{n-1}\). En déduire la valeur de \(I_{n}\) en fonction de \(n\).
Justifier les relations : \[T+Z=X_{1}+X_{2} \quad \text{et} \quad T-Z=\left\vert X_{1}-X_{2}\right\vert =\left\vert Y\right\vert\]
Rappeler sans démonstration les valeurs respectives de \(\mathbb{E}(X_1), \mathbb{V}(X_1)\) et de \(\mathbb{P}( X_{1}\leqslant x)\), pour tout réel \(x\).
Calculer \(\mathbb{E}(X_{1}+X_{2})\), \(\mathbb{V}(X_{1}+X_{2})\), \(\mathbb{E}(Y)\) et \(\mathbb{V}(Y)\).
Déterminer la fonction de répartition de \(Z\).
Que valent l’espérance et la variance de \(Z\) ?
Montrer que : \[\forall t\in\mathbb{R},\ F_T(t) = \begin{cases} (1- \mathrm{e}^{-\lambda t})^2 & \text{si } t \geqslant 0 \\ \hfill 0 \hfill &\text{si } t<0 \end{cases}\]
En déduire que \(T\) est une variable aléatoire à densité et en préciser une densité \(f_T\).
Justifier l’existence de l’espérance et de la variance de \(T\) et prouver que : \[\mathbb{E}(T) =\frac{3}{2\lambda} \quad \text{et} \quad \mathbb{V}(T ) = \frac{5}{4\lambda^{2}}\]
Prouver que le coefficient de corrélation linéaire \(\rho(Z,T)\) de \(Z\) et \(T\) est : \[\rho(Z,T) = \frac{1}{\sqrt{5}}\]
Déterminer une densité \(f_{-X_2}\) de la variable aléatoire \(-X_{2}\).
Montrer que pour tout réel \(y\), l’intégrale \(\displaystyle \int_{-\infty }^{+\infty}f_{X_{1}} ( t) f_{-X_{2}} ( y-t ) \,\mathrm{d}t\) est convergente et que : \[\forall y\in\mathbb{R},\ \int_{-\infty }^{+\infty}f_{X_{1}}( t) f_{-X_{2}}( y-t) \,\mathrm{d}t= \frac{\lambda}{2} \,\mathrm{e}^{-\lambda\left\vert y\right\vert }\]
On sera amené à distinguer les cas \(y<0\) et \(y\geqslant 0\).
Établir que la fonction \(y\mapsto\frac{\lambda}{2}\, \mathrm{e}^{-\lambda\left% \vert y\right\vert }\) est une densité de probabilité sur \(\mathbb{R}\). Dans la suite, on admettra que c’est une densité de \(Y\).
Déterminer la fonction de répartition de \(\left| Y \right|\).
Que peut-on dire de la loi de \(\left| Y \right|\) ?
Dans cette partie, on considère un réel \(p\) appartenant à \(\left] 0,1\right[\) et on note \(q=1-p\). On considère alors deux variables aléatoires \(X_{1}\) et \(% X_{2}\), indépendantes et de même loi géométrique de paramètre \(p\). On pose : \[Y=X_{1}-X_{2},\quad T=\max( X_{1},X_{2}) \quad \text{et} \quad Z=\min( X_{1},X_{2})\]
On admet que les égalités établies dans la question ??? restent vraies et on pourra les utiliser sans les justifier de nouveau.
Rappeler les valeurs respectives de \(\mathbb{E}(X_1)\), \(\mathbb{V}(X_1)\) et \(\mathbb{P}(X_1=k)\) pour tout entier naturel \(k\) non nul.
Calculer \(\mathbb{E}(X_1+X_2)\), \(\mathbb{V}(X_1+X_2)\), \(\mathbb{E}(X_1-X_2)\) et \(\mathbb{V}(X_1-X_2)\).
Établir la relation : \[\mathbb{P}( X_{1}=X_{2} ) = \frac{p}{1+q}\]
Montrer que \(Z\) suit la loi géométrique de paramètre \(% 1-q^{2}\).
En déduire \(\mathbb{E}(Z)\), \(\mathbb{V}(Z)\) et \(\mathbb{E}(T)\).
Soit \(k\) un entier de \(\mathbb{N}^{\ast}\). Comparer les événements \([Z=k] \cup [T=k]\) et \([X_1 =k] \cup [X_2=k]\).
En déduire que: \[\forall k\in\mathbb{N}^\ast,\ \mathbb{P}(T=k) =2 \, \mathbb{P}(X_1 =k) - \mathbb{P}( Z=k )\]
Prouver alors que : \[\mathbb{V}(T)=\frac{q\left(2q^{2}+q+2 \right) }{( 1-q^{2}) ^{2}}\]
Préciser \((Z-T)(\Omega )\).
Pour tout \(j\in\mathbb{N}^\ast\), exprimer l’évènement \(\left[ Z=j\right] \cap% \left[ Z=T\right]\) en fonction des évènements \(\left[ X_{1}=j\right]\) et \(\left[ X_{2}=j\right]\) puis en déduire sa probabilité.
Montrer que : \[\forall (i,j) \in (\mathbb{N}^\ast)^2,\ \mathbb{P}([ Z=i] \cap [T-Z = j]) = 2p^2 q^{2i+j-2}\]
Montrer que : \[\forall k\in\mathbb{Z},\ \mathbb{P}(X_1 - X_2 = k) = \frac{pq^{\left\vert k\right\vert }}{1+q}\]
On sera amené à distinguer les cas \(k=0\), \(k>0\) et \(k<0\).
En déduire la loi de la variable aléatoire \(\left\vert X_{1}-X_{2}\right\vert\).
Établir à l’aide des questions précédentes que les variables \(Z\) et \(T-Z\) sont indépendantes.
À l’aide du résultat de la question précédente, calculer \(\mathrm{Cov}(Z,T)\). Les variables \(Z\) et \(T\) sont-elles indépendantes ?
Calculer, en fonction de \(q\), le coefficient de corrélation liné aire \(\rho(Z,T)\) de \(Z\) et \(T\).
Déterminer la loi de probabilité du couple \(( Z,T)\) .
Déterminer, pour tout \(j\) de \(\mathbb{N}^{\ast }\), la loi conditionnelle de \(T\) sachant l’événement \(\left[ Z=j% \right]\).
Soit \(j\) un élément de \(\mathbb{N}^{\ast }\). On suppose qu’il existe une variable aléatoire \(D_{j}\) à valeur dans \(\mathbb{N}% ^{\ast }\), dont la loi de probabilité est la loi conditionnelle de \(T\) sachant l’événement \(\left[ Z=j\right]\). Calculer \(\mathbb{E}( D_{j} )\).
Dans les questions ??? à ???, \(\lambda\) désigne un param ètre réel strictement positif, inconnu.
pour \(n\) élément de \(\mathbb{N}^{\ast }\), on considère un \(n\)- échantillon \(( X_{1},X_{2},...,X_{n})\) de variables alé atoires à valeurs strictement positives, indépendantes, de même loi exponentielle de paramètre \(\lambda\).
On pose pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{\ast }\) : \(S_{n}=\sum% \limits_{k=1}^{n}X_{k}\) et \(J_{n}=\lambda S_{n}\).
Calculer pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{\ast }\), \(\mathbb{E}( S_{n})\), \(\mathbb{V}( S_{n})\), \(\mathbb{E}( J_{n})\) et \(\mathbb{V}( J_{n})\).
On admet qu’une densité \(f_{J_{n}}\) de \(J_{n}\) est donnée par \(% f_{J_{n}}( x) = \begin{cases} \displaystyle \frac{\mathrm{e}^{-x} \, x^{n-1}}{( n-1) !} &\text{si } x>0 \\ \hfill 0 \hfill & \text{si } x \leqslant 0 \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\).
À l’aide du théorème de transfert, établir pour tout \(n\) supérieur ou égal à 3, l’existence de \(\mathbb{E}\! \left( \frac{1}{J_{n}}% \right)\) et de \(\mathbb{E}\! \left( \frac{1}{J_{n}^{2}} \right)\), et donner leur valeurs respectives.
On pose pour tout \(n\) supérieur ou égal à 3 : \(\widehat{% \lambda _{n}}=\dfrac{n}{S_{n}}\). Justifier que \(\widehat{\lambda _{n}}\) est un estimateur de \(\lambda\). Quelle sont les limites de son espérance et de sa variance lorsque \(n\) tend vers \({+\infty}\) ?
Dans cette question, on veut déterminer un intervalle de confiance du paramètre \(\lambda\) au risque \(\alpha\). On note \(\Phi\) la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, et \(u_{\alpha }\) le réel strictement positif tel que \(\Phi ( u_{\alpha }) =1-% \frac{\alpha }{2}\).
Énoncer le théorème limite central. En déduire que la variable aléatoire \(N_{n}\) définie par \(N_{n}=\lambda \frac{% S_{n}}{\sqrt{n}}-\sqrt{n}\) converge en loi vers la loi normale centrée r éduite.
En déduire que \(\lim\limits_{n\to+\infty} \mathbb{P}\! \left( \left[ -u_{\alpha }\leqslant N_{n}\leqslant u_{\alpha }\right] \right) =1-\alpha\).
Montrer que, pour \(n\) assez grand, l’intervalle \(\left[ \left( 1-\frac{% u_{\alpha }}{\sqrt{n}} \right) \widehat{\lambda _{n}}, \left( 1+\frac{% u_{\alpha }}{\sqrt{n}} \right) \widehat{\lambda _{n}}\right]\) est un intervalle de confiance de \(\lambda\) au risque \(\alpha\). On note \(\lambda _{0}\) la réalisation de \(\widehat{\lambda _{n}}\) sur le \(n\)-é chantillon.
Avec le \(n\)-échantillon \(( X_{1},X_{2},...,X_{n})\), on construit un nouvel intervalle de confiance de \(\lambda\) au risque \(\beta\) (\(\beta \neq \alpha\)), tel que la longueur de cet intervalle soit \(k\) (\(k>1\)) fois plus petite que celle obtenue avec le risque \(\alpha\).
Justifier l’existence de la fonction réciproque \(\Phi ^{-1}\) de \(% \Phi\). Quel est le domaine de définition de \(\Phi ^{-1}\) ?
Établir l’égalité \(\beta = \, \Phi \! \left( \frac{1}{k} \, \Phi ^{-1}( \alpha /2) \right )\). En déduire que \(\beta >\alpha\). Ce dernier résultat était-il prévisible ?
Dans les questions ??? à ???, on suppose que \(\lambda =1\).
On pose pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{\ast }\) : \(T_{n}=\max ( X_{1},X_{2},...,X_{n})\).
Pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{\ast }\), pour tout réel \(x\) positif ou nul, on pose : \[g_{n}( x) =\int_{0}^{x}F_{T_{n}}( t) \,\mathrm{d}t\quad \text{et} \quad h_{n}( x) =\int_{0}^{x}tf_{T_{n}}( t) \,\mathrm{d}t\]
Exprimer \(h_{n}( x)\) en fonction de \(F_{T_n}( x)\) et \(g_{n}( x)\).
Déterminer pour tout réel \(t\), l’expression de \(% F_{T_{n}}( t)\) en fonction de \(t\).
Établir pour tout \(n\) supérieur ou égal à 2, la relation : \(\displaystyle g_{n-1}( x) -g_{n}( x) =\frac{1}{n} \,F_{T_{n}}( x)\).
En déduire que pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{\ast }\), pour tout r éel \(x\) positif ou nul, l’expression de \(g_{n}( x)\) en fonction de \(x,F_{T_{1}}( X) ,F_{T_{2}}( x) ,...,F_{T_{n}}( x)\).
Montrer que \(F_{T_{n}}( x) -1\) est équivalent à \(% -n \,\mathrm{e}^{-x}\), lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\).
Déduire des questions c) et d) l’existence de \(\mathbb{E}( T_{n})\) et montrer que \(\mathbb{E}( T_{n}) =\sum\limits_{k=1}^{n}% \frac{1}{k}\).
On veut étudier dans cette question la convergence en loi de la suite de variables aléatoires \(( G_{n}) _{n \geqslant 1}\) dé finie par : pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{\ast }\), \(G_{n}=T_{n}-\mathbb{E}( T_{n})\).
On pose pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{\ast }\) : \(\gamma _{n}=-\ln (n)+ \mathbb{E}( T_{n})\) et on admet sans démonstration que la suite \(( \gamma _{n}) _{n \geqslant 1}\) est convergente ; on note \(\gamma\) sa limite.
Montrer que pour tout \(x\) réel et \(n\) assez grand, on a : \(\displaystyle F_{G_{n}}( x) = \left( 1-\frac{1}{n} \,\mathrm{e}^{-( x+\gamma _{n}) } \right) ^{n}\).
En déduire que pour tout \(x\) réel, on a : \(\lim\limits_{n% \rightarrow +\infty }F_{G_{n}}( x) = \mathrm{e}^{-\mathrm{e}^{-( x+\gamma ) }}\).
Montrer que la fonction \(F_{G}:\mathbb{R\rightarrow R}\) définie par \(F_{G}( x) = \mathrm{e}^{- \mathrm{e}^{-( x+\gamma ) }}\) est la fonction de répartition d’une variable aléatoire \(G\) à densité. Conclure.
Soit \(X\) une variable aléatoire à densité de fonction de r épartition \(F_{X}\) strictement croissante. Déterminer la loi de la variable aléatoire \(Y\) définie par \(Y=F_{X}( X)\).
Écrire une fonction Python d’en-tête
Gumbel qui permet de simuler la variable aléatoire \(G\). On supposera que la constante \(\gamma\) est définie en langage
Python par une constante gamma
. On rappelle que la fonction random de la
bibliothèque numpy.random permet de simuler la
loi uniforme sur \(\left]
0,1\right[\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
