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Dans tout le problème, \(N\) désigne un entier supérieur ou égal à \(1\).
On note \(\mathbb{E}(X)\) et \(\mathbb{V}(X)\) respectivement, l’espérance et la variance lorsqu’elles existent, de toute variable aléatoire réelle \(X\) définie sur un espace probabilisé.
Soit \((U_n)_{n\ge1}\) une suite de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal A,\mathbb{P})\), mutuellement indépendantes et de même loi uniforme discrète sur \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,N} \right]\kern-0.15em\right]\).
On pose, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^*\) : \(T_n=\sup(U_1,U_2,\ldots,U_n)\) et \(Z_n=\inf(U_1,U_2,\ldots,U_n)\). On admet que \(T_n\) et \(Z_n\) sont deux variables aléatoires définies sur \((\Omega,\mathcal A,P)\). Ainsi, pour tout \(\omega\in\Omega,\) on a : \[T_n(\omega)=\max(U_1(\omega),U_2(\omega),\ldots,U_n(\omega))\text{ et } Z_n(\omega)=\min(U_1(\omega),U_2(\omega),\ldots,U_n(\omega))\] On rappelle que si \(C\) désigne un élément de \(\mathcal A\), on note \(1\kern-0.35em1_C\) la variable aléatoire indicatrice de l’événement \(C\), définie sur \((\Omega,\mathcal A,\mathbb{P})\) par : \[1\kern-0.35em1_C(\omega)=\begin{cases}1&\text{ si }\omega\in C\\0&\text{ si }\omega\notin C\end{cases}\]
On pose, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^*\) : \[d_n(N)=\begin{cases}\displaystyle \sum_{k=1}^{N-1}\left(\dfrac{k}{N}\right)^{n}&\text{ si }N\geqslant 2\\ \hfill 0 \hfill &\text{ si }N=1 \rule[0pt]{0pt}{20pt}\end{cases}\]
Soit \(Y\) une variable aléatoire définie sur \((\Omega,\mathcal A,\mathbb{P})\), à valeurs dans \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,N} \right]\kern-0.15em\right]\). Établir les deux relations suivantes : \[\mathbb{E}(Y)=\displaystyle \sum_{k=0}^{N-1} \mathbb{P}( Y>k )\quad\text{ et }\quad \mathbb{E}(Y^2)=\sum_{k=0}^{N-1} \left( 2k+1 \right) \mathbb{P}( Y>k )\]
Rappeler, sans démonstration, les valeurs respectives de \(\mathbb{E}(U_1)\) et de \(\mathbb{V}(U_1)\).
Calculer, pour tout \(k\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,N} \right]\kern-0.15em\right]\), \(\mathbb{P}( T_n\leqslant k )\).
En déduire la loi de probabilité de \(T_n\).
Montrer que la suite \((d_n(N))_{n\geqslant 1}\) est convergente et calculer sa limite.
Exprimer \(\mathbb{E}(T_n)\) en fonction de \(N\) et de \(d_n(N)\). En déduire la valeur de \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \mathbb{E}(T_n)\).
Établir la formule suivante : \(\displaystyle \mathbb{V}(T_n)= \left( 2N-1 \right) d_n(N)-2N \,d_{n+1}(N)-d_n^2(N)\).
En déduire la valeur de \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} \mathbb{V}(T_n)\).
Montre que, si \(N\geqslant 2\), on a : \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty}\dfrac{d_{n+1}(N)}{d_n(N)}=1-\dfrac{1}{N}\).
En déduire que, lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\), on a : \(\mathbb{V}(T_n)\thicksim d_n(N)\).
Déterminer la loi de \(Z_n\). Calculer \(\mathbb{E}(Z_n)\) et \(\mathbb{V}(Z_n)\).
Écrire une fonction en langage Python
d’en-tête simulmax(N,n) qui renvoie une simulation de la
variable aléatoire \(T_n\).
On pose, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^*\) et pour tout couple \((k,\ell)\) de \(\mathbb{N}^2\) : \(\phi_n({k,\ell})= \mathbb{P}([T_n\leqslant k]\cap[Z_n\leqslant \ell])\).
Montrer, pour tout \((k,\ell)\in \left[\kern-0.15em\left[ {1,N} \right]\kern-0.15em\right]^2\), la relation suivante : \[\phi_n(k,\ell)=\begin{cases} \hfill \left(\dfrac{k}{N}\right)^{n} \hfill &\text{ si }k\leqslant\ell\\ \left(\dfrac{k}{N}\right)^n-\left(\dfrac{k-\ell}{N}\right)^n &\text{ si }k>\ell \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]
Établir, pour tout \((k,\ell)\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,N} \right]\kern-0.15em\right]^2\), la formule suivante : \[\mathbb{P}([T_n=k]\cap[Z_n=\ell])=\phi_n(k,\ell)+\phi_n(k-1,\ell-1)-\phi_n(k-1,\ell)-\phi_n(k,\ell-1)\]
En déduire l’expression de \(\mathbb{P}([T_n=k]\cap[Z_n=\ell])\) en fonction de \(k\) et \(\ell\). On distinguera les trois cas \(k<\ell\), \(k=\ell\) et \(k>\ell\).
On donne, pour tout couple \((m,n)\) de \((\mathbb{N}^*)^2\), les deux relations suivantes :
\(\displaystyle \sum_{j=1}^m\left[(j+1)^n-2j^n+(j-1)^n\right]=(m+1)^n-m^n -1\) ;
\(\displaystyle \sum_{j=1}^mj\left[(j+1)^n-2j^n+(j-1)^n\right]=m \left( m+1 \right)^n- \left( m+1 \right)m^n\).
En déduire, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^*\), la formule suivante : \(\mathbb{E}(T_nZ_n)=N \left[ 1+d_{n+1}(N)\right]\).
On note, pour tout \(n\) de
\(\mathbb{N}^*\), \(\rho_n\) le cœfficient de corrélation
linéaire entre \(T_n\) et \(Z_n\).
Calculer \(\displaystyle
\lim_{n\to+\infty}\rho_n\) lorsque \(N\geqslant 2\).
Pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^*\) et pour tout couple \((k,\ell)\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,N} \right]\kern-0.15em\right]^2\), calculer la probabilité conditionnelle \(\mathbb{P}_{[T_n=k]}( Z_n=\ell )\).
En déduire, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^*\) et pour tout \(k\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,N} \right]\kern-0.15em\right]\), l’expression de l’espérance conditionnelle \(\mathbb{E}(Z_n \,\vert \, [T_n=k])\) de \(Z_n\) sachant \([T_n=k]\).
Pour \(n\) entier de \(\mathbb{N}^*\), on dispose d’un \((n+1)\)-échantillon indépendant et identiquement distribué (i.i.d.) \((U_1,U_2,\ldots,U_{n+1})\) de la loi uniforme sur \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,N} \right]\kern-0.15em\right]\).
On pose : \(T_n=\sup(U_1,U_2,\ldots,U_n)\) et \(T_{n+1}=\sup(U_1,U_2,\ldots,U_{n+1})=\sup(T_n,U_{n+1})\).
Pour tout \(t=(t_1,t_2,\ldots,t_N)\) de \(\mathbb{R}^N\), on pose : \(W_t(T_n)=\displaystyle \sum_{k=1}^Nt_k\times 1\kern-0.35em1_{[T_n=k]}\).
Dans cette partie, on se propose de déterminer la valeur de \(t\) pour laquelle les deux conditions suivantes sont vérifiées :
\(\mathbb{E}(W_t(T_n))= \mathbb{E}(T_{n+1})\) ;
\(\mathbb{E}\! \left( \left[ T_{n+1}-W_t(T_n) \right]^2 \right)\) est minimale.
Soit \(t=(t_1,t_2,\ldots,t_N)\) une famille de réels deux à deux distincts.
Montrer, pour tout \(k\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,N} \right]\kern-0.15em\right]\), la relation : \(\mathbb{P}( W_t(T_n)=t_k )=\mathbb{P}( T_n=k )\).
Établir, pour tout \(k\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,N} \right]\kern-0.15em\right]\), la formule suivante : \[\mathbb{E}(T_{n+1}\times 1\kern-0.35em1_{[T_n=k]})= \mathbb{E}(T_{n+1} \,\vert \, [T_n=k])\times \mathbb{P}( T_n=k )\]
Calculer, pour tout couple \((k,j)\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,N} \right]\kern-0.15em\right]^2\), \(\mathbb{P}([T_n=k]\cap [T_{n+1}=j])\).
En déduire, pour tout couple \((k,j)\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,N} \right]\kern-0.15em\right]^2\), la probabilité conditionnelle \(\mathbb{P}_{[T_n=k]}( T_{n+1}=j )\).
Déterminer, pour tout \(k\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,N} \right]\kern-0.15em\right]\), l’expression de l’espérance conditionnelle \(\mathbb{E}(T_{n+1} \,\vert \, [T_n=k])\) de \(T_{n+1}\) sachant \([T_n=k]\).
En appliquant la formule de l’espérance totale, déduire de la question précédente la relation suivante : \[\mathbb{E}(T_{n+1})=\dfrac{N+1}{2}+\dfrac{1}{2N}\left[ \mathbb{E}(T_n^2)- \mathbb{E}(T_n)\right]\]
Établir l’égalité suivante : \(\left(W_t(T_n)\right)^2=\displaystyle \sum_{k=1}^Nt_k^2\times 1\kern-0.35em1_{[T_n=k]}\).
Soit \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}^N\) à valeurs réelles par : \[g(t_1,t_2,\ldots, t_N)= \mathbb{E}\!\left[(T_{n+1}-W_t(T_n))^2\right]\]
À l’aide des résultats des questions 11, 12 et 13, expliciter \(g\) en fonction des variables \(t_1,t_2,\dots,t_N\).
Montrer que \(g\) admet un minimum global sur \(\mathbb{R}^N\) atteint en un point \(\theta=(\theta_1,\theta_2,\ldots,\theta_N)\) que l’on déterminera en fonction de \(\mathbb{E}(T_{n+1} \,\vert \, [T_n=1])\), \(\mathbb{E}(T_{n+1} \,\vert \, [T_n=2]),\ldots, \mathbb{E}( T_{n+1} \,\vert \, [T_n=N])\).
Établir les deux relations suivantes : \[\mathbb{E}(W_\theta(T_n))=\mathbb{E}(T_{n+1})\quad\text{ et }\quad \mathbb{V}(W_\theta(T_n))\leqslant \mathbb{V}(T_{n+1})\]
Établir, pour tout \(i\) de \(\mathbb{N}^*\), l’égalité suivante : \(\displaystyle \sum_{k=1}^Nk^i\times 1\kern-0.35em1_{[T_n=k]}=(T_n)^i\).
En déduire la relation suivante : \(\displaystyle W_\theta(T_n)=\dfrac{N+1}{2}+\dfrac{1}{2N}\left( T_n^2-T_n\right)\).
Soit \(U\) une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal A,\mathbb{P})\), de loi uniforme discrète sur \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,N} \right]\kern-0.15em\right]\). On suppose que le paramètre \(N\) est inconnu.
Cette partie a pour objet la détermination d’un estimateur ponctuel de \(N\), sans biais et de variance minimale.
Pour \(n\) entier supérieur ou égal à \(1\), soit \((U_1,U_2,\ldots,U_n)\) un \(n\)-échantillon i.i.d. de la loi de \(U\).
Soit \(\varepsilon\) un réel strictement positif. On pose : \[A_n(\varepsilon )=[\left| T_n-N \right|\geqslant \varepsilon]\quad\text{ et }\quad B_n(\varepsilon )=[\left| T_n- \mathbb{E}(T_n) \right|+\left| d_n(N) \right|\geqslant \varepsilon]\]
Peut-on dire que \(T_n+d_n(N)\) est un estimateur sans biais de \(N\) ?
Montrer que la suite \((T_n)_{n\geqslant 1}\) est une suite d’estimateur asymptotiquement sans biais du paramètre \(N\).
Montrer que \(A_n(\varepsilon )\subset B_n(\varepsilon )\) et qu’il existe un entier naturel \(n_0\) tel que, pour tout \(n>n_0\), on a : \(B_n(\varepsilon )\subset \left[ \left| T_n- \mathbb{E}(T_n) \right|\geqslant \frac{\varepsilon}{2} \right]\).
En déduire que la suite d’estimateurs \((T_n)_{n\geqslant 1}\) est convergente.
Calculer, pour tout \(n\)-uplet \((u_1,u_2,\ldots,u_n)\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,N} \right]\kern-0.15em\right]^n\), \(\mathbb{P}\!\left(\displaystyle \bigcap_{i=1}^n[U_i=u_i]\right)\).
En déduire que, pour tout \(k\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,N} \right]\kern-0.15em\right]\), la loi conditionnelle du vecteur aléatoire \((U_1,U_2,\ldots,U_n)\) sachant \([T_n=k]\) est donnée par : \[\mathbb{P}_{[T_n=k]} \!\left(\displaystyle \bigcap_{i=1}^n[U_i=u_i]\right)= \begin{cases}\dfrac{1}{k^n-(k-1)^n}&\text{si } \forall i \in\left[\kern-0.15em\left[ {1,N} \right]\kern-0.15em\right],\ 1\leqslant u_i\leqslant N \text{ et } \max\limits_{1\leqslant i\leqslant n}(u_i)=k\\ \hfill 0 \hfill &\text{sinon }\end{cases}\] On remarquera que cette loi conditionnelle ne dépend pas du paramètre \(N\).
On pose, pour tout entier \(n\) de \(\mathbb{N}^*\) : \(S_n=T_n+Z_n-1\) et, pour tout \(k\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,N} \right]\kern-0.15em\right]\) : \[\psi_n(k)=\dfrac{k^{n+1}-(k-1)^{n+1}}{k^n-(k-1)^n }\]
Montrer que \(S_n\) est un estimateur sans biais de \(N\).
Établir, pour tout \(k\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,N} \right]\kern-0.15em\right]\), l’égalité : \(\psi_n(k)= \mathbb{E}(S_n \,\vert \, [T_n=k])\).
En déduire que \(\psi_n(T_n)\) est un estimateur dans biais de \(N\).
On pose, pour tout \(k\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,N} \right]\kern-0.15em\right]\) : \(\varphi_n(k)=\mathbb{E}(S_n^2 \,\vert \, [T_n=k])\).
Établir, pour tout \(k\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,N} \right]\kern-0.15em\right]\), l’inégalité : \[\psi_n^2(k)\leqslant \varphi_n(k)\] On pourra utiliser la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(\lambda\mapsto \mathbb{E}((S_n-\lambda)^2 \,\vert \, [T_n=k])\).
En déduire que \(\mathbb{V}(\psi_n(T_n))\leqslant \mathbb{V}( S_n)\).
Calculer \(\mathbb{V}(S_n)\). En déduire que \(\psi_n(T_n)\) est un estimateur convergent de \(N\).
Soit, pour \(n\) entier de \(\mathbb{N}^*\), un estimateur sans biais \(R_n\) du paramètre \(N\), admettant une variance.
On pose, pour tout \(k\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,N} \right]\kern-0.15em\right]\) : \(f_n(k)= \mathbb{E}(R_n \,\vert \, [T_n=k])\).
En utilisant une méthode analogue à celle de la question 19.d, montre que : \(\mathbb{V}(f_n(T_n))\leqslant \mathbb{V}(R_n)\).
Soit \(F\) une fonction définie sur \(\mathbb{N}^\ast\) et à valeurs dans \(\mathbb{R}\). Montrer que la condition « pour tout \(N\) de \(\mathbb{N}^*\), \(\mathbb{E}(F(T_n))=N\) » est vérifiée, si, et seulement si, pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}^\ast\), on a : \(F(k)=\psi_n(k)\).
En déduire que dans l’ensemble des estimateurs sans biais de \(N\), l’estimateur \(\psi_n(T_n)\) est optimal, dans le sens où \(\mathbb{V}(\psi_n(T_n))\) est minimale.
La partie IV constitue une démonstration du théorème de Lehmann-Scheffé dans le cas particulier d’une loi uniforme que \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,N} \right]\kern-0.15em\right]\), avec \(N\) inconnu.
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
