HEC, ESCP 2008 Maths 2ECT

Exercice 1

Dans cet exercice, on note ln le logarithme népérien.

Pour tout entier naturel \(n\), on pose : \[\displaystyle u_{n}=\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x^{n}}{1-x^{2}} \,\mathrm{d}x\] et donc en particulier, on a : \(\displaystyle u_{0}=\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{1-x^{2}} \,\mathrm{d}x\).

1. Vérifier que, pour tout réel \(x\) différent de \(1\) et de \(-1\) , on a : \[\frac{1}{1-x^{2}}=\frac{1}{2} \times \frac{1}{1-x}+\frac{1}{2} \times \frac{1}{1+x}\]

2. On considère les trois fonctions \(f, g\) et \(h\) définies sur \(\left[0, \frac{1}{2}\right]\) par : \(f(x)=\ln (1-x)\), \(g(x)=\ln (1+x)\) et \(h(x)=\ln (1-x^{2})\).

   1. Calculer, pour tout \(x\) de \(\left[0, \frac{1}{2}\right]\), les dérivées \(f^{\prime}(x)\) et \(g^{\prime}(x)\).

   2. Exprimer, pour tout \(x\) de \(\left[0, \frac{1}{2}\right]\), \(h(x)\) en fonction de \(f(x)\) et \(g(x)\).

   3. En déduire, pour tout \(x\) de \(\left[0, \frac{1}{2}\right]\), la dérivée \(h^{\prime}(x)\).

3. Déduire des questions \(2(a)\) et \(2(c)\) respectivement, que l’on a : \(\displaystyle u_{0}=\frac{\ln (3)}{2}\) et \(\displaystyle u_{1}=\frac{1}{2} \, \ln \! \left(\frac{4}{3}\right)\).

4. 1. Montrer, pour tout entier naturel \(n\), l’égalité suivante : \(\displaystyle u_{n}-u_{n+2}=\frac{1}{\left( n+1 \right) 2^{n+1}}\).

   2. En déduire les valeurs de \(u_{2}\) et de \(u_{3}\).

5. 1. Montrer que la suite \(\left(u_{n}\right)\) est décroissante.

   2. Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), on a : \(u_{n} \geqslant 0\).

   3. En déduire que la suite \(\left(u_{n}\right)\) est convergente.

6. 1. Montrer que pour tout \(x\) de \(\left[0, \frac{1}{2}\right]\), on a : \(\displaystyle \frac{1}{1-x^{2}} \leqslant \frac{4}{3}\).

   2. En déduire, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), l’inégalité suivante : \(\displaystyle u_{n} \leqslant \frac{4}{3 \left( n+1 \right) 2^{n+1}}\).

   3. Quelle est la limite de la suite \(\left(u_{n}\right)\) ?

7. On pose, pour tout entier naturel \(n\) : \(\displaystyle S_{n}=\sum_{k=0}^{n} u_{k}\), c’est-à-dire, \(S_{n}=u_{0}+u_{1}+\ldots+u_{n}\).

   1. Donner, pour tout réel \(x\) différent de 1, l’expression sous forme de fraction, de la somme \(1+x+\ldots+x^{n}\).

   2. Établir l’égalité : \(\displaystyle S_{n}=\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\left(1-x^{2}\right)(1-x)} \,\mathrm{d}x-\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x^{n+1}}{\left(1-x^{2}\right)(1-x)} \,\mathrm{d}x\).

   3. Établir, pour tout entier naturel \(n\), l’encadrement suivant : \[0 \leqslant \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x^{n+1}}{\left(1-x^{2}\right)(1-x)} \,\mathrm{d}x\leqslant 2 u_{n+1}\]

   4. En déduire l’expression de la limite de \(S_{n}\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\), sous la forme d’une intégrale.

   5. En réduisant au même dénominateur, pour tout réel \(x \in \left[0, \frac{1}{2}\right]\), \(\displaystyle \frac{1}{1-x}+\frac{2}{(1-x)^{2}}+\frac{1}{1+x}\), déduire de la question 7(d) la valeur de \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} S_{n}\).

Exercice 2

On considère les matrices suivantes : \(A=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\) et \(I=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\).

1. 1. Calculer \(A^2\) et \(A^3\).

   2. En déduire \(A^n\) pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 3.

2. Dans cette question, \(M\) désigne une matrice carrée d’ordre 3 qui commute avec la matrice \(A\), c’est-à-dire qui vérifie la relation : \(A M=M A\).

   On pose : \(M=\begin{pmatrix}a & b & c \\ u & v & w \\ x & y & z\end{pmatrix}\).

   1. Montrer que les matrices qui commutent avec \(A\) sont de la forme : \[M=\begin{pmatrix} a & b & c \\ 0 & a & b \\ 0 & 0 & a \end{pmatrix}=a I+b A+c A^2\]

   2. En déduire que l’on a : \(M^2=a^2 I+2 a b A+\left(b^2+2 a c\right) A^2\).

      Écrire explicitement la matrice \(M^2\) en fonction de \(a, b\) et \(c\).

3. On se propose de montrer qu’il n’existe aucune matrice \(N\), carrée d’ordre 3 , telle que \(N^2=A\).

   1. Montrer que si une telle matrice \(N\) existait, alors elle vérifierait : \(A N=N A\).

   2. En utilisant la question 2b, en déduire qu’il n’existe pas de matrice \(N\) telle que \(N^2=A\).

4. L’objectif de cette question est de trouver les matrices \(P\), carrées d’ordre 3, vérifiant \(P A=P-A\).

   1. Justifier que la matrice \(I-A\) est inversible.

   2. Développer le produit \((I-A)\left(I+A+A^2\right)\), et en déduire l’inverse de la matrice \(I-A\) en fonction de \(I, A\) et \(A^2\).

   3. Soit \(P\) une matrice vérifiant : \(P A=P-A\). Montrer que : \(P=A \left( I-A \right)^{-1}\), et en déduire l’expression de \(P\) en fonction de \(A\) et de \(A^2\).

Exercice 3

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[f(x)= \begin{cases} \frac{x}{2} &\text { si } 0 \leqslant x \leqslant 2 \\ \hfill 0 \hfill & \text { sinon } \end{cases}\]

1. Vérifier que \(f\) est une densité de probabilité.

   Dans toute la suite de l’exercice, \(X\) désigne une variable aléatoire admettant \(f\) pour densité.

2. 1. Déterminer la fonction de répartition \(F\) de \(X\).

   2. Montrer que l’espérance de \(X\), notée \(\mathbb{E}(X)\), est égale à \(\dfrac{4}{3}\).

   3. Calculer la valeur de \(\mathbb{E}(X^2)\) et celle de la variance \(\mathbb{V}(X)\) de \(X\).

3. On note \(U\) la variable aléatoire définie par : \(U=X^{2}\); on pose : \(Y=\dfrac{U}{4}\).

   1. Déterminer la fonction de répartition \(K\) de \(U\), puis celle \(H\) de \(Y\).

   2. Établir qu’une densité \(h\) de \(Y\) est donnée par : \(h(x)=\begin{cases} 1 &\text { si } 0 \leqslant x \leqslant 1 \\ 0& \text { sinon } \end{cases}\). Reconnaître la loi suivie par \(Y\).

   3. Calculer la valeur de l’espérance \(\mathbb{E}(Y)\) de \(Y\).

      Soit \(n\) un entier supérieur ou égal 2. Dans la suite, on considère \(n\) variables aléatoires \(X_{1}, \ldots, X_{n}\) indépendantes, suivant toutes la même loi que \(X\).

4. On note \(Z_{n}\) la variable aléatoire définie par : \(Z_{n}=\sup \left(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\right)\), c’est-à-dire que, pour tout réel \(x\), on a : \(\left[Z_{n} \leqslant x\right]=\left(\left[X_{1} \leqslant x\right] \cap\left[X_{2} \leqslant x\right] \cap \ldots \cap\left[X_{n} \leqslant x\right]\right)\).

   1. Montrer que la fonction de répartition \(G\) de \(Z_{n}\) est donnée par : \[G(x) = \begin{cases} \hfill 0 \hfill & \text { si } x \leqslant 0 \\ \displaystyle \left(\frac{x}{2}\right)^{2 n} &\text { si } 0 \leqslant x \leqslant 2 \rule[0pt]{0pt}{20pt}\\ \hfill 1 \hfill & \text { si } x \geqslant 2 \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]

   2. Calculer une densité \(g\) de \(Z_{n}\).

   3. Calculer l’espérance de \(Z_{n}\), notée \(\mathbb{E}(Z_n)\), ainsi que sa limite quand \(n\) tend vers \(+\infty\).

Exercice 4

Une urne contient 10 boules blanches et 2 boules noires. On extrait les boules de l’urne au hasard, une à une et sans remise, jusqu’à l’apparition d’une boule blanche.

On désigne alors par \(X\) la variable aléatoire égale au nombre total de boules prélevées. La probabilité d’un événement \(A\) est notée \(\mathbb{P}(A)\).

Le but de l’exercice est de calculer l’espérance \(\mathbb{E}(X)\) et la variance \(\mathbb{V}(X)\) de \(X\), de deux manières différentes.

Partie 1 : première méthode

1. 1. Déterminer l’ensemble des valeurs prises par \(X\).

   2. Calculer la valeur de \(\mathbb{P}(X=1)\).

   3. Montrer que \(\displaystyle \mathbb{P}(X=2)=\frac{5}{33}\).

   4. Calculer \(\mathbb{P}(X=3)\).

2. Montrer que \(\displaystyle \mathbb{E}(X)=\frac{13}{11}\).

3. Calculer \(\mathbb{E}(X^2)\) et en déduire que \(\displaystyle \mathbb{V}(X)=\frac{65}{363}\).

Partie 2: deuxième méthode

Dans cette partie, on suppose que les deux boules noires sont marquées \(N\) et \(N^{\prime}\).

On note \(Y\) (respectivement \(Y^{\prime}\)) la variable aléatoire qui vaut 1 si la boule noire marquée \(N\) (respectivement \(N^{\prime}\)) est prélevée avant l’apparition d’une boule blanche, et qui vaut 0 sinon.

Pour tout entier \(i\) vérifiant \(1 \leqslant i \leqslant 2\), on note \(N_{i}\) (respectivement \(N_{i}^{\prime}\)) l’événement : « la boule noire marquée \(N\) (respectivement \(N^{\prime}\)) est obtenue au \(i^{\text {ème }}\) tirage ».

1. 1. Exprimer l’événement \([Y=1]\) en fonction de \(N_{1}, N_{1}^{\prime}\) et \(N_{2}\).

   2. En déduire que la variable aléatoire \(Y\) suit la loi de Bernoulli de paramètre \(\frac{1}{11}\).

   3. Donner la loi de la variable aléatoire \(Y^{\prime}\).

2. Justifier que : \(X=1+Y+Y^{\prime}\).

3. Déduire de ce qui précède la valeur de \(\mathbb{E}(X)\).

4. 1. Exprimer l’événement \(\left.([Y=1) \cap\left[Y^{\prime}=1\right]\right)\) à l’aide des événements \(N_{1}\) et \(N_{1}^{\prime}\).

   2. En déduire la valeur de \(\mathbb{P}( [Y=1] \cap [Y^{\prime}=1])\).

   3. Calculer la valeur de la covariance de \(Y\) et \(Y^{\prime}\), notée \(\operatorname{cov}\left(Y, Y^{\prime}\right)\).

   4. Utiliser alors le résultat de la question 2 de cette partie pour déterminer \(\mathbb{V}(X)\), et retrouver ainsi le résultat de la question 3 de la partie 1.