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L’objet du problème est d’étudier quelques propriétés d’un estimateur du paramètre \(p\) d’une loi géométrique.
Pour tout couple \((n, r)\) d’entiers naturels tels que \(0 \leqslant r \leqslant n\), on rappelle la formule du « triangle de Pascal » : \[\binom{n}{r}=\binom{n-1}{r-1}+\binom{n-1}{r}\]
Montrer que pour tout entier \(r\) de \(\left[\!\left[1, n\right]\!\right]\), on a : \[\binom{n}{r}=\sum_{k=r}^{n}\binom{k-1}{r-1}\]
Soit \((n, r)\) un couple d’entiers naturels, tels que \(1 \leqslant r \leqslant n\). Pour tout réel \(x\) de \(] 0,1[\), on définit la fonction \(f_{r, n}\) par : \[f_{r, n}(x)=\sum_{k=r}^{n}\binom{k}{r} x^{k}\]
Montrer, pour tout réel \(x\) de \(] 0,1[\), l’égalité : \(\displaystyle \left( 1-x \right) f_{r, n}(x)=x f_{r-1, n-1}(x)-\binom{n}{r} x^{n+1}\).
On suppose l’entier \(r\) fixé. Montrer, lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\), l’équivalence : \(\displaystyle \binom{n}{r} \sim \frac{n^{r}}{r!}\).
Soit \(x\) un réel fixé de \(] 0,1 [\) et soit \(r\) un entier naturel fixé. On veut établir l’existence de la limite de \(f_{r, n}(x)\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\), et déterminer la valeur de cette limite.
Justifier l’existence et donner la valeur de \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} f_{0, n}(x)\) et \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} f_{1, n}(x)\).
Soit \(r\) un entier naturel non nul. On suppose que, pour tout réel \(x\) de \(] 0,1[\), on a : \[\lim _{n \rightarrow+\infty} f_{r-1, n}(x)=\frac{x^{r-1}}{(1-x)^{r}}\]
Montrer que, pour tout réel \(x\) de \(] 0,1[\), \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} f_{r, n}(x)=\frac{x^{r}}{(1-x)^{r+1}}\).
Ainsi, \(\displaystyle \sum_{k=r}^{\infty}\binom{k}{r} x^{k}=\frac{x^{r}}{(1-x)^{r+1}}\).
Soit \(x\) un réel de \(] 0,1[\).
Montrer, pour tout entier \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\), l’égalité : \(\displaystyle \int_{0}^{x} \frac{1-t^{n}}{1-t} \, \mathrm{d}t=\sum_{k=1}^{n} \frac{x^{k}}{k}\).
À l’aide d’un encadrement simple, montrer que \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{x} \frac{t^{n}}{1-t} \, \mathrm{d}t=0\).
En déduire la convergence de la série de terme général \(\displaystyle \frac{x^{k}}{k}\) ainsi que l’égalité : \(\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{k}}{k}=-\ln (1-x)\).
Toutes les variables aléatoires qui interviennent dans cette partie sont définies sur un même espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).
Soit \(p\) un réel de \(] 0,1[\). On pose \(q=1-p\), et on considère une variable aléatoire \(X\) à valeurs dans \(\mathbb{N}^{*}\), qui suit la loi géométrique de paramètre \(p\). On rappelle que pour tout entier \(k\) de \(\mathbb{N}^{*}, \ \mathbb{P}(X=k)=p q^{k-1}\).
Calculer la valeur de l’espérance \(\mathbb{E}(X)\) et de la variance \(\mathbb{V}(X)\) de la variable aléatoire \(X\).
On considère la variable aléatoire \(Y\) définie par \(\displaystyle Y=\frac{1}{X}\).
Déterminer l’ensemble des valeurs prises par \(Y\) ainsi que la loi de probabilité de \(Y\).
Montrer que \(Y\) admet une espérance \(\mathbb{E}(Y)\), que l’on calculera en fonction de \(p\) et \(q\).
Pour tout entier \(i\) supérieur ou égal à 2, établir l’existence du moment \(\mathbb{E}(Y^{i})\) d’ordre \(i\) de \(Y\).
Soit \(X_{1}\) et \(X_{2}\) deux variables aléatoires indépendantes, à valeurs dans \(\mathbb{N}^{*}\), qui suivent la même loi géométrique de paramètre \(p\). On pose : \(S_{1}=X_{1}, \ S_{2}=X_{1}+X_{2}, \ \displaystyle Y_{2}=\frac{2}{S_{2}}\).
Déterminer la loi de probabilité de chacune des variables aléatoires \(S_{2}\) et \(Y_{2}\).
Établir l’existence de l’espérance \(\mathbb{E}(Y_{2})\) de la variable aléatoire \(Y_{2}\).
Calculer cette espérance en fonction de \(p\) et \(q\).
On considère une suite \(\left(X_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) de variables aléatoires à valeurs dans \(\mathbb{N}^{*}\), indépendantes, de même loi géométrique de paramètre \(p\). Pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\), on pose \(\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n} X_{k}\).
Calculer l’espérance \(\mathbb{E}( S_{n})\) et la variance \(\mathbb{V}(S_{n})\) de la variable aléatoire \(S_{n}\).
Montrer que la loi de probabilité de la variable aléatoire \(S_{n}\) est donnée, pour tout entier \(s\) de \(\mathbb{N}^{*}\), par : \[\mathbb{P}( S_{n}=s )= \begin{cases} \hfill 0 \hfill & \text { si } s<n \\ \displaystyle \binom{s-1}{n-1} p^{n} q^{s-n} &\text { si } s \geqslant n \end{cases}\]
Pour tout entier \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\), on pose \(\displaystyle Y_{n}=\frac{n}{S_{n}}\).
Préciser l’ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire \(Y_{n}\), ainsi que la loi de probabilité de \(Y_{n}\).
Soit \(t\) un réel quelconque de \([0,1 [\). Montrer que, pour tout \(m\) de \(\mathbb{Z}\), la série de terme général \(s^{m} t^{s}\) (\(\displaystyle \sum_{s \geqslant 1} s^{m} t^{s}\)) est convergente.
En déduire, en particulier, l’existence des moments d’ordre 1 et \(2\), \(\mathbb{E}( Y_{n})\) et \(\mathbb{E}(Y_{n}^{2})\), de la variable aléatoire \(Y_{n}\).
Soit \(p\) un réel de \(] 0,1[\). Dans cette partie, on considère une variable aléatoire réelle \(X\) à valeurs dans \(\mathbb{N}^{*}\), qui suit une loi géométrique de paramètre \(p\) inconnu. On pose \(q=1-p\).
Pour tout entier naturel non nul \(n\), on considère un \(n\)-échantillon \(( X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} )\) de variables aléatoires à valeurs dans \(\mathbb{N}^{*}\), indépendantes, de même loi que \(X\).
Les variables aléatoires \(X, X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\) sont définies sur un même espace probabilisé \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\).
On pose \(\displaystyle \overline{X}_{n}=\frac{S_{n}}{n}=\frac{1}{Y_{n}}\).
Montrer que \(\overline{X}_{n}\) est un estimateur pour le paramètre \(\displaystyle \frac{1}{p}\), d’espérance égale à \(\dfrac{1}{p}\).
Quelle est la variance de \(\overline{X}_{n}\) ?
Pour tout entier \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\), on note \(h_{n}\) et \(\varphi_{n}\) les applications définies sur \([0,1[\) à valeurs dans \(\mathbb{R}\) telles que : \[h_{n}(t)=\sum_{s=n}^{\infty} \frac{1}{s}\binom{s-1}{n-1} t^{s}, \quad \varphi_{n}(t)=\sum_{s=n}^{\infty} \frac{1}{s^{2}}\binom{s-1}{n-1} t^{s}\]
On admet dans toute la suite du problème, que \(h_{n}\) est de classe \(\mathcal C^{1}\) et que pour tout réel \(t\) de \([0,1[\), la dérivée \(h_{n}^{\prime}\) de \(h_{n}\) vérifie :
\[h_{n}^{\prime}(t)=\sum_{s=n}^{\infty}\binom{s-1}{n-1} t^{s-1}\]
On admet également que la fonction \(\varphi_{n}\) est dérivable sur \(] 0,1[\), de dérivée \(\varphi_{n}^{\prime}\), et que pour tout \(t\) de \(] 0,1[\), \(\displaystyle \varphi_{n}^{\prime}(t)=\frac{1}{t} \, h_{n}(t)\).
Montrer que \(\displaystyle \mathbb{E}( Y_{n})=n\left(\frac{p}{q}\right)^{n} h_{n}(q)\). Établir que, pour tout \(q\) de \([0,1[\), on a :
\[h_{n}(q)=\int_{0}^{q} \frac{t^{n-1}}{(1-t)^{n}} \, \mathrm{d}t\]
À l’aide du changement de variable \(\displaystyle y=\frac{t}{1-t}\), que l’on justifiera, montrer que pour tout \(q\) de \([0,1[\) : \[h_{n}(q)=\int_{0}^{q / p} \frac{y^{n-1}}{1+y} \,\mathrm{d}y\]
En déduire, en utilisant une intégration par parties, que l’on peut écrire pour tout \(q\) de \([0,1[\) : \[h_{n}(q)=\frac{q^{n}}{n p^{n-1}}+\frac{1}{n} \int_{0}^{q / p} \frac{y^{n}}{(1+y)^{2}} \,\mathrm{d}y\]
Pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\), soit \(b_{n}\) la fonction définie sur \(] 0,1[\) à valeurs réelles qui, à tout réel \(p\) de \(] 0,1[\), associe \(b_{n}(p)= \mathbb{E}(Y_{n})-p\) (\(b_{n}\) représente le biais de \(Y_{n}\) pour estimer \(p\)).
Montrer que \(\displaystyle b_{n}(p)=\left(\frac{p}{q}\right)^{n} \int_{0}^{q / p} \frac{y^{n}}{(1+y)^{2}} \,\mathrm{d}y\).
En déduire que la suite \(\left(b_{n}(p)\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) est convergente et préciser sa limite. Calculer \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \mathbb{E}(Y_{n})\).
À l’aide d’une intégration par parties, montrer l’égalité : \(\displaystyle b_{n}(p)=\frac{p q}{n}+ \circ \! \left(\frac{1}{n}\right)\).
Le contexte de cette partie est identique à celui de la partie IV.
En utilisant la formule établie dans la question IV.13.b, montrer que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\), \(\displaystyle h_{n}(t) \sim \frac{t^{n}}{n}\) lorsque \(t\) tend vers 0 par valeurs supérieures.
En déduire que pour tout réel \(q\) de \(] 0,1 [\), l’intégrale \(\displaystyle \int_{0}^{q} \frac{h_{n}(t)}{t} \, \mathrm{d}t\) est convergente et que : \[\displaystyle \varphi_{n}(q)=\int_{0}^{q} \frac{h_{n}(t)}{t} \, \mathrm{d}t\]
Pour tout entier \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\), et pour tout réel \(t\) de \(] 0,1[\), on pose \(\displaystyle H_{n}(t)=\int_{0}^{t /(1-t)} \frac{y^{n}}{(1+y)^{2}} \, \mathrm{d}y\).
Montrer que, pour tout \(t\) de \(] 0,1[\), on a : \[\varphi_{n}^{\prime}(t)=\frac{1}{n}\left[\frac{t^{n-1}}{(1-t)^{n-1}}+\frac{H_{n}(t)}{t}\right]\]
Établir l’existence de l’intégrale \(\displaystyle \int_{0}^{q} \frac{H_{n}(t)}{t} \, \mathrm{d}t\), et en déduire l’égalité : \[\varphi_{n}(q)=\frac{1}{n}\left[\int_{0}^{q} \frac{t^{n-1}}{(1-t)^{n-1}} \, \mathrm{d}t+\int_{0}^{q} \frac{H_{n}(t)}{t} \, \mathrm{d}t\right]\]
Établir l’encadrement suivant : \(\displaystyle 0 \leqslant \int_{0}^{q} \frac{H_{n}(t)}{t} \, \mathrm{d}t\leqslant \frac{h_{n+1}(q)}{n+1}\).
En déduire que \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} n\left(\frac{p}{q}\right)^{n} \int_{0}^{q} \frac{H_{n}(t)}{t} \, \mathrm{d}t=0\).
Montrer, pour tout réel \(q\) de \(] 0,1[\), l’égalité : \[\int_{0}^{q}\left(\frac{t}{1-t}\right)^{n-1} \, \mathrm{d}t=\frac{q^{n}}{n p^{n-2}}+\frac{2}{n} \int_{0}^{q / p} \frac{y^{n}}{(1+y)^{3}} \,\mathrm{d}y\]
En déduire que \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} n\left(\frac{p}{q}\right)^{n} \int_{0}^{q}\left(\frac{t}{1-t}\right)^{n-1} \, \mathrm{d}t=p^{2}\).
On désigne par \(\mathbb{V}(Y_{n})\) la variance de \(Y_{n}\). Calculer \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \mathbb{V}(Y_{n})\).
Dans cette partie, le contexte est identique à celui des deux parties précédentes.
En utilisant le résultat de la question IV.14.c, montrer que, lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\) :
\[\left[ \mathbb{E}(Y_{n})\right]^{2}=p^{2}+\frac{2 p^{2} q}{n}+\circ \! \left(\frac{1}{n}\right)\]
On admet que, lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\) : \[\mathbb{E}( Y_{n}^{2} )=p^{2}+\frac{3 p^{2} q}{n}+\circ \! \left(\frac{1}{n}\right)\]
Établir que, lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\), \(\mathbb{V}(Y_{n}) \sim \frac{p^{2} q}{n}\).
Pour tout entier \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\), on pose \(\displaystyle T_{n}=\frac{Y_{n}-p}{\sqrt{\frac{p^{2} q}{n}}}\).
On admet que la suite de variables aléatoires \(\left(T_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) converge en loi vers une variable aléatoire \(T\) qui suit la loi normale centrée, réduite.
Cette question a pour objectif la détermination, pour \(n\) assez grand, d’un intervalle de confiance du paramètre inconnu \(p\), au risque \(\alpha\) donné. Autrement dit, il s’agit de trouver des variables aléatoires \(I_{n}\) et \(J_{n}\), fonctions de \(Y_{n}\), telles que \(\displaystyle \mathbb{P}\! \left(I_{n} \leqslant p \leqslant J_{n}\right) \geqslant 1-\alpha\).
Soit \(a_{\alpha}\) le réel strictement positif tel que \(\displaystyle \mathbb{P}\! \left(T \geqslant a_{\alpha}\right)=\frac{\alpha}{2}\). Ainsi, pour \(n\) assez grand, on peut considérer que : \[\mathbb{P}\! \left(-a_{\alpha} \leqslant T_{n} \leqslant a_{\alpha}\right)=1-\alpha\]
En déduire l’égalité : \(\displaystyle \mathbb{P}\! \left(Y_{n}-a_{\alpha} p \sqrt{\frac{q}{n}} \leqslant p \leqslant Y_{n}+a_{\alpha} p \sqrt{\frac{q}{n}}\right)=1-\alpha\).
Montrer que l’on peut choisir les « statistiques » \(I_{n}\) et \(J_{n}\) de la façon suivante :
\[I_{n}=Y_{n}-\frac{2 a_{\alpha}}{3 \sqrt{3}} \times \frac{1}{\sqrt{n}} \text { et } J_{n}=Y_{n}+\frac{2 a_{\alpha}}{3 \sqrt{3}} \times \frac{1}{\sqrt{n}}\]
On suppose que \(n=900\). Un échantillon observé \(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{900}\) de réalisations des variables aléatoires \(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{900}\) a fourni le résultat suivant : \(\displaystyle \overline{x}_{900}=\frac{1}{900} \sum_{i=1}^{900} x_{i}=4\).
Calculer la réalisation \(y_{900}\) de la variable aléatoire \(Y_{900}\).
On se donne un niveau de risque \(\alpha=0.05\); le nombre \(a_{0.05}\) est à peu près égal à 2. Sachant que \(\frac{2}{45 \sqrt{3}} \approx 0.026\), trouver un intervalle de confiance réalisé qui contienne le paramètre inconnu \(p\) avec un niveau de confiance au moins égal à 0.95.
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
