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Dans tout le problème, on considère une suite infinie de lancers d’une pièce équilibrée, c’est-à-dire pour laquelle, à chaque lancer, les apparitions de « pile » et de « face » sont équiprobables.
On admet que l’expérience est modélisée par un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).
Pour tout entier naturel non nul \(n\), on désigne par \(R_{n}\) l’événement « pile apparaît au lancer de rang \(n\) » et par \(S_{n}\) l’événement « face apparaît au lancer de rang \(n\) ».
On considère une variable aléatoire \(X\) définie sur \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\), prenant ses valeurs dans \(\mathbb{N}^{*}\) et, pour tout entier naturel non nul \(n\), on pose : \(a_{n}=\mathbb{P}( X=n )\).
Justifier que la suite \(\left(a_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) est une suite de nombres réels positifs ou nuls vérifiant \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}=1\).
Montrer que, pour tout nombre réel \(x\) appartenant à l’intervalle \([0,1]\), la série de terme général \(a_{n} x^{n}\) est convergente.
On désigne par \(f\) la fonction définie sur l’intervalle \([0,1]\) par : \(\displaystyle \forall x \in[0,1], f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} x^{n}\).
On suppose que cette fonction est dérivable au point 1 ; elle vérifie donc:
\[\lim _{\substack{x \rightarrow 1 \\ x<1}} \frac{f(1)-f(x)}{1-x}=f^{\prime}(1)\]
Établir, pour tout nombre réel \(x\) de l’intervalle \([0,1 [\), l’égalité : \(\displaystyle \frac{f(1)-f(x)}{1-x}=\sum_{n=1}^{+\infty}\left(a_{n} \sum_{k=0}^{n-1} x^{k}\right)\).
En déduire que la fonction \(\displaystyle x \mapsto \frac{f(1)-f(x)}{1-x}\) est croissante sur \([0,1 [\) et qu’elle vérifie pour tout nombre réel \(x\) de l’intervalle \([0,1[\) les inégalités suivantes: \(\displaystyle 0 \leqslant \frac{f(1)-f(x)}{1-x} \leqslant f^{\prime}(1)\).
Montrer que, pour tout entier naturel \(N\) non nul, on a : \(\displaystyle 0 \leqslant \sum_{n=1}^{N} n a_{n} \leqslant f^{\prime}(1)\). En déduire que la série de terme général \(n a_{n}\) est convergente.
À l’aide des résultats des question a) et c), justifier pour tout nombre réel \(x\) de l’intervalle \([0,1[\), les inégalités suivantes : \(\displaystyle 0 \leqslant \frac{f(1)-f(x)}{1-x} \leqslant \sum_{n=1}^{+\infty} n a_{n} \leqslant f^{\prime}(1)\)
Montrer que la variable aléatoire \(X\) admet une espérance donnée par : \[\mathbb{E}(X)=f^{\prime}(1)\]
Soit \(Y\) la variable aléatoire désignant le rang du lancer où pour la première fois apparait un face précédé de deux piles si cette configuration apparaît, et prenant la valeur 0 si celle-ci n’apparait jamais.
Par exemple, si les résultats des premiers lancers sont (face, face, pile, face, pile, face, pile, pile, face, pile, pile, face, …) la variable aléatoire \(Y\) prend la valeur 9.
On pose \(c_{1}=c_{2}=0\) et, pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à \(3\) : \(c_{n}=\mathbb{P}(Y=n )\).
Pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à à, on note \(B_{n}\) l’événement \(R_{n-2} \cap R_{n-1} \cap S_{n}\) et \(U_{n}\) l’événement \(\displaystyle \bigcup_{i=3}^{n} B_{i}\). On admettra que : \[\mathbb{P}\! \left( \bigcup_{i=1}^{+\infty}B_i \right) = \lim\limits_{n\to+\infty}\mathbb{P}\! \left( \bigcup_{i=1}^n B_i \right)\]
On pose \(u_{1}=u_{2}=0\), et pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à \(3\) : \(u_{n}=\mathbb{P}(U_n)\).
Montrer que la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) est monotone et convergente.
Calculer, pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 3, la probabilité de l’événement \(B_{n}\).
Vérifier que, pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à 3, les événements \(B_{n}, B_{n+1}\) et \(B_{n+2}\) sont deux à deux incompatibles.
En déduire les valeurs des nombres \(u_{3}, u_{4}\) et \(u_{5}\).
Soit \(n\) un entier \(n\) supérieur ou égal à 5.
Justifier l’égalité des événements \(U_{n} \cap B_{n+1}\) et \(U_{n-2} \cap B_{n+1}\) et préciser leur probabilité.
Exprimer l’événement \(U_{n+1}\) en fonction des événements \(U_{n}\) et \(B_{n+1}\); en déduire l’égalité suivante : \(\displaystyle u_{n+1}=u_{n}+\frac{1}{8}\left(1-u_{n-2}\right)\).
Vérifier les égalités suivantes \(\displaystyle u_{3}=u_{2}+\frac{1}{8}\left(1-u_{1}\right)\) et \(\displaystyle u_{4}=u_{3}+\frac{1}{8}\left(1-u_{2}\right)\).
Déterminer la limite de la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) et en déduire la probabilité de l’événement \([Y=0]\).
Pour tout entier naturel non nul \(n\), on pose : \(v_{n}=1-u_{n}\).
Préciser les nombres \(v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}\).
Exprimer, pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à \(3\), \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_{n}\) et de \(v_{n-2}\).
En déduire pour tout entier \(N\) supérieur ou égal à 1, l’égalité suivante : \(\displaystyle \frac{7}{8}-v_{N+3}=\frac{1}{8} \sum_{k=1}^{N} v_{k}\).
Montrer que la série de terme général \(v_{n}\) est convergente et calculer sa somme.
Soit \(g\) et \(h\) les fonctions définies sur l’intervalle \([0,1]\) par : \[\forall x \in[0,1], \ g(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} c_{n} x^{n} \quad \text { et } \quad h(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} v_{n} x^{n}\]
Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à 4. Exprimer l’événement \([Y=n]\) en fonction des événements \(\overline{U_{n-1}}\) et \(U_{n}\) (\(\overline{U_{n-1}}\) désignant l’événement contraire de \(U_{n-1}\)).
En déduire l’égalité : \(c_{n}=v_{n-1}-v_{n}\).
Valider l’égalité \(c_{n}=v_{n-1}-v_{n}\) dans le cas où \(n\) est égal à 2 ou 3.
Établir pour tout nombre réel \(x\) appartenant à l’intervalle \([0,1]\), l’égalité : \[g(x)= \left( x-1 \right) h(x)+x\]
Exprimer pour tout nombre réel \(x\) appartenant à l’intervalle \([0,1 [\), le quotient \(\displaystyle \frac{g(x)-g(1)}{x-1}\) en fonction de \(h(x)\).
Justifier la croissance de la fonction \(h\) et, pour tout entier naturel \(N\) non nul et tout nombre réel \(x\) de l’intervalle \([0,1]\), la double inégalité suivante : \(\displaystyle \sum_{k=1}^{N} v_{k} x^{k} \leqslant h(x) \leqslant h(1)\). En déduire la relation suivante : \(\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 1 \\ x<1}} h(x)=h(1)\).
Montrer que \(g\) est dérivable au point 1 et, à l’aide de la Partie I, en déduire que la variable aléatoire \(Y\) admet une espérance égale à 8.
Deux joueurs \(J\) et \(J^{\prime}\) s’affrontent dans un jeu utilisant la même expérience aléatoire que précédemment avec les règles suivantes :
le joueur \(J\) est gagnant si la configuration « pile, pile, face » apparaît dans la suite des résultats des lancers, avant que la configuration « face, pile, pile » n’apparaisse;
le joueur \(J^{\prime}\) est gagnant si la configuration « face, pile, pile » apparaît dans la suite des résultats des lancers, avant que la configuration « pile, pile, face » n’apparaisse;
si l’un des joueurs est gagnant, l’autre est perdant.
On se propose de démontrer que, dans ce jeu, le joueur \(J^{\prime}\) possède un net avantage sur le joueur \(J\).
Soit \(Y^{\prime}\) la variable aléatoire désignant le rang du lancer où, pour la première fois, apparait un pile précédé d’un pile lui-même précédé d’un face si cette configuration apparait, et prenant la valeur 0 si celle-ci n’apparaît jamais.
Par exemple, si les résultats des premiers lancers sont (face, face, pile, face, pile, pile, face, …), la variable aléatoire \(Y^{\prime}\) prend la valeur 6.
Pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 3, on désigne par \(B_{n}^{\prime}\) l’événement \(S_{n-2} \cap R_{n-1} \cap R_{n}\), par \(U_{n}^{\prime}\) l’événement \(\displaystyle \bigcup_{i=3}^{n} B_{i}^{\prime}\) et on note \(u_{n}^{\prime}\) la probabilité de \(U_{n}^{\prime}\).
Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à 3.
Les événements \(B_{n}^{\prime}, B_{n+1}^{\prime}\) et \(B_{n+2}^{\prime}\) sont-ils deux à deux incompatibles?
En déduire que, si on pose \(u_{1}^{\prime}=u_{2}^{\prime}=0\), le même raisonnement que dans la Partie II, conduit à l’égalité \(\displaystyle u_{n+1}^{\prime}=u_{n}^{\prime}+\frac{1}{8}\left(1-u_{n-2}^{\prime}\right)\), pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 3.
En déduire l’égalité des suites \(\left(u_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) et \(\left(u_{n}^{\prime}\right)_{n \geqslant 1}\).
Prouver que les deux variables aléatoires \(Y\) et \(Y^{\prime}\) suivent la même loi et que : \(\mathbb{E}(Y)=\mathbb{E}(Y^{\prime})\).
Pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 3, on note \(G_{n}\) l’événement « le joueur \(J\) est déclaré gagnant à l’issue du lancer de rang \(n\) » et \(g_{n}\) la probabilité de \(G_{n}\).
Calculer \(g_{3}\) et \(g_{4}\) et établir, pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 3, l’égalité suivante : \(\displaystyle g_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\).
En déduire la probabilité pour que le joueur \(J\) soit déclaré gagnant.
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on désigne par \(d_{n}\) la probabilité que lors des \(n\) premiers lancers n’apparaissent jamais deux piles consécutifs.
Préciser \(d_{1}\) et \(d_{2}\).
En considérant les résultats des lancers de rang 1 et 2, justifier pour tout entier naturel \(n\) non nul, l’égalité suivante : \(\displaystyle d_{n+2}=\frac{1}{2} \, d_{n+1}+\frac{1}{4} \, d_{n}\).
Montrer qu’il existe deux constantes réelles \(\alpha\) et \(\beta\) que l’on ne cherchera pas à calculer, telles que, pour tout tout entier naturel \(n\) non nul, on ait : \(\displaystyle d_{n}=\alpha\left(\frac{1+\sqrt{5}}{4}\right)^{n}+\beta\left(\frac{1-\sqrt{5}}{4}\right)^{n}\).
En déduire que la série de terme général \(d_{n}\) converge et, en utilisant l’égalité du b), prouver l’égalité suivante : \(\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} d_{n}=5\).
On désigne par \(T\) la variable aléatoire qui prend pour valeur le rang du lancer à l’issue duquel l’un des joueurs est déclaré gagnant, si cela se produit, et la valeur 0 si aucun des joueurs n’est gagnant.
Justifier, pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 2, l’égalité : \(\displaystyle \mathbb{P}([T>n] \cup[T=0])=\frac{1}{2^{n}}+d_{n}\).
En déduire, pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 3, l’égalité : \(\displaystyle \mathbb{P}(T=n )=\frac{1}{2^{n}}+d_{n-1}-d_{n}\).
Montrer que la probabilité que l’un des joueurs soit déclaré gagnant est égale à 1.
Calculer la probabilité que le joueur \(J^{\prime}\) soit déclaré gagnant et conclure.
Si la configuration gagnante du joueur \(J\) avait été « pile, pile, face, pile, pile, face » et la configuration gagnante du joueur \(J^{\prime}\) avait été « face, face, pile, face, face, pile », quelle aurait-été la conclusion?
Soit \(d\) et \(t\) les fonctions définies sur l’intervalle \([0,1]\) par : \[\forall x \in[0,1], \ d(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} d_{n} x^{n} \quad \text { et } \quad t(x)=\sum_{n=1}^{+\infty} \mathbb{P}(T =n ) \, x^{n}\]
Établir pour tout nombre réel \(x\) appartenant à l’intervalle \([0,1]\) l’égalité suivante : \[t(x)=(x-1)\left[ d(x)+\frac{x^{2}}{2(2-x)}\right] +x\]
Exprimer pour tout nombre réel \(x\) appartenant à l’intervalle \([ 0,1 [\), le quotient \(\displaystyle \frac{t(x)-t(1)}{x-1}\) en fonction de \(d(x)\).
En s’inspirant de la question 7.e de la Partie II, justifier l’égalité suivante : \(\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 1 \\ x<1}} d(x)=d(1)\).
Montrer que la variable aléatoire \(T\) admet une espérance et préciser \(\mathbb{E}(T)\).
On rappelle que dans un programme Python,
l’instruction r=rd.randint(2) a pour effet de
donner aléatoirement à la variable r la valeur
0 ou 1, ces deux valeurs étant équiprobables.
On considère la fonction Python suivante
:
import numpy.random as rd
def Quigagne():
x=0
y=0
k=0
while x<3 and y<3:
k=k+1
r=rd.randint(2)
if r==1:
if x>=1:
x=2
else:
x=1
if y>=1:
y=y+1
else:
if x==2:
x=3
else:
x=0
y=1
if x==3:
return "....."
else:
return "....."
Donner sous forme d’un tableau les valeurs successives prises par
les variables x, y
et k lors de l’exécution de cette fonction, si
les valeurs données à la variable r par la
fonction rd.randint(2) sont successivement
:
\(1,1,1,1,0\) ;
\(1,0,1,0,0,0,1,1\) ;
\(0,1,0,1,0,1,1\).
Que représente la dernière valeur prise dans la fonction par la
variable k et quels textes pourrait-on
substituer aux pointillés de la dernière instruction?
Qu’afficherait alors l’ordinateur dans les trois exemples de la question précédente?
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.