HEC, ESCP 2003 Maths 3Maths appliquées

Exercice

1. Soit \(a\) et \(b\) deux réels strictement positifs et \(A\) la matrice carré e d’ordre \(2\) définie par : \(A=% \begin{pmatrix} a & b \\ b & a% \end{pmatrix}%\).

   1. Montrer que si \(a\) et \(b\) sont égaux, la matrice \(A\) n’est pas inversible.

   2. Calculer la matrice \(A^{2}-2aA\). En déduire que, si \(a\) et \(b\) sont distincts, la matrice \(A\) est inversible et donner la matrice \(A^{-1}\).

   3. Montrer que les valeurs propres de \(A\) sont \(a+b\) et \(a-b\).

   4. On pose \(\Delta =% \begin{pmatrix} a+b & 0 \\ 0 & a-b% \end{pmatrix}%\). Déterminer une matrice \(Q\), carrée d’ordre \(2\) à coefficients réels, inversible et dont les éléments de la première ligne sont égaux à \(1\), vé rifiant \(A=Q\Delta Q^{-1}\).

   5. Calculer la matrice \(Q^{-1}\) et, à l’aide de la question précédente, calculer la matrice \(A^{n}\) pour tout entier naturel non nul \(n\).

2. Soit \(p\) un réel vérifiant \(0<p<1\) et \(q\) le réel \(1-p\). On suppose que \(X\) et \(Y\) sont deux variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\), indépendantes et suivant la m ême loi géométrique de paramètre \(p\).

   Pour tout \(\omega\) de \(\Omega\), on désigne par \(M(\omega )\) la matrice carr ée d’ordre \(2\) suivante: \(% \begin{pmatrix} X(\omega ) & Y(\omega ) \\ Y(\omega ) & X(\omega )% \end{pmatrix}%\) et on note \(S(\omega )\) (respectivement \(D(\omega )\)) la plus grande (respectivement la plus petite) valeur propre de \(M(\omega )\) et on définit ainsi deux variables aléatoires sur \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).

   1. Montrer que la probabilité de l’événement \([X=Y]\) est donnée par: \(% \mathbb{P}([X=Y])=\dfrac{p}{2-p}\) et en déduire la probabilité de l’évé nement \(\{\omega \in \Omega \;;\;M(\omega )\;\text{est inversible}\}\).

   2. Calculer la covariance des variables aléatoires \(S\) et \(D\).

   3. Calculer les probabilités \(\mathbb{P}([S=2]\cap \lbrack D=0]),\;% \mathbb{P}([S=2])\) et \(\mathbb{P}([D=0])\).

      Les variables aléatoires \(S\) et \(D\) sont-elles indépendantes ?

   4. Établir, pour tout entier naturel \(n\) supérieur ou égal à \(2\) : \(% \mathbb{P}([S=n])=\left( n-1 \right) p^{2}q^{n-2}\).

   5. En déduire la valeur la plus probable de la plus grande valeur propre des matrices \(M(\omega )\) possibles.

Problème

Partie A : Étude d’une fonction

1. 1. On suppose, dans cette question, qu’il existe une fonction \(f\) de classe \(\mathcal C^{1}\) sur les intervalles \(]-\infty ,0[\) et \(]0,1[\), vérifiant pour tout réel \(x\) appartenant à \(\left] -\infty ,0 \right[ \cup \left] 0,1 \right[\), l’égalité : \[x \left( 1-x \right) f^{\prime }(x)+ \left( 1-x \right) f(x)=1\] Soit \(h\) la fonction définie sur \(\left] -\infty ,0 \right[\cup \left] 0,1 \right[\), par: \(h(x)=xf(x)\).
      Montrer que \(h\) est de classe \(\mathcal C^{1}\) sur les intervalles \(]-\infty ,0[\), \(% ]0,1[\) et calculer sa dérivée.

      En déduire qu’il existe deux constantes réelles \(c_{1}\) et \(c_{2}\) vérifiant \[\forall x\in \left] -\infty ,0 \right[\cup \left] 0,1 \right[,\ h(x) =\begin{cases} -\ln(1-x) + c_1 &\text{si } x<0 \\ -\ln(1-x) + c_2 &\text{si } 0<x<1 \end{cases}\]

   2. On définit une fonction \(f\) sur les intervalles \(]-\infty ,0[\) et \(% ]0,1[\) par: \[\forall x\in \left] -\infty ,0 \right[\cup \left] 0,1 \right[,\ f(x) =\begin{cases} \displaystyle \frac{ -\ln(1-x) + c_1 }{x} &\text{si } x<0 \\ \displaystyle \frac{ -\ln(1-x) + c_2}{x} &\text{si } 0<x<1 \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]

      où \(c_{1}\) et \(c_{2}\) sont deux constantes réelles.

      Déterminer les constantes \(c_{1}\) et \(c_{2}\) pour que la fonction \(f\) soit prolongeable par continuité en \(0\).

2. Dans toute la suite de cette partie, \(f\) désigne la fonction définie sur \(]-\infty ,1[\) par: \[f(x) = \begin{cases} - \dfrac{\ln(1-x)}{x} &\text{si } x\neq 0 \\ \hfill 1 \hfill &\text{si } x=0 \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]

   1. Donner le développement limité en \(0\) à l’ordre \(2\) de la fonction \(% t\mapsto \ln (1+t)\) puis le développement limité en \(0\) à l’ordre \(1\) de la fonction \(f\).

      Dans la suite, on admettra que \(f\) admet un développement limité à l’ordre \(2\) en \(0\) et que : \[f(x) \underset 0= 1+ \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} + \circ(x^2)\]

   2. En déduire que la fonction \(f\) est continue en \(0\), dérivable en \(0\) et préciser la valeur de \(f^{\prime }(0)\).

   3. Montrer que, pour tout \(x\) de \(\left] -\infty ,0 \right[\cup \left] 0,1 \right[\), on a: \[f^{\prime }(x)=\dfrac{1}{x} \left[ \dfrac{1}{1-x}-f(x)\right]\] En utilisant le développement limité de la question 2a, montrer que \(% f\) est de classe \(\mathcal C^{1}\) sur \(]-\infty ,1[\).

3. 1. Étudier le signe de la fonction \(\varphi\) définie sur \(]-\infty ,1[\) par: \(\varphi (x)=\dfrac{x}{1-x}+\ln (1-x).\)

      En déduire les variations de la fonction \(f\)

   2. Donner le tableau de variation de la fonction \(f\) et l’allure de la représentation graphique de \(f\) en précisant les asymptotes, la tangente à l’origine et la position de la courbe par rapport à cette tangente au voisinage de l’origine.

4. Soit \(x\) un réel de l’intervalle \(]0,1[\).

   1. Soit \(h\) la fonction définie sur \(]-\infty ,1[\) par: \(h(t)=-\ln (1-t)\).

      Calculer, pour tout réel \(t\) de \(]-\infty ,1[\), \(h^{\prime }(t),\;h^{\prime \prime }(t)\), puis pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(h^{(n)}(t)\).

   2. Démontrer par récurrence que : \[\forall n \in \mathbb{N},\ h(x)=\sum_{k=0}^{n}\dfrac{h^{(k)}(0)}{k!}\, x^k+\int_{0}^{x} \frac{(x-t)^n}{n!}\, h^{(n+1)}(t)\,\mathrm{d}t\] puis en déduire : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ h(x)=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{x^{k}}{k}+\int_{0}^{x} \dfrac{(x-t)^{n}% }{(1-t)^{n+1}}\,\mathrm{d}t\]

   3. Établir, pour tout réel \(t\) de l’intervalle \([0,x]\), la double inégalit é: \(0\leqslant \dfrac{x-t}{1-t}\leqslant x .\) En déduire, pour tout entier naturel \(n\) non nul, la double inégalité: \[0\leqslant f(x)-\sum_{k=0}^{n}\dfrac{x^{k}}{k+1}\leqslant x^{n+1}f(x)\]

   4. Justifier l’égalité: \(f(x)=\sum\limits_{n=0}^{+\infty }\dfrac{% x^{n}}{n+1}.\)

Partie B : Calcul d’une intégrale

5. Dans cette question \(f\) est la fonction définie à la question ??? de la partie A.

   1. Soit \(f_{1}\) la fonction définie sur \(]0,1]\) par : \(f_1(t) = \begin{cases} \dfrac{\ln(t)}{t-1} &\text{si } t\neq 1 \\ \hfill 1 \hfill &\text{si } t=1 \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\).

      Justifier la continuité de \(f_{1}\) sur \(]0,1]\) et établir, pour tout réel \(x\) de \(]0,1[\), l’égalité: \[\int_{0}^{x} f(t) \,\mathrm{d}t=\int_{1-x}^{1}f_{1}(t) \,\mathrm{d}t\]

   2. Soit \(a\) un réel de l’intervalle \(]0,1[\). Établir pour tout entier naturel \(n\), l’égalité: \[\int_{a}^{1}t^{n}\ln (t) \,\mathrm{d}t=-\dfrac{a^{n+1}\ln (a)}{n+1}-\dfrac{1}{% (n+1)^{2}} \left( 1-a^{n+1} \right)\] En déduire que : \[\lim_{a \to 0} \int_{0}^{1}t^{n}\ln (t) \,\mathrm{d}t= -\dfrac{1}{(n+1)^{2}}\]

   3. Soit \(a\) un réel de l’intervalle \(]0,1[\) et \(n\) un entier naturel, dé montrer l’égalité : \[\int_{a}^{1}f_{1}(t) \,\mathrm{d}t+\sum_{k=0}^{n}\int_{a}^{1}t^{k}\ln (t) \,\mathrm{d}t=\int_{a}^{1}t^{n+1}f_{1}(t) \,\mathrm{d}t\]

   4. Montrer que la fonction \(t\mapsto t\,f_{1}(t)\) est prolongeable en une fonction \(h_{1}\) continue sur \([0,1]\).

      En déduire que \[\lim_{a \to 0} \int_{a}^{1}f_{1}(t) \,\mathrm{d}t=\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{(k+1)^{2}}% +\int_{0}^{1}t^{n}\,h_{1}(t) \,\mathrm{d}t\]

      Dans la suite, on dira que l’intégrale \(\displaystyle \int_{0}^{1} f_{1}(t) \,\mathrm{d}t\) est convergente et on notera : \[\int_{0}^{1} f_{1}(t) \,\mathrm{d}t= \lim_{a \to 0} \int_{a}^{1}f_{1}(t) \,\mathrm{d}t\]

   5. On désigne alors par \(M\) le maximum sur \([0,1]\) de la fonction \(h_{1}\).
      Établir, pour tout entier naturel \(n\), l’inégalité: \[0\leqslant \int_{0}^{1}f_{1}(t) \,\mathrm{d}t-\sum_{k=0}^{n}\dfrac{1}{(k+1)^{2}}% \leqslant \dfrac{M}{n+1}\]

   6. Justifier la convergence de la série de terme général \(\dfrac{1}{n^{2}}\), puis l’égalité: \(\displaystyle \int_{0}^{1}f(t) \,\mathrm{d}t=\sum\limits_{n=1}^{+\infty }% \dfrac{1}{n^{2}}.\)

Partie C : Encadrement d’une fonction de deux variables

Dans cette partie, on désigne par \(V\) l’ensemble ouvert défini par: \[V=\left\lbrace (x,y)\in \mathbb{R}^{2}\, ;\ -\dfrac{1}{2}<x<\dfrac{1}{2},\;-\dfrac{1}{2}<y<% \dfrac{1}{2} \right\rbrace\]

6. Soit \(u\) la fonction de \(V\) dans \(\mathbb{R}\) : \((x,y)\mapsto u(x,y)=xy^{2}+x^{2}+y^{2}+\dfrac{1}{4}\).

   1. Montrer que la fonction \(u\) admet un minimum sur \(V\) dont on précisera la valeur, mais n’admet pas de maximum.

   2. Montrer que la fonction \(u\) est majorée par \(\dfrac{7}{8}\) sur l’ouvert \(V\).

7. Soit \(F\) la fonction : \((x,y)\longmapsto F(x,y)=\dfrac{\ln\! \left( \dfrac{3}{4}-xy^{2}-x^{2}-y^{2}\right) }{\dfrac{1}{4}% +xy^{2}+x^{2}+y^{2}}.\)

   1. À l’aide des résultats de la partie I, montrer que \(F\) est définie sur l’ouvert \(V\) et qu’elle y admet un maximum. Préciser la valeur de ce maximum.

   2. Donner un encadrement de \(F(x,y)\) pour tout \((x,y)\) de \(V\).