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Définitions et notations
Toutes les variables aléatoires qui interviennent dans ce problème sont supposées définies sur un même espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) et à valeurs réelles.
L’espérance d’une variable aléatoire \(X\) est notée \(\mathbb{E}(X)\).
Pour tout événement \(B\) et pour tout événement \(A\) de probabilité non nulle, la probabilité conditionnelle sachant \(A\) de \(B\) sera indifféremment notée \(\mathbb{P}_A(B)\) ou \(\mathbb{P}( B \, \vert \, A)\).
On rappelle que deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\) prenant des valeurs positives ou nulles sont indépendantes si et seulement si, pour tout couple \((a,b)\) de réels positifs ou nuls, on a : \[\mathbb{P}([X \leqslant a]\cap [Y \leqslant b])= \mathbb{P}([X \leqslant a]) \, P ([Y\leqslant b])\]
On rappelle qu’une variable aléatoire \(X\) prenant des valeurs positives ou nulles suit une loi exponentielle si et seulement si elle vérifie la propriété suivante, dite d’absence de mémoire : \[\forall (x,y)\in (\mathbb{R}^+)^2,\ \mathbb{P}_{[X >x ]}(X>x+y ) = \mathbb{P}(X>y)\]
Dans tout le problème, on considère une variable aléatoire \(X\) à valeurs dans \(\mathbb{R}^+\), admettant une densité \(f_X\) nulle sur \(\mathbb{R}_-^\ast\) et continue et strictement positive sur \(\mathbb{R}^+\). On note \(F\) la fonction de répartition de \(X\) et \(f\) la restriction de \(f_X\) à \(\mathbb{R}^+\). On suppose par ailleurs que \(X\) admet une espérance.
On considère enfin une suite \((X_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) de variables aléatoires mutuellement indépendantes, toutes de même loi que \(X\).
L’objet du problème est l’obtention de diverses caractérisations de la loi exponentielle.
On considère une fonction réelle \(\varphi\) continue sur \([0,1]\) vérifiant : \[\forall n \in \mathbb{N},\ \int_0^1\varphi(v) \,v^n \,\mathrm{d}v = 0\]
On se propose de démontrer que \(\varphi\) est la fonction nulle. Pour cela, on note \(M\) le maximum de la fonction \(\left| \varphi \right|\) sur \([0,1]\) et on considère, pour tout entier naturel \(n\) non nul et tout réel \(v\) de \([0,1]\), une variable aléatoire \(Y_{n,v}\) suivant la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(v\).
Soit \(n\) un entier naturel non nul, \(x\) un réel de \(]0,1[\), \(\varepsilon\) un réel strictement positif vérifiant : \[0<x-\varepsilon<x<x+\varepsilon<1\]
Comparer, pour tout réel \(v\) de \([x+\varepsilon,1]\), les événements \([Y_{n,v}\leqslant nx]\) et \([\left| Y_{n,v} - nv \right| \geqslant n \left(v-x \right)]\) et en déduire les inégalités : \[\mathbb{P}( Y_{n,v}\leqslant nx ) \leqslant \frac{v \left( 1-v \right)}{n\varepsilon^2} \leqslant \frac{1}{4n\varepsilon^2}\]
Justifier d’une façon analogue, pour tout réel \(v\) de \([0,x-\varepsilon]\), l’inégalité :
\[\mathbb{P}( Y_{n,v} > nx ) \leqslant \frac{1}{4n\varepsilon^2}\]
Établir les inégalités : \[\left| \int_{x+\varepsilon}^1\varphi(v) \, \mathbb{P}( Y_{n,v}\leqslant nx )\,\mathrm{d}v \right| \leqslant \frac{M \left( 1-x \right)}{4n\varepsilon^2} \quad\text{et}\quad \left| \int_0^{x-\varepsilon}\varphi(v) \left[ 1-\mathbb{P}( Y_{n,v}\leqslant nx ) \right] \mathrm{d}v \right|\leqslant \frac{Mx}{4n\varepsilon^2}\]
En déduire l’inégalité : \[\left| \int_0^x\varphi(v)\,\mathrm{d}v-\int_0^1\varphi(v) \, \mathbb{P}( Y_{n,v}\leqslant nx )\,\mathrm{d}v \right| \leqslant \left( \frac{1}{4n\varepsilon^2}+2\varepsilon \right) M\]
Établir que, pour tout réel \(x\) de \(]0,1[\), on a, pour tout entier naturel \(n\) assez grand : \[\left| \int_0^x\varphi(v)\,\mathrm{d}v - \int_0^1\varphi(v) \, \mathbb{P}( Y_{n,v}\leqslant nx )\,\mathrm{d}v \right| \leqslant \frac{9M}{ 4 \sqrt[3]{n}}\]
Justifier que, pour tout polynôme \(P\) à coefficient réels : \[\displaystyle \int_0^1\varphi(v) \,P(v)\,\mathrm{d}v=0\]
Déduire des questions précédentes que : \[\forall x\in \left] 0,1 \right[,\ \int_0^x\varphi(v)\,\mathrm{d}v=0\]
Conclure.
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on note \(I_n = \inf \{ X_i,\ 1 \leqslant i \leqslant n \}\) l’application définie sur \(\Omega\) par \[\forall \omega \in \Omega,\ I_n(\omega)= \min_{1\leqslant i\leqslant n} X_i(\omega)\]
Soit \(n\in\mathbb{N}^\ast\).
Soit \(x\in\mathbb{R}\) et \(\omega\). À quelle condition sur \(X_1,\dots,X_n\) a-t-on \(I_n(\omega)>x\) ?
En déduire que \(I_n\) est une variable aléatoire sur \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).
Déterminer, à l’aide de la fonction \(F\), la fonction de répartition de \(I_n\).
Prouver enfin que \(I_n\) admet une espérance.
Dans cette question uniquement, on suppose que \(X\) suit la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\) strictement positif.
Compléter la fonction Python suivante
pour que l’appel de I(n,lambda) renvoie une
simulation de la variable aléatoire \(I_n\) :
import numpy.random as rd
import numpy as np
def I(n,Lambda):
X=.............
return np.min(X)On s’intéresse alors au script Python
suivant, utilisant la fonction définie dans la question précédente :
import numpy.random as rd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
Lambda=float(input('lambda='))
n=int(input('n='))
NbSimuls=10**5
In=np.zeros(NbSimuls)
for k in range(NbSimuls):
In[k]=n*I(n,Lambda)
x=np.arange(0,10.1,0.1)
plt.hist(In,x,density=True)
plt.plot(x,Lambda*np.exp(-Lambda*x))
Plusieurs exécutions de ce script ont renvoyé les graphiques suivants :
Quelle conjecture peut-on faire ?
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, déterminer la loi de \(nI_n\).
Déterminer, pour tout entier naturel \(n\) non nul, l’espérance de \(I_n\).
L’objet de la suite de cette partie est d’établir que chacune de ces propriétés est caractéristique de la loi exponentielle.
Dans cette question uniquement, on suppose que, pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), \(nI_n\) suit la même loi que \(X\).
Démontrer que : \[\forall n\in\mathbb{N}^\ast,\ \forall x\in\mathbb{R},\ F(x)=1-\left(1-F\!\left( \frac{x}{ n} \right)\right)^n\]
Déterminer, pour tout réel \(x\) positif ou nul, la valeur de : \(\displaystyle \lim_{n\to+\infty} n \ln\!\left(1-F\!\left( \frac{x}{ n} \right)\right)\).
Montrer alors que la loi de \(X\) est la loi exponentielle de paramètre \(f(0)\).
On revient au cas général.
Montrer que la fonction \(F\) induit une bijection de \([0,+\infty[\) sur \(\left[ 0,1 \right[\). On note \(F^{-1}\) sa réciproque.
À l’aide d’un changement de variable, établir, pour tout entier naturel \(n\) non nul : \[\mathbb{E}(I_n)=n\int_0^1 (1-u)^{n-1} F^{-1}(u)\,\mathrm{d}u\]
On considère la fonction \(G\) définie sur \([0,1]\) par : \[\forall u\in [0,1],\ G(u) = \begin{cases} \left( 1-u \right) F^{-1}(u) &\text{si } 0 \leqslant u < 1 \\ \hspace{0.9cm} 0 &\text{si } u=1 \end{cases}\]
Démontrer que : \[\forall u\in \left[ 0,1 \right[,\ 0\leqslant G(u) \leqslant \int_u^1F^{-1}(t)\,\mathrm{d}t\]
En déduire que \(G\) est continue sur \([0,1]\).
Démontrer alors que, pour tout \(n\geqslant 2\) : \[\mathbb{E}(I_n)=n\int_0^1 (1-u)^{n-2} \,G(u)\,\mathrm{d}u = n\int_0^1 v^{n-2} \, G(1-v)\,\mathrm{d}v\]
On suppose maintenant qu’il existe un réel \(\lambda\) strictement positif tel que : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \mathbb{E}(I_n) = \frac{1}{n\lambda}\]
On note \(F_\lambda\) la restriction à \([0,+\infty[\) de la fonction de répartition de la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\) et \(G_\lambda\) la fonction définie sur \([0,1]\) par : \[\forall u\in [0,1],\ G_\lambda (u) = \begin{cases} \left( 1-u \right) F_\lambda^{-1}(u) &\text{si } 0 \leqslant u < 1 \\ \hspace{0.9cm} 0 &\text{si } u=1 \end{cases}\]
Pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à \(2\), que vaut \(\displaystyle \int_0^1 v^{n-2}\left[ G_\lambda(1-v)- G(1-v) \right] \mathrm{d}v\) ?
En déduire que \(G=G_\lambda\).
En déduire finalement que \(X\) suit la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\).
On pose \(R_1= X_1\) et on note \(R_2\) l’application définie sur \(\Omega\) par : \[\forall \omega\in\Omega,\ R_2 (\omega)= \begin{cases} X_n(\omega)& \text{si $n$ est le plus petit des entiers $k$ tels que $X_k(\omega)>X_1(\omega)$} \\ X_1(\omega)& \text{si un tel entier n'existe pas} \end{cases}\]
On admet que \(R_2\) est une variable aléatoire sur \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).
Exprimer l’événement \([R_2=R_1]\) à l’aide de la suite d’événements \(\bigl([X_k \leqslant X_1]\bigr)_{k\in\mathbb{N}^\ast}\).
Établir, pour tout réel \(t\) positif ou nul et pour tout entier naturel \(n\) non nul, l’inégalité : \[\mathbb{P}\! \left( \bigcap_{k=2}^{n+1} [X_k\leqslant X_1] \right) \leqslant \left[ F(t) \right]^{n+1}+1-F(t)\]
Soit \(\varepsilon\) un réel strictement positif. En choisissant un réel \(t\) de façon convenable et à l’aide de l’inégalité précédente, montrer que, pour tout entier \(n\) assez grand, on a : \[\mathbb{P}\! \left( \bigcap_{k=2}^{n+1} [X_k \leqslant X_1] \right) \leqslant 2\varepsilon\]
En déduire que, presque sûrement, \(R_2>R_1\).
Pour tout couple \((x,y)\) de réels positifs ou nuls on pose :
\[\varphi(x,y)=\mathbb{P}\!\left( [R_1\leqslant x]\cap[R_2 - R_1 > y]\right)\]
Soit \((x,y)\) un couple de réels positifs ou nuls et \(h\) un réel strictement positif.
Justifier que : \[\varphi(x+h,y)-\varphi(x,y)= \sum_{j=1}^{+\infty} \mathbb{P}\!\left( [x<X_1\leqslant x+h]\cap \left( \bigcap_{i=2}^j [X_i\leqslant X_1] \right) \cap [X_{j+1} >y+X_1] \right)\]
En déduire que : \[\frac{ F(x+h)-F(x) }{1-F(x)} \left[ 1-F(x+y+h) \right] \leqslant \varphi(x+h,y)-\varphi(x,y) \leqslant \frac{ F(x+h)-F(x) }{1-F(x+h)} \left[ 1-F(x+y) \right]\]
Déterminer alors la limite de \(\displaystyle \frac{\varphi(x+h,y)-\varphi(x,y)}{ h}\) quand \(h\) tend vers \(0\) par valeurs supérieures.
Si \(x\in\mathbb{R}_+^\ast\) et \(y\in\mathbb{R}^+\), quelle est la limite de \(\displaystyle \frac{\varphi(x+h,y)-\varphi(x,y)}{ h}\) quand \(h\) tend vers \(0\) par valeurs inférieure ?
Prouver alors que, pour tout \(y \in \mathbb{R}^+\), la fonction \(x\mapsto \varphi(x,y)\) est dérivable sur \(\mathbb{R}^+\) et que : \[\forall (x,y)\in (\mathbb{R}^+)^2,\ \partial_1 \varphi(x,y) = \frac{f(x)}{ 1-F(x)} \left[ 1-F(x+y) \right]\]
Dans cette question, on suppose que la loi de \(X\) est la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\) strictement positif.
Prouver que : \[\forall (x,y)\in (\mathbb{R}^+)^2,\ \varphi(x,y)= \left( 1-\mathrm{e}^{-\lambda x} \right) \mathrm{e}^{-\lambda y}\]
En déduire la loi de \(R_2-R_1\) puis l’indépendance des variables aléatoires \(R_1\) et \(R_2-R_1\).
Réciproquement, dans cette question, on suppose que les variables \(R_1\) et \(R_2 -R_1\) sont indépendantes et on note \(G\) la fonction de répartition de \(R_2-R_1\).
Établir l’égalité : \[\forall (x,y)\in (\mathbb{R}^+)^2,\ \frac{1- F(x+y)}{ 1-F(x)}=1-G(y)\]
En déduire que les fonctions \(G\) et \(F\) sont égales puis, à l’aide de la propriété d’absence de mémoire, montrer que \(X\) suit une loi exponentielle.
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.