HEC, ESCP 2000 Maths 2Maths appliquées

Ce problème se compose de cinq parties : il étudie deux suites de variables aléatoires discrètes et une simulation informatique.

Dans tout le problème, \(n\) désigne un entier naturel non nul. On considère une urne \(U_{n}\) contenant \(n\) boules numérotées de \(1\) à \(n\).

On tire une boule au hasard dans \(U_{n}\). On note \(k\) le numéro de cette boule. Si \(k\) est égal à 1 , on arrête les tirages. Si \(k\) est supérieur ou égal à \(2\), on enlève de l’urne \(U_{n}\) les boules numérotées de \(k\) à \(n\) (il reste donc les boules numérotées de 1 à \(k-1\)), et on effectue à nouveau un tirage dans l’urne. On répète ces tirages jusqu’à l’obtention de la boule numéro \(1\).

On modélise cette expérience par un espace probabilisé \((\Omega, \mathcal{A},\mathbb{P})\) que l’on ne demande pas de préciser et on note :

• \(X_{n}\) la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires pour l’obtention de la boule numéro \(1\),

• \(Y_{n}\) la variable aléatoire égale à la somme des numéros des boules tirées.

• \(\mathbb{E}(X_{n})\) et \(\mathbb{V}(X_{n})\) (respectivement \(\mathbb{E}(Y_{n})\) et \(\mathbb{V}(Y_{n})\) l’espérance et la variance de \(X_{n}\) (respectivement \(Y_{n}\)).

Partie 1

1. On pose : \[\forall n \in\mathbb{N}^*,\ h_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}=1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\]

   1. Montrer, pour tout entier naturel \(k\) non nul, les inégalités : \[\frac{1}{k+1} \leqslant \ln (k+1)-\ln (k) \leqslant \frac{1}{k}\]

   2. En déduire les inégalités : \[\forall n \in\mathbb{N}^*,\ \ln (n+1) \leqslant h_{n} \leqslant 1+\ln (n)\]

   3. Déterminer un équivalent simple de \(h_{n}\) quand \(n\) tend vers l’infini.

2. On pose : \[\forall n \in\mathbb{N}^*,\ k_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}}=1+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{n^{2}}\]

   1. Montrer, pour tout entier \(k\) supérieur ou égal à 2, l’inégalité : \[\frac{1}{k^{2}} \leqslant \frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\]

   2. En déduire la majoration: \[\forall n \in\mathbb{N}^*,\ k_{n} \leqslant 2\]

   3. Déterminer un équivalent simple de \(h_{n}-k_{n}\) quand \(n\) tend vers l’infini.

Partie 2: Étude de la variable aléatoire \(X_n\)

On note \(I_{n}\) la variable aléatoire égale au numéro de la première boule tirée dans l’urne \(U_{n}\).

3. 1. Quelle est la loi de \(I_{n}\) ?

   2. Quelle est la loi conditionnelle de \(X_{n}\) sachant \([I_{n}=1]\) ?

   3. Si \(n\) est supérieur ou égal à 2, montrer que : \[\forall j \in \mathbb{N}^{*} ,\ \forall k \in\{2, \ldots, n\} ,\ \mathbb{P}_{ [I_n = k]}( X_{n}=j )= \mathbb{P}( X_{k-1}=j-1 )\]

4. 1. Quelle est la loi de \(X_{1}\) ?

   2. Que peut-on dire de l’événement \([ X_{2}=1 ]\) ? Donner la loi de \(X_{2}\), son espérance et sa variance.

   3. Calculer \(\mathbb{P}_{[ I_3 = 1]} (X_{3}=2 )\), \(\mathbb{P}_{[ I_3 = 2]} (X_{3}=2 )\) et \(\mathbb{P}_{[ I_3 = 3]} (X_{3}=2 )\) puis déterminer la loi de \(X_{3}\), son espérance et sa variance.

5. 1. Montrer que \(X_{n}\) prend ses valeurs dans \(\{1,2, \ldots, n\}\).

   2. Déterminer \(\mathbb{P}( X_{n}=1 )\) et \(\mathbb{P}( X_{n}=n )\).

   3. Si \(n\) est supérieur ou égal à 2, montrer la relation : \[\forall j \geqslant 2 \,\ \mathbb{P}(X _{n}=j )=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} \mathbb{P}(X_{k}=j-1)\]

   4. Calculer \(n \,\mathbb{P}(X_{n}=j) - \left( n-1 \right) \mathbb{P}( X_{n-1}=j)\) si \(n\) est supérieur ou égal à 3 et si \(j\) est un entier supérieur ou égal à 2.

      En déduire, si \(n\) est un entier supérieur ou égal à 2 : \[\forall j \geqslant 1 ,\ \mathbb{P}( X_{n}=j)=\frac{n-1}{n} \, \mathbb{P}(X_{n-1}=j )+\frac{1}{n} \, \mathbb{P}(X_{n-1}=j-1)\]

6. 1. Si \(n\) est supérieur ou égal à 2, montrer, en utilisant la question précédente, que : \[\mathbb{E}(X_{n})= \mathbb{E}(X_{n-1})+\dfrac{1}{n}\]

   2. En déduire \(\mathbb{E}(X_{n})\) et donner un équivalent simple de \(\mathbb{E}(X_{n})\) quand \(n\) tend vers l’infini.

7. 1. Si \(n\) est supérieur ou égal à 2, calculer \(\mathbb{E}(X_{n}^{2})\) en fonction de \(\mathbb{E}(X_{n-1}^{2})\) et de \(\mathbb{E}(X_{n-1})\).

   2. En déduire : \(\mathbb{V}(X_{n} )=h_{n}-k_{n}\) (en reprenant les notations introduites en Partie 1).

   3. Donner un équivalent de \(\mathbb{V}(X_{n})\) quand \(n\) tend vers l’infini.

8. Soit \(\left(T_{i}\right)_{i \geqslant 1}\) une suite de variables aléatoires indépendantes telle que, pour tout \(i\) entier naturel non nul, \(T_{i}\) suit la loi de Bernoulli de paramètre \(\dfrac{1}{i}\). On pose : \[S_{n}=\sum_{i=1}^{n} T_{i}=T_{1}+\cdots+T_{n}\]

   1. Vérifier que \(X_{1}\) et \(T_{1}\) ont même loi.

   2. Si \(n\) est supérieur ou égal à 2, montrer que, pour tout entier \(j\) non nul : \[\mathbb{P}( S_{n}=j)=\frac{1}{n} \, \mathbb{P}(S_{n-1}=j-1)+\frac{n-1}{n} \, \mathbb{P}(S_{n-1}=j)\]

      En déduire que \(X_{n}\) et \(S_{n}\) ont même loi.

   3. Retrouver ainsi \(\mathbb{E}(X_{n})\) et \(\mathbb{V}(X_{n})\).

Partie 3 : Étude de la variable aléatoire

9. Donner la loi de \(Y_{1}\).

10. 1. Quelles sont les valeurs prises par \(Y_{2}\) ?

    2. Déterminer la loi de \(Y_{2}\).

11. 1. Si \(n\) est supérieur ou égal à 2, montrer, pour tout entier \(j\) non nul et tout entier \(k\) supérieur ou égal à 2 : \[\mathbb{P}_{[ I_{n}=k ]}( Y_{n}=j )=\mathbb{P}(Y_{k-1}=j-k)\]

    2. Si \(n\) est supérieur ou égal à 2, en déduire, pour tout entier \(j\) supérieur ou égal à 1 : \[\mathbb{P}( Y_{n}=j)=\frac{n-1}{n} \, \mathbb{P}( Y_{n-1}=j )+\frac{1}{n} \, \mathbb{P}( Y_{n-1}=j-n )\]

    3. Si \(n\) est supérieur ou égal à 2, montrer : \(\mathbb{E}( Y_{n})= \mathbb{E}(Y_{n-1})+1\).

       Que vaut \(\mathbb{E}(Y_{n})\) pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 1 ?

Partie 4. Simulation informatique

Dans le langage informatique Python, la commande \(rd.randint(n)\) renvoie un entier aléatoire compris entre \(0\) et \(n-1\). On donne le programme suivant :

import numpy as np
import numpy.random as rd

def Truc(n,a,b):
    alea=rd.randint(n)+1
    print(alea)
    if alea>1:
        a=a+1
        b=b+alea
        Truc(alea-1,a,b)

a=1
b=1
n=int(input("n="))
Truc(n,a,b)
print("a=",a,"b=",b)

12. Que fait ce programme ? Que représentent \(a\) et \(b\) ?

13. Cet algorithme est utilise la récursivité. Transformer ce programme en un programme Python itératif (n’utilisant pas de fonction).

Partie 5

On considère l’urne \(U_{n}\) contenant \(n\) boules numérotées entre 1 et \(n\). À partir de l’urne \(U_{n}\), on effectue la suite de tirages décrite dans l’en-tête du problème. Pour \(i\) entier de \(\{1, \ldots, n\}\), on définit \(Z_{i}^{(n)}\) la variable aléatoire égale à 1 si, lors d’un quelconque de ces tirages, on a obtenu la boule numéro \(i\), égale à 0 sinon.

14. Quelle est la loi de \(Z_{n}^{(n)}\) ? Que dire de la variable \(Z_{1}^{(n)}\) ?

15. 1. Si \(n\) est supérieur ou égal à 2, et \(i\) un entier de \(\{1, \ldots, n-1\}\), montrer la relation : \[\mathbb{P}( Z_{i}^{(n)}=1 )=\frac{1}{n}+\sum_{k=i+1}^{n} \frac{1}{n} \, \mathbb{P}( Z_{i}^{(k-1)}=1)\]

    2. Montrer par récurrence que, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\) et pour tout \(i\) de \(\{1, \ldots, n\}\), \(Z_{i}^{(n)}\) suit la loi de Bernoulli de paramètre \(\dfrac{1}{i}\).

16. Que vaut \(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} Z_{i}^{(n)}\) ? Retrouver ainsi \(\mathbb{E}( (X_{n})\).

17. Retrouver \(\mathbb{E}(Y_{n})\).