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Une éprouvette contient \(10\) bactéries, \(4\) sont des bactéries de type \(A\), \(6\) de type \(B\). On les laisse se reproduire en milliers d’exemplaires, la proportion de bactéries de chaque type restant inchangée. On prélève alors, au hasard, \(10\) bactéries que l’on met dans une autre éprouvette. On les laisse se reproduire en milliers d’exemplaires dans les mêmes conditions que précédemment, et on recommence l’expérience.
Que se passe-t-il après un grand nombre d’expériences ? L’énoncé théorique ci-dessous propose un modèle probabiliste pour répondre à cette question dans le cas plus général où l’éprouvette contient initialement \(N\) bactéries, dont \(k_0\) de type \(A\) exactement, \(N\) et \(k_0\) étant deux entiers naturels tels que \(k_0\leqslant N\) et \(N\geqslant 1\).
Soient \(m\) et \(n\) deux entiers naturels non nuls tels que \(n<m\) et \(p\) un réel appartenant à \(]0,1[\).
On considère une éprouvette contenant \(m\) bactéries, dont une proportion \(p\) de bactéries de type \(A\). On effectue dans cette éprouvette un prélèvement de \(n\) bactéries successivement et sans remise et on note \(Y\) la variable aléatoire égale au nombre de bactéries de type \(A\) dans ce prélèvement.
Déterminer la loi de \(Y\). On précisera, pour tout entier naturel \(k\), la probabilité \(\mathbb{P}(Y=k)\).
Donner l’espérance \(\mathbb{E}(Y)\) de \(Y\).
Soit \(k\) un entier naturel compris entre \(0\) et \(n\).
Prouver qu’il existe un entier naturel \(m_1\) non nul tel que : \[\forall m\geqslant m_1,\ k\leqslant mp \quad\text{et}\quad n-k\leqslant m(1-p).\]
Démontrer que : \[\binom {mp}k \underset{{m\to {+\infty}}}{\sim} \frac{(mp)^k}{k!}.\]
En déduire que : \[\lim_{m\to {+\infty}} \mathbb{P}(Y=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}.\]
Ce résultat permet de dire que, quand l’effectif total \(m\) de la population de bactéries est grand par rapport à la population prélevée \(n\), on peut considérer que les bactéries sont prélevées avec remise.
Notations
Dans la suite du problème, \(N\) désigne un entier supérieur ou égal à \(2\) et \(k_0\) un entier de \(\left[\kern-0.15em\left[ {0,N} \right]\kern-0.15em\right]\). On pose : \[p =\frac {k_0}{N} \quad\text{et}\quad q = 1-p.\]
Pour modéliser la suite de prélèvements, on considère un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) et une suite \((X_n)_{n\in \mathbb{N}}\) de variables aléatoires sur \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\), à valeurs dans \(\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\), dont les lois de probabilité sont définies de la manière suivante :
\(X_0\) est la variable constante égale à \(k_0\).
\(X_1\) suit la loi binomiale de paramètres \(N\) et \(p\) (par convention, on dit que la loi binomiale de paramètres \(N\) et \(0\) est la loi de la variable constante égale à \(0\) et que la loi binomiale de paramètres \(N\) et \(1\) est la loi de la variable constante égale à \(N\)).
Pour tout entier \(n\) non nul et tout entier \(k\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {0,N} \right]\kern-0.15em\right]\) tel que \(P(X_n=k)\neq0\), la loi conditionnelle de \(X_{n+1}\) sachant \([X_n=k]\) est la loi binomiale de paramètres \(N\) et \(\dfrac{k}{N}\), i.e. : \[\forall i\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,N} \right]\kern-0.15em\right],\ \mathbb{P}_{[X_n=k]}(X_{n+1}= i) = \binom Ni\left(\frac{k}{N}\right)^i \left(1-\frac{k}{N}\right)^{N-i}.\]
On fait de plus l’hypothèse (H) suivante : pour tout entier \(n\) non nul, pour tout \((k_1,\dots,k_n)\) appartenant à \(\left[\kern-0.15em\left[ {0,N} \right]\kern-0.15em\right]^n\) tel que \(\mathbb{P}([X_1 = k_1]\cap [X_2=k_2]\cap \dots \cap [X_n=k_n])\neq 0\) : \[\forall i\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,N} \right]\kern-0.15em\right],\ \mathbb{P}_{([X_1 = k_1]\cap [X_2=k_2]\cap \dots \cap [X_n=k_n])}(X_{n+1}=i)=\mathbb{P}_{[X_n=k_n]}(X_{n+1}=i).\]
On définit enfin la suite de variables aléatoires \((F_n)_{n\in\mathbb{N}}\), par : \[\forall n \in \mathbb{N},\ F_n=\frac{X_n}{N}.\]
Ainsi, dans l’exemple des bactéries, pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), \(X_n\) pourrait représenter le nombre de bactéries de type \(A\) prélevées lors de la \(n^{\grave{e}me}\) expérience et \(F_n\) la proportion de bactéries de type \(A\) dans le \(n^{\grave{e}me}\) prélèvement.
On considère le script Python suivant
:
import numpy.random as rd
import numpy as np
def Simul(N,n):
X=np.zeros(n+1)
X[0]=rd.randint(1,N+1)
for k in range(n):
X[k+1]=..........
return ..............
Que contient la variable X à l’issue de
la ligne (5) ?
Compléter la ligne (7) pour qu’à l’issue de la boucle
for la variable X
contienne une simulation des variables aléatoires \(X_0,X_1,\dots,X_n\).
Compléter la ligne (8) pour que la fonction renvoie une simulation de \(F_0,F_1,\dots,F_n\).
On s’intéresse maintenant au script
Python suivant, utilisant la fonction
Simul étudiée dans la question précédente (en
remplaçant la ligne (3) de la fonction par
X[0]=4) :
import matplotlib.pyplot as plt N=10 n=50 plt.plot(np.arange(n+1),Simul(N,n))
On a exécuté ce script \(10\) fois et obtenu les graphiques suivants :
Commenter les graphiques obtenus.
Dans cette partie, on suppose que \(N=3\).
Que dire de la suite \((X_n)_{n\in\mathbb{N}}\) si \(k_0 = 0\) ? Si \(k_0 = 3\) ?
Dans la suite de cette partie, on suppose désormais que \(k_0 =1\).
Pour tout entier naturel \(n\), on pose : \[U_n=\begin{pmatrix}\mathbb{P}(X_n=0)\\ \mathbb{P}(X_n=1)\\ \mathbb{P}(X_n=2)\\ \mathbb{P}(X_n=3)\end{pmatrix} \quad\text{et}\quad A=\frac{1}{27}\,\begin{pmatrix} 27 & 8& 1&0\\ 0 & 12 & 6 & 0\\ 0 & 6 & 12 &0\\ 0& 1 & 8 & 27 \end{pmatrix}.\]
Montrer que : \[\forall n \in \mathbb{N},\ U_{n+1}=AU_n.\]
On considère le vecteur ligne \(V = \begin{pmatrix} 0 & 1& 2& 3 \end{pmatrix}\). Calculer \(VA\).
Pour tout entier naturel \(n\), comparer \(VU_n\) et l’espérance \(\mathbb{E}(X_n)\) de \(X_n\).
En déduire la valeur de \(\mathbb{E}(X_n)\) pour tout entier naturel \(n\).
On définit les vecteurs \(Y_1,Y_2,Y_3,Y_4\) par : \[Y_1=\begin{pmatrix} 1\\0\\0\\0\end{pmatrix},\quad Y_2=\begin{pmatrix}1\\ -3\\ 3\\ -1\end{pmatrix},\quad Y_3=\begin{pmatrix}1\\ -1\\ -1\\ 1\end{pmatrix},\quad\text{et}\quad Y_4=\begin{pmatrix} 0\\0\\0\\1 \end{pmatrix}.\]
Montrer que \((Y_1,Y_2,Y_3,Y_4)\) est une base de \(\mathcal{M}_{4,1}(\mathbb{R})\).
On considère la matrice \(P\) suivante : \[P=\begin{pmatrix} 1&1&1&0\\0&-3&-1&0\\0&3&-1&0\\0&-1&1&1 \end{pmatrix}.\] Montrer que \(P\) est inversible et calculer \(P^{-1}\).
Expliciter la matrice \(D=P^{-1}AP\).
En déduire une expression de \(A^n\) pour tout entier naturel \(n\).
Montrer finalement que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), la loi de \(X_n\) est donnée par: \[\begin{gathered} \mathbb{P}(X_n=0)=\frac{2}{3}-\frac 12 \left(\frac 23\right)^n-\frac 16\left(\frac 29\right)^n,\qquad \mathbb{P}(X_n=1)=\frac 12\left[\left(\frac 23\right)^n+\left(\frac 29\right)^n\right],\\ \mathbb{P}(X_n=2)=\frac 12\left[\left(\frac 23\right)^n-\left(\frac 29\right)^n\right],\qquad \mathbb{P}(X_n=3)=\frac{1}{3}-\frac 12 \left(\frac 23\right)^n+\frac 16\left(\frac 29\right)^n. \end{gathered}\]
On note \(E\) l’événement : « au bout d’un temps fini, l’éprouvette ne contient qu’un seul type de bactéries ».
Exprimer l’événement \(E\) en fonction des variables aléatoires \(X_n\), \(n\in\mathbb{N}\).
En déduire que \(E\) se réalise presque sûrement.
Pour tout entier \(n\) non nul, on note \(B_n\) l’événement défini par : \[B_n =\bigcap_{k=1}^n[X_k\leqslant 1].\]
On considère enfin les suites \((x_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) et \((y_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) définies par : \[x_1=\mathbb{P}(X_1=0),\quad \forall n\geqslant 2,\ x_n = \mathbb{P}([X_1= 1]\cap \dots \cap [X_{n-1}=1]\cap [X_n = 0] )\] et : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ y_n= \mathbb{P}([X_1= 1]\cap \dots \cap [X_{n-1}=1]\cap [X_n = 1] ).\]
Exprimer pour tout entier \(k\) non nul, \(x_{k+1}\) et \(y_{k+1}\) en fonction de \(y_k\).
En déduire les valeurs de \(x_n\) et \(y_n\) pour tout entier \(n\) non nul.
Montrer que : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \mathbb{P}(B_n)=\sum_{k=1}^n x_k + y_n.\]
En déduire la probabilité \(\mathbb{P}(B_n)\) et sa limite quand \(n\) tend vers \({+\infty}\).
Calculer finalement la probabilité de l’événement \(F\) : « il existe \(n\in \mathbb{N}\) tel que : \(F_n>0,5\) ».
Dans cette partie, on revient au cas général où \(N\) est un entier supérieur ou égal à \(2\) et \(k_0\) un entier de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,N-1} \right]\kern-0.15em\right]\).
On pose, pour tout entier naturel \(n\) : \[u_n = \mathbb{P}(X_n=0) + \mathbb{P}(X_n=N) \quad\text{et}\quad v_n=1-u_n.\]
À l’aide de la formule de l’espérance totale, prouver que : \[\forall n \in \mathbb{N},\ \mathbb{E}(X_{n+1}) = \mathbb{E}(X_n).\]
Montrer de même que : \[\forall n \in \mathbb{N},\ \mathbb{E}\left(X_{n+1}(N-X_{n+1})\right)= \frac{N-1}{N}\, \mathbb{E}\left(X_n(N-X_n)\right).\]
En déduire la valeur de \(E\left(X_n(N -X_n)\right)\) en fonction de \(n\), \(N\) et \(k_0\).
Montrer que la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est croissante et convergente.
Soit \(X\) une variable aléatoire discrète définie sur \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\), prenant un nombre fini de valeurs, toutes positives ou nulles. Montrer que : \[\forall a\in \mathbb{R}_+^\ast,\ \mathbb{P}(X\geqslant a)\leqslant \frac{\mathbb{E}(X)}{a}.\]
Étudier les variations de la fonction \(f:x\mapsto x(N-x)\) sur \([1,N-1]\).
En déduire que : \[\forall n \in \mathbb{N},\ 0\leqslant v_n\leqslant pq\frac{N^2}{N-1}\left(1-\frac{1}{N}\right)^n.\]
Quelle est la limite de la suite \((v_n)_{n\in\mathbb{N}}\) ?
En déduire que : \[\forall k\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,N-1} \right]\kern-0.15em\right],\ \lim_{n\to+\infty}\mathbb{P}(X_n=k)=0.\]
Démontrer alors que : \[\lim_{n\to+\infty} \mathbb{P}(X_n=N)=p.\]
Déterminer finalement la limite de \(\mathbb{P}(X_n=0)\) quand \(n\) tend vers \({+\infty}\).
Démontrer finalement que, presque sûrement, l’éprouvette ne contiendra qu’un seul type de bactéries au bout d’un temps fini.
On définit la variable aléatoire \(T\) sur \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) par :
si pour tout entier \(n\), \((X_n\neq 0)\) et \((X_n\neq N)\), alors \(T=0\),
sinon, \(T=n\) où \(n\) est le plus petit entier \(k\) tel que \((X_k=0)\) ou \((X_k=N)\).
Que vaut \(\mathbb{P}(T=0)\) ?
Montrer que : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \mathbb{P}(T=n)=v_{n-1}-v_n.\]
Montrer que : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \sum_{k=1}^n k\;\mathbb{P}(T=k)=\sum_{k=0}^{n-1}v_k-nv_n.\]
En déduire que \(T\) admet une espérance et que : \[\mathbb{E}(T)\leqslant pq\frac{N^3}{N-1}.\]
Dans l’exemple des bactéries, on a posé la question : « Que se passe-t-il après un grand nombre d’expériences ? » . Pouvez-vous maintenant y répondre ?
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