HEC 2018Maths appliquées

Exercice

Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à \(2\) et \(f\) un endomorphisme de \(\mathbb{R}^n\). On note \(\mathrm{id}\) l’endomorphisme identité de \(\mathbb{R}_n\) et \(\theta\) l’endomorphisme nul de \(\mathbb{R}^n\).

On définit la suite d’endomorphismes \((f^j)_{j\in\mathbb{N}}\) en posant \(f^0= \mathrm{id}\) et : \[\forall j \in \mathbb{N}, \ f^{j+1}=f \circ f^j\]

On suppose que \(f^n\) est l’endomorphisme nul de \(\mathbb{R}^n\).

1. Soit \(M\) la matrice définie par : \[M=\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}\]

   1. Déterminer le spectre de \(M\). La matrice \(M\) est-elle diagonalisable ?

   2. Préciser le rang des matrices \(M\) et \(M^2\) respectivement.

   3. Quels sont les polynômes annulateurs de \(M\) dont le degré est égal à \(3\) ?

2. Pour tout \(j \in \left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\), on note \(F_j\) l’image de l’endomorphisme \(f^j\) et \(r_j\) son rang : \[F_j= \mathrm{Im}(f^j) \quad\text{et}\quad r_j=\dim(F_j)\]

   Pour tout \(j \in \left[\kern-0.15em\left[ {0,n-1} \right]\kern-0.15em\right]\), on note \(g_j\) la restriction de \(f\) à \(F_j\), c’est-à-dire l’application linéaire de \(F_j\) dans \(\mathbb{R}^n\) définie par : \[\forall x \in F_j, \ g_j(x)=f(x)\]

   1. Calculer \(r_0\) et \(r_n\).

   2. Soit \(j \in \left[\kern-0.15em\left[ {0,n-1} \right]\kern-0.15em\right]\).

      1. Déterminer le rang de \(g_j\).

      2. Justifier l’égalité : \(r_j-r_{j+1}=\dim(\mathrm{Ker}(f) \cap F_j)\).

   3. Établir les inégalités : \[n \geqslant r_0-r_1 \geqslant r_1-r_2 \geqslant \ldots \geqslant r_{n-1}-r_n \geqslant 0\]

3. On rappelle que le cardinal d’un ensemble fini \(H\), noté \(\mathrm{Card}(H)\), est le nombre de ses éléments.
   Pour tout \(k \in \mathbb{N}^\ast\), on note \(P(k)\) l’ensemble des \(k\)-uplets \((x_1,x_2,\ldots,x_k)\) d’entiers naturels tels que \(\displaystyle\sum_{i=1}^k i x_i=k\), c’est-à-dire : \[P(k)=\{(x_1,x_2,\ldots,x_k) \in \mathbb{N}^k, \ x_1+2x_2 + \cdots + k x_k=k\}\]

   On pose \(p(k)=\mathrm{Card}(P(k))\). Enfin, pour tout \(i \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), on pose : \[y_i= \mathrm{Card}\left(\{j \in \left[\kern-0.15em\left[ {0,n-1} \right]\kern-0.15em\right] ,\ r_j-r_{j+1}=i\} \right)\]

   1. Montrer que \((y_1,y_2, \ldots,y_n)\) est un élément de \(P(n)\).

   2. Dans cette question, on suppose que \(n\) est égal à \(4\).

      1. Déterminer \((y_1,y_2,y_3,y_4)\) lorsque \(f\) est l’endomorphisme de matrice \(M\) dans la base canonique de \(\mathbb{R}^4\).

      2. Trouver l’ensemble \(P(4)\) et vérifier que \(p(4)=5\).

      3. Montrer que, pour tout \((x_1,x_2,x_3,x_4) \in P(4)\), il existe un endomorphisme \(f\) de \(\mathbb{R}^4\) vérifiant : \[\forall i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right],\ x_i= \mathrm{Card}\left(\{j \in \left[\kern-0.15em\left[ {0,n-1} \right]\kern-0.15em\right] ,\ r_j-r_{j+1}=i\} \right)\]

4. Pour tout couple \((\ell,k) \in (\mathbb{N}^*)^2\), on pose : \[Q(\ell,k)=\{(x_1,x_2, \ldots, x_k)\in P(k) , \ x_1+x_2 +\cdots +x_k \leqslant \ell\}\] et \(q(\ell, k)=\mathrm{Card}(Q(\ell,k))\).

   1. Soit \(k \in \mathbb{N}^*\).

      1. Déterminer l’ensemble \(Q(1,k)\).

      2. Pour tout entier \(\ell \geqslant k\), justifier l’égalité : \(Q(\ell, k)=P(k)\).

   2. Pour tout couple \((\ell,k)\) d’entiers tels que \(k > \ell \geqslant 2\), établir la relation : \[q(\ell,k-\ell)= \mathrm{Card}\left(\{(x_1,x_2,\ldots,x_k) \in P(k) , \ x_1+x_2 +\cdots + x_k=\ell \}\right)\]

   3. Soit \(\ell\) un entier supérieur ou égal à \(2\).

      1. Pour tout entier \(k>\ell\), montrer l’égalité : \(q(\ell,k)=q(\ell-1,k)+q(\ell, k-\ell)\).

      2. Que vaut \(q(\ell,\ell) - q(\ell-1,\ell)\) ?

5. La fonction Python suivante dont le script est incomplet (lignes (5) et (6)), calcule une matrice qmatrix(n) telle que pour chaque couple \((\ell,k) \in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]^2\), le coefficient situé à l’intersection de la ligne \(\ell\) et de la colonne \(k\) est égal à \(q(l,k)\).

   import numpy as np
   def qmatrix(n):
       q=np.ones([n,n])
       for L in range(1,n):
           for K in range(1,n):
               if K<L:
                   q[L,K]=..................
               elif K==L:
                   q[L,K]=..................
               else:
                   q[L,K]=q[L-1,K]+q[L,K-L-1]
       return q

   L’application de la fonction qmatrix à l’entier \(n=9\) fournit la sortie suivante :

   1. Compléter les lignes (7) et (9) du script de la fonction qmatrix.

   2. Donner un script Python permettant de calculer \(p(n)\) à partir d’une valeur de \(n\) entrée au clavier.

   3. Conjecturer une formule générale pour \(q(2,k)\) applicable à tout entier \(k \geqslant 1\), puis la démontrer.

Problème

Dans tout le problème :

• toutes les variables aléatoires introduites sont supposées définies sur un même espace probabilisé \((\Omega, {\cal A},\mathbb{P})\);

• on note \(n\) un entier supérieur ou égal à 2.

L’objet du problème est l’étude de sommes de variables aléatoires suivant une loi de Bernoulli de même paramètre, mais qui ne sont pas nécessairement indépendantes.

Les parties II et III sont indépendantes de la partie I.

Partie I. Valeurs possibles du coefficient de corrélation linéaire dans divers schémas
de Bernoulli

Dans cette partie, on considère des variables aléatoires \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) suivant chacune la même loi de Bernoulli de paramètre \(p\) avec \(0<p<1\), c’est à dire : \[\forall k \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right], \ \mathbb{P}( X_k=1 )=p \quad \text{et} \quad \mathbb{P}( X_k=0 )=1-p\]

On suppose que pour tout couple \((k,\ell) \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]^2\) avec \(k \neq \ell\), le coefficient de corrélation linéaire des variables \(X_k\) et \(X_\ell\) est le même; on note \(r\) ce coefficient. On a donc :

\[\forall (k,\ell) \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]^2, \ \dfrac{\mathrm{Cov}(X_k,X_\ell)}{\sqrt{\mathbb{V}(X_k) \,\mathbb{V}(X_\ell)}}=\begin{cases}1&\text{ si } k=\ell\\ r&\text{ si } k \neq \ell \end{cases}\]

1. 1. Dans les cas \((i)\) et \((ii)\) suivants, calculer la valeur de \(r\) et exprimer la variance de la variable aléatoire \(\displaystyle \sum_{k=1}^n X_k\) en fonction de \(n\) et \(p\).

      1. Les variables aléatoires \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) sont mutuellement indépendantes.

      2. Les variables aléatoires \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) sont toutes égales.

      De plus, préciser la loi de \(\displaystyle \sum_{k=1}^n X_k\) dans chacun des deux cas précédents.

   2. Montrer que pour tout \(k \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), la variance de la variable aléatoire \(\displaystyle \sum_{i=1}^k X_i\) est donnée par la formule : \[\mathbb{V}\!\left(\sum_{i=1}^k X_i\right)=kp \left( 1-p \right) (1+ \left( k-1 \right) r)\]

   3. En déduire que le coefficient \(r\) est au moins égal à \(-\dfrac1{n-1}\).

2. On suppose dans cette question que \(n\) est au moins égal à \(2\).

   1. Montrer que \(r\) est égal à \(-1\) si et seulement si on a : \(\mathbb{P}( [X_1=1]\cap [X_2=1])=p \left( 2p-1 \right)\).

   2. Que vaut alors \(\mathbb{P}( [X_1=0]\cap [X_2=0] )\) ?

   3. En déduire que le coefficient \(r\) ne peut-être égal à \(-1\) que lorsque \(p=\dfrac12\) et \(\mathbb{P}( X_1+X_2=1)=1\).

3. On suppose dans cette question que \(n\) est supérieur ou égal à \(3\) et que \(\mathbb{P}\!\left( \displaystyle \sum_{k=1}^n X_k =1 \right)=1\).

   1. Exprimer les valeurs de \(p\) et \(r\) en fonction de \(n\).

   2. Déterminer les \(n\)-uplets \((x_1, x_2, \ldots, x_n) \in\{0,1\}^n\) pour lesquels la probabilité \(\mathbb{P}\!\left(\displaystyle \bigcap_{k=1}^n \left[X_k=x_k\right]\right)\) est strictement positive et la calculer.

Partie II. Lois bêtas-binomiales

4. Soit \((x,y) \in \mathbb{R}^2\). Justifier que l’intégrale \(\displaystyle \int_{0}^{1} t^{x-1} (1-t)^{y-1} \,\mathrm{d}t\) est convergente si et seulement si \(x>0\) et \(y>0\).

Dans toute la suite du problème, on pose : \(\forall (x,y) \in \left(\mathbb{R}^{+*}\right)^2 , \ B(x,y)=\displaystyle \int_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1} \,\mathrm{d}t\).

5. Soit \(x\) et \(y\) des réels strictement positifs.

   1. À l’aide d’une intégration par parties, établir la relation : \(B(x+1,y)=\dfrac{x}{y} \times B(x,y+1)\).

   2. En déduire l’égalité : \(B(x,y+1)=\dfrac{y}{x+y} \times B(x,y)\).

6. Pour tout réel \(z\), soit \(((z)^{[m]})_{m \in \mathbb{N}}\) la suite définie par \((z)^{[0]}=1\) et : \[\forall m \in \mathbb{N}, \ (z)^{[m+1]}=(z+m) \times (z)^{[m]}\]

   Par exemple, pour tout \(m \in \mathbb{N}\), on a \((1)^{[m]}=m!\).

   Établir pour tout \((x,y) \in \left(\mathbb{R}^{+*}\right)^2\) et pour tout couple \((k, \ell)\) d’entiers tels que \(0 \leqslant k \leqslant \ell\), la relation : \[B(x+k, y+\ell-k)=\dfrac{(x)^{[k]} \times (y)^{[\ell-k]}}{(x+y)^{[\ell]}} \times B(x,y)\]

7. Soit \(a\) et \(b\) des réels strictement positifs.

   Pour \(k \in \left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\), on pose : \(p_k=\displaystyle \binom{n}{k} \dfrac{(a)^{[k]} \times (b)^{[n-k]}}{(a+b)^{[n]}}\).

   1. À l’aide de la relation obtenue dans la question 6, montrer que \(\displaystyle \sum_{k=0}^n p_k=1\).

      On dit qu’une variable aléatoire \(S\) suit une loi bêta-binomiale \(\mathcal{B}(n \, ;a,b)\) si \(S(\Omega)=\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\) et si : \[\forall k \in \left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right], \ \mathbb{P}(S=k)= \binom{n}{k} \dfrac{(a)^{[k]} \times (b)^{[n-k]}}{(a+b)^{[n]}}\]

   2. Reconnaître la loi \(\mathcal{B}(n \, ;1,1)\).

   3. Montrer que l’espérance d’une variable aléatoire \(S\) qui suit la loi \(\mathcal{B}(n \, ;a,b)\) est égale à \(\dfrac{na}{a+b}\).

Partie III. Un possible dans le cas où \(n=2\)

Soit \(a\) et \(b\) des réels strictement positifs et \(X_1\) et \(X_2\) deux variables aléatoires à valeurs dans \(\{0,1\}\) telles que : \[\forall (x_1,x_2) \in \{0,1\}^2 \ \mathbb{P}( [ X_1=x_1]\cap [X_2=x_2])=\dfrac{B(a+x_1+x_2,b+2-x_1-x_2)}{B(a,b)}\]

8. 1. Montrer que les deux variables \(X_1\) et \(X_2\) suivent la même loi de Bernoulli.

   2. Montrer que la variable aléatoire \(X_1+X_2\) suit la loi bêta-binomiale \(\mathcal B(2 \, ;a,b)\).

   3. Établir la relation : \(\mathbb{P}_{[X_1=1]}( X_2=1 )=\dfrac{a+1}{a+b+1}\).

9. La fonction Python suivante dont le script est incomplet (lignes (9) et (11)), effectue une simulation des deux variables \(X_1\) et \(X_2\) qu’elle place dans un vecteur ligne à deux composantes.

   import numpy.random as rd
   import numpy as np
   def randbetabin(a,b):
       x=np.zeros(2)
       u=(a+b)*rd.random()
       v=(a+b+1)*rd.random()
       if (u<a):
           x[0]=1
           if .......... :
               x[1]=1
       elif ............ :
           x[1]=1
       return x

   1. Préciser la loi simulée par la variable u de la ligne (5).

   2. Compléter les lignes (9) et (11).

10. 1. Calculer le coefficient de corrélation linéaire de \(X_1\) et \(X_2\).

    2. Soit \((p,r)\) un couple de réels vérifiant \(0<p<1\) et \(0<r<1\).

       Expliquer comment utiliser la fonction randbetabin pour simuler deux variables aléatoires suivant une même loi de Bernoulli de paramètre \(p\) et dont le coefficient de corrélation linéaire est égal à \(r\).