Toutes les variables aléatoires intervenant dans cet exercice sont supposées définies sur un même espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).
Sous réserve d’existence, on note \(\mathbb{E}(G)\) et \(\mathbb{V}(G)\) respectivement, l’espérance et la variance d’une variable aléatoire \(G\).
Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à 2 et soit \(n\) variables aléatoires \(X_{1}, X_{2} \ldots, X_{n}\) telles que pour tout \(i \in \left[\!\left[1, n\right]\!\right]\), la variable aléatoire \(X_{i}\) suit la loi de Bernoulli de paramètre \(p_{i}\left(0<p_{i}<1\right)\).
On suppose que \(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} X_{i}=1\).
Pour tout \(i \in \left[\!\left[1, n\right]\!\right]\), rappeler les valeurs respectives de \(\mathbb{E}\! \left(X_{i}\right)\) et \(\mathbb{V}\! \left(X_{i}\right)\).
Montrer que \(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} p_{i}=1\).
Pour tout couple \((i, j) \in \left[\!\left[1, n\right]\!\right]^{2}\) avec \(i \neq j\), on considère la variable aléatoire \(X_{i} X_{j}\).
Quelle est la loi de \(X_{i} X_{j}\) ? En déduire que \(\mathbb{E}\! \left(X_{i} X_{j}\right)=0\).
Pour tout couple \((i, j) \in \left[\!\left[1, n\right]\!\right]^{2}\), on note \(\operatorname{Cov}\left(X_{i}, X_{j}\right)\) la covariance des deux variables aléatoires \(X_{i}\) et \(X_{j}\).
Soit \(A=\left(a_{i, j}\right)_{1 \leqslant i, j \leqslant n}\) la matrice de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) dont le terme général \(a_{i, j}\) est tel que : \[\forall(i, j) \in \left[\!\left[1, n\right]\!\right]^{2}, \ a_{i, j}=\operatorname{Cov} \! \left(X_{i}, X_{j}\right)\]
Établir les relations suivantes : \(\forall(i, j) \in \left[\!\left[1, n\right]\!\right]^{2}, \ a_{i, j}= \begin{cases} \hfill -p_{i} p_{j}\hfill & \text { si } i \neq j \\ p_{i}\left(1-p_{i}\right) & \text { si } i=j \end{cases}\).
Soit \(U\) la matrice colonne de \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\) dont tous les coefficients sont égaux à 1. Calculer \(A U\).
La matrice \(A\) est-elle inversible?
Soit \(\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)\) et \(\left(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}\right)\) deux \(n\)-uplets de réels tels que \(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\) ne sont pas tous nuls.
Soit \(Q\) le polynôme défini par : \(\displaystyle \forall t \in \mathbb{R}, \ Q(t)=\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i} t+y_{i}\right)^{2}\).
En considérant le signe du polynôme \(Q\), établir l’inégalité \((*)\) : \[\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}\right)^{2} \leqslant\left(\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}\right) \times\left(\sum_{i=1}^{n} y_{i}^{2}\right)\]
Dans quel cas l’inégalité \((*)\) est-elle une égalité ?
Pour tout entier \(n \geqslant 2\), soit \(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}\) des réels non tous nuls. On pose : \(\displaystyle \forall n \geqslant 2, \ Z_{n}=\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} X_{i}\).
Quelle relation doivent satisfaire les réels \(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}\) pour que \(\mathbb{E}\! \left(Z_{n}\right)=1\) ?
On rappelle la formule: \(\displaystyle \mathbb{V}\! \left(Z_{n}\right)=\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i}^{2} \mathbb{V}\! \left(X_{i}\right)+\sum_{\substack{1 \leqslant i, j \leqslant n \\ i \neq j}} \alpha_{i} \alpha_{j} \operatorname{Cov} \! \left(X_{i}, X_{j}\right)\).
On suppose que \(\mathbb{E}\!\left(Z_{n}\right)=1\). Établir la relation: \[\displaystyle \mathbb{V}\!\left(Z_{n}\right)=\left(\sum_{i=1}^{n} \alpha_{i}^{2} p_{i}\right)-1\]
et justifier que \(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} \alpha_{i}^{2} p_{i} \geqslant 1\).
En reprenant les notations de la question 3, on pose pour tout \(i \in \left[\!\left[1, n\right]\!\right]\) : \(x_{i}=\sqrt{p_{i}}\) et \(y_{i}=\alpha_{i} \sqrt{p_{i}}\). Montrer qu’il existe un unique \(n\)-uplet \(\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}\right)\) que l’on déterminera, qui vérifie les deux conditions suivantes : \(\mathbb{E}\!\left(Z_{n}\right)=1\) et \(\mathbb{V}\! \left(Z_{n}\right)\) minimale.
Soit \(n\) variables aléatoires \(Y_{1}, Y_{2}, \ldots, Y_{n}\) qui vérifient les propriétés suivantes :
\(\displaystyle \sum_{i=1}^{n} Y_{i}=1\);
pour tout \(i \in \left[\!\left[1, n\right]\!\right]\), les variables aléatoires \(X_{i}\) et \(Y_{i}\) sont de même loi;
pour tout couple \((i, j) \in \left[\!\left[1, n\right]\!\right]^{2}\), les variables aléatoires \(X_{i}\) et \(Y_{j}\) sont indépendantes.
Soit \(T_{n}\) la variable aléatoire définie par : \(\displaystyle T_{n}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \frac{\left(X_{i}-Y_{i}\right)^{2}}{p_{i}\left(1-p_{i}\right)}\).
Déterminer la loi de \(T_{n}\).
Calculer \(\mathbb{E}\!\left(T_{n}\right)\).
Dans tout l’exercice, \(n\) désigne un entier supérieur ou égal à 2.
On considère l’espace vectoriel \(\mathbb{R}^{n}\) muni de sa base canonique \(\left(e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}\right)\) et l’espace vectoriel \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) des matrices carrées d’ordre \(n\) à coefficients réels. On note \(\mathrm{I}\) la matrice identité de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\).
On identifie tout endomorphisme de \(\mathbb{R}^{n}\) à sa matrice dans la base canonique de \(\mathbb{R}^{n}\) et si \(S \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\), on note \(\operatorname{Ker}(S)\) et \(\operatorname{Im}(S)\) respectivement, le noyau et l’image de l’endomorphisme canoniquement associé à \(S\). De même, on identifie les matrices colonnes de \(\mathcal{M}_{n, 1}(\mathbb{R})\) aux éléments de \(\mathbb{R}^{n}\).
On rappelle qu’une matrice \(M= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})\) est inversible si et seulement si \(a d-b c \neq 0\).
Soit \(A\) une matrice fixée inversible de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) et \(\Phi_{A}\) l’application définie sur \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) par : \[\forall M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}), \ \Phi_{A}(M)=A M\]
Rappeler sans démonstration la dimension de l’espace vectoriel \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\).
Montrer que \(\Phi_{A}\) est un endomorphisme de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\).
On suppose dans cette question que \(n=2\) et que \(A=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\).
On rappelle que la base canonique de \(\mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})\) est \(\mathcal{B}=\left(E_{1}, E_{2}, E_{3}, E_{4}\right)\) avec:
\[E_{1}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\quad E_{2}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\quad E_{3}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},\quad E_{4}=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]
Calculer les valeurs propres \(\lambda_{1}\) et \(\lambda_{2}\) de la matrice \(A\).
Vérifier que \(\lambda_{1}\) et \(\lambda_{2}\) sont valeurs propres de \(\Phi_{A}\) et déterminer les sous-espaces propres associés à \(\lambda_{1}\) et \(\lambda_{2}\).
Justifier que l’endomorphisme \(\Phi_{A}\) est diagonalisable.
Pour toute matrice \(M \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})\), montrer que le rang de \(\Phi_{A}(M)\) est égal au rang de \(M\).
On revient au cas général où \(n\) est un entier supérieur ou égal à 2 et \(A\) est une matrice inversible de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\).
Soit \(\lambda\) une valeur propre de \(A\) et \(X\) un vecteur colonne propre associé.
Montrer que la matrice \(X\,{}^t\!X\) de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) est un vecteur propre de \(\Phi_{A}\) associé à \(\lambda\).
Réciproquement, montrer que si \(\lambda\) est valeur propre de \(\Phi_{A}\), alors \(\lambda\) est valeur propre de \(A\).
Soit \(M\) une matrice quelconque de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\). Montrer que \(\operatorname{Ker}(M)=\operatorname{Ker}\left(\Phi_{A}(M)\right)\).
Que peut-on en déduire concernant les rangs respectifs de \(M\) et \(\Phi_{A}(M)\) ?
Soit \(C=\left(c_{i, j}\right)_{1 \leqslant i, j \leqslant n}\) une matrice de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\). On appelle trace de \(C\), notée \(\operatorname{Tr}(C)\), le nombre réel défini par : \[\operatorname{Tr}(C)=\sum_{i=1}^{n} c_{i, i} \quad (\text {somme des coefficients diagonaux de } C)\]
Soit \(h\) l’application de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) définie par : \(\forall M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}), \ h(M)=\operatorname{Tr}(M)\).
Montrer que \(h\) est une application linéaire de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) dans \(\mathbb{R}\).
Montrer que la dimension de \(\operatorname{Im}(h)\) est égale à 1. En déduire la dimension de \(\operatorname{Ker}(h)\).
Soit \(\Psi\) l’endomorphisme de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) défini par : \(\forall M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}), \ \Psi(M)=-M+\operatorname{Tr}(M) \,\mathrm{I}_{n}\).
Montrer que \(-1\) est valeur propre de \(\Psi\) et donner la dimension du sous-espace propre associé.
Calculer \(\Psi \! \left(\mathrm{I}\right)\).
Déduire des questions 5.a) et 5.b) que l’endomorphisme \(\Psi\) est diagonalisable.
On suppose dans cette question que \(n=2\).
Soit \(M \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})\). Montrer que le rang de \(\Psi(M)\) est égal au rang de \(M\).
On suppose que \(n \geqslant 3\) et que le rang de \(M\) est égal à \(n\).
Montrer que le rang de \(\Psi(M)\) est égal à \(n\) si et seulement si \(\operatorname{Tr}(M)\) n’est pas valeur propre de \(M\).
Toutes les variables aléatoires intervenant dans cet exercice sont supposées définies sur un même espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).
Dans tout l’exercice, on note \(\theta\) un paramètre réel strictement positif supposé inconnu. Soit \(X\) une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l’intervalle \([0, \theta]\) et \(( X_{k})_{k \geqslant 1}\) une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes la même loi que \(X\).
Déterminer la fonction de répartition \(F_{X}\) de la variable aléatoire \(X\).
Calculer l’espérance et la variance de \(X\).
Pour tout entier \(n \geqslant 1\), on pose : \[Y_{n}=\frac{2}{n} \sum_{k=1}^{n} X_{k}\]
Montrer que \(Y_{n}\) est un estimateur sans biais du paramètre \(\theta\).
Calculer la variance de \(Y_{n}\) et établir : \[\forall \varepsilon>0,\ \lim _{n \rightarrow+\infty} \mathbb{P}\! \left( \left|Y_{n}-\theta\right|>\varepsilon \right)=0\]
Pour tout entier \(n \geqslant 1\), on pose : \(T_{n}=\max \left(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\right)\).
Montrer que la fonction de répartition \(F_{T_{n}}\) de la variable aléatoire \(T_{n}\) est donnée par: \[\forall x \in \mathbb{R},\ F_{T_{n}}(x)= \begin{cases} \hspace{0.3cm} 0 & \text { si } x<0 \\ \left(\dfrac{x}{\theta}\right)^{n} & \text { si } 0 \leqslant x \leqslant \theta \\ \hspace{0.3cm} 1 & \text { si } x>\theta \end{cases}\]
Vérifier que \(T_{n}\) est une variable aléatoire à densité et donner une densité \(f_{T_{n}}\) de \(T_{n}\).
Calculer l’espérance de \(T_{n}\) et en déduire un estimateur sans biais \(W_{n}\) du paramètre \(\theta\).
Montrer que : \[\forall \varepsilon>0,\ \lim _{n \rightarrow+\infty} \mathbb{P}\! \left( \left|W_{n}-\theta\right|>\varepsilon \right)=0\]
Soit \(U\) et \(V\) deux variables aléatoires à densité indépendantes. On note \(f_{U}\) une densité de \(U\) et \(F_{V}\) la fonction de répartition de \(V\). Établir, pour tout réel \(z\), la convergence de l’intégrale \(\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} f_{U}(t) F_{V}(z+t)\, \mathrm{d} t\).
On pose alors : \[\forall z \in \mathbb{R},\ J(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f_{U}(t) F_{V}(z+t) \,\mathrm{d} t\]
On admet dans toute la suite que \(J\) est la fonction de répartition de la variable aléatoire \(V -U\).
Pour tout entier \(n \geqslant 2\), on pose : \[T_{n-1}=\max \left(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n-1}\right) \quad \text{et} \quad Z_{n}=T_{n-1}-X_{n}\]
Montrer que : \(\mathbb{P}( - \theta \leqslant Z_n \leqslant \theta) = 1\).
Justifier que les variables aléatoires \(T_{n-1}\) et \(X_{n}\) sont indépendantes.
On note \(F_{T_{n-1}}\) la fonction de répartition de \(T_{n-1} .\) À l’aide du résultat admis, montrer que la fonction de répartition \(F_{Z_{n}}\) de \(Z_{n}\) est donnée par : \[\forall z \in \mathbb{R},\ F_{Z_{n}}(z)= \int_{z}^{\theta+z} \frac{1}{\theta}\, F_{T_{n-1}}(u) \, \mathrm{d} u\]
En déduire le résultat suivant : \[\forall z \in \mathbb{R}, \ F_{Z_{n}}(z)= \begin{cases} \hspace{1.3cm} 0 & \text { si } z<-\theta \\ \hspace{0.5cm} \displaystyle \frac{1}{n}\left(1+\frac{z}{\theta}\right)^{n} & \text { si }-\theta \leqslant z \leqslant 0 \rule[0pt]{0pt}{20pt}\\ \displaystyle \frac{1}{n}\left(1-\left(\frac{z}{\theta}\right)^{n}\right)+\frac{z}{\theta} & \text { si } 0<z \leqslant \theta \rule[0pt]{0pt}{20pt}\\ \hspace{1.3cm} 1 & \text { si } z>\theta \end{cases}\]
Pour tout entier \(n \geqslant 2\), comparer les deux événements \(\left[T_{n}=X_{n}\right]\) et \(\left[X_{n} \geqslant T_{n-1}\right]\).
En déduire la valeur de \(\mathbb{P}( T_{n}=X_{n})\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
