Connectez-vous pour consulter le corrigé.
Dans tout le problème :
pour tout entier naturel \(n\), on note \(\mathbb{R}_n[x]\) l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à \(n\) ;
on identifie le polynôme \(P=\displaystyle\sum_{k=0}^n \lambda_kX^k\) de \(\mathbb{R}_n[x]\) avec la fonction polynômiale \(x\mapsto \displaystyle\sum_{k=0}^n \lambda_kx^k\), avec la convention \(0^0=1\) ;
on rappelle la formule de Stirling : \(n!\) est équivalent à \(n^n \,\mathrm{e}^{-n}\sqrt{2\pi n}\) lorsque l’entier \(n\) tend vers \({+\infty}\).
Le problème a pour objet l’approximation d’une fonction réelle par des fonctions polynômiales.
Dans la partie I, on étudie le cas des polynômes de Bernstein. Les parties II et III sont consacrées aux polynômes d’interpolation de Lagrange.
Les parties II et III sont indépendantes de la partie I.
Pour tout entier \(n\in\mathbb{N}^\ast\) et tout entier \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\), on note \(B_{n,k}\) le polynôme de \(\mathbb{R}_n[x]\) défini par : \[B_{n,k}(X) = \binom nk X^k \left( 1-X \right)^{n-k}.\]
On pose pour tout \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\), \(A_k=X^k\) et on note \(\mathcal{C}_n=(A_0,A_1,\dots,A_n)\) la base canonique de \(\mathbb{R}_n[x]\).
Soit \(T_n\) l’application définie sur \(\mathbb{R}_n[x]\) telle que : \[\forall P\in\mathbb{R}_n[x],\ \left( T_n(P) \right)(X) = \sum_{k=0}^n P\!\left( \frac{k}{n} \right) B_{n,k}(X).\]
Dans cette question uniquement, on choisit \(n=2\).
Déterminer la matrice \(K_2\) de la famille \((B_{2,0},B_{2,1},B_{2,2})\) dans la base \(\mathcal{C}_2\).
En déduire que la famille \((B_{2,0},B_{2,1},B_{2,2})\) est une base de \(\mathbb{R}_2[x]\).
Calculer \(T_2(A_0), T_2(A_1)\) et \(T_2(A_2)\) ; déterminer la matrice \(H_2\) de \(T_2\) dans la base \(\mathcal{C}_2\).
Préciser les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(T_2\).
On revient au cas général où \(n\) est un entier supérieur ou égal à \(1\).
Montrer que la famille \((B_{n,0},B_{n,1},\dots,B_{n,n})\) est libre ; en déduire que cette famille est une base de \(\mathbb{R}_n[x]\).
Montrer que l’application \(T_n\) est un automorphisme de \(\mathbb{R}_n[x]\).
Calculer \(T_n(A_0)\) et montrer que \(T_n(A_1)=A_1\).
Montrer que pour tout \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\), le degré du polynôme \(T_n(A_k)\) est égal à \(k\).
Pour établir ce résultat, on pourra utiliser la propriété suivante que l’on ne demande pas de démontrer : pour tout \(k\in \left[\kern-0.15em\left[ {0,n-1} \right]\kern-0.15em\right]\), \[\left( T_n(A_{k+1}) \right)(X) = \frac{1}{n} \, X\left( 1-X\right) \left(T_n(A_k) \right)'(X) + X \left( T_n(A_k) \right) (X)\]
où \(\left(T_n(A_k) \right)'\) est le polynôme dérivé de \(T_n(A_k)\).
Pour tout \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\), soit \(\alpha_k\) le coefficient de \(X^k\) du polynôme \(T_n(A_k)\). Calculer \(\alpha_k\) en fonction de \(k\) et de \(n\).
L’automorphisme \(T_n\) est-il diagonalisable ?
Soit \(f\) une fonction continue sur \([0,1]\). On pose : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \forall z\in [0,1],\ f_n(z) = \sum_{k=0}^n f\!\left( \frac{k}{n}\right) B_{n,k}(z).\]
Soit \(z\in [0,1]\). Soit \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) un espace probabilisé et pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), soit \(Z_n\) une variable aléatoire définie sur cet espace suivant la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(z\). Pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), on pose : \(\overline{Z}_n=\dfrac{Z_n}{n}\).
Montrer que la suite de variables aléatoires \((\overline{Z}_n)_{n\geqslant 1}\) converge en probabilité vers le réel \(z\).
Justifier l’existence de \(M=\max\limits_{[0,1]} \left| f \right|\).
Soit \(\varepsilon\) un réel strictement positif. Pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), soit \(U_n\) l’événement : \[U_n=\left[ \left| f(\overline{Z}_n)- f(z) \right| > \varepsilon\right].\]
On note \(1\kern-0.35em1_{U_n}\) la variable indicatrice de l’événement \(U_n\) et \(\overline{U}_n\) l’événement contraire de \(U_n\).
Établir l’inégalité : \(\left| f(\overline{Z}_n)- f(z) \right| \leqslant 2M \times 1\kern-0.35em1_{U_n} + \varepsilon\times 1\kern-0.35em1_{\overline{U}_n}\).
Montrer que : \(\lim\limits_{n\to+\infty}\mathbb{E}( f(\overline{Z}_n))= f(z)\). En déduire que : \(\lim\limits_{n\to+\infty}f_n(z) = f(z)\).
Compléter le code Python suivant afin
qu’un appel à la fonction binom(n,z) renvoie
une réalisation d’une loi binomiale de paramètres \(n\) et \(z\).
import numpy.random as rd
def binom(n,z):
return ......Soit une fonction Python
f et une variable z
définies par :
import numpy as np
def f(x):
if x==0:
return 0
else:
return -x*np.log(x)
z=0.4
On considère le code Python suivant :
n=100
N=1000
S=0
for k in range(N):
S+=f(binom(n,z)/n)
print(S/N)
Ce code affiche une valeur approchée d’une certaine quantité. Laquelle ?
Cette valeur affichée est le résultat de la mise en œuvre de certaines méthodes. Lesquelles ?
Soit \(n\in\mathbb{N}^\ast\) et \(x_0,x_1,\dots,x_n\) des réels deux à deux distincts. Soit \(\Phi\) l’application de \(\mathbb{R}_n[x]\) dans \(\mathbb{R}^{n+1}\) telle que : \(\forall P\in\mathbb{R}_n[x],\ \Phi(P) = \left( P(x_0),P(x_1),\dots,P(x_n)\right)\).
Montrer que l’application \(\Phi\) est un isomorphisme d’espaces vectoriels.
On note \((e_0,e_1,\dots,e_n)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^{n+1}\) avec \(e_0=(1,0,0,\dots,0)\), \(e_1=(0,1,0,\dots,0)\), \(\dots\) et \(e_n=(0,0,0,\dots,1)\). Pour tout \(i\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\), on note \(L_i\) le polynôme de \(\mathbb{R}_n[x]\) tel que \(\Phi(L_i)=e_i\).
Montrer que pour tout \(i\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\), on a : \(\displaystyle L_i(X) = \prod_{\substack{ k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\\ k\neq i}} \dfrac{X-x_k}{x_i-x_k}\).
Soit \(\Psi\) l’application définie sur \(\left( \mathbb{R}_n[x] \right)^2\) par : \[\forall (P,Q)\in \left( \mathbb{R}_n[x] \right)^2,\ \Psi(P,Q) = \sum_{k=0}^n P(x_k)Q(x_k).\]
Vérifier que \(\Psi\) est un produit scalaire sur \(\mathbb{R}_n[x]\). On munit alors \(\mathbb{R}_n[x]\) de ce produit scalaire.
Montrer que \((L_0,L_1,\dots,L_n)\) est une base orthonormée de \(\mathbb{R}_n[x]\).
Expliciter la matrice \(A\) de passage de la base \((L_0,L_1,\dots,L_n)\) à la base canonique \(\mathcal{C}_n\) de \(\mathbb{R}_n[x]\).
Soit \(f\) une fonction continue sur \(\mathbb{R}\) à valeurs réelles.
Montrer que pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), il existe un unique polynôme de \(\mathbb{R}_n[x]\), noté \(P_f\), vérifiant les relations : \[P_f(x_0) = f(x_0),\ P_f(x_1)=f(x_1),\dots, P_f(x_n)=f(x_n).\]
On dit que \(P_f\) est le polynôme d’interpolation de la fonction \(f\) aux points \(x_0,x_1,\dots,x_n\).
Exprimer \(P_f\) dans la base \((L_0,L_1,\dots,L_n)\).
Soit \(x_0,x_1,\dots,x_n\) des réels appartenant à un intervalle \([a,b]\) (\(a<b\)) tels que \(a\leqslant x_0 < x_1 < \cdots < x_n \leqslant b\).
Soit \(f\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^{n+1}\) sur \([a,b]\) et \(\overline{x}\) un réel de \([a,b]\) différent de \(x_0,x_1,\dots,x_n\).
On note \(P_f\) le polynôme d’interpolation de la fonction \(f\) aux points \(x_0,x_1,\dots,x_n\) et \(Q_f\) le polynôme d’interpolation de la fonction \(f\) aux points \(x_0,x_1,\dots,x_n,\overline{x}\). On pose \(w(X)= \displaystyle\prod_{k=0}^n (X-x_k)\).
Établir l’existence d’un réel \(\delta\) tel que pour tout \(t\in [a,b]\), on a : \[Q_f(t) - P_f(t) = \delta\times w(t).\]
Soit \(h\) la fonction définie sur \([a,b]\) par : \(\forall t\in [a,b],\ h(t)=f(t) - Q_f(t)\).
Montrer que la fonction \(h\) s’annule en les \((n+2)\) points \(\overline{x},x_0,x_1,\dots,x_n\) et en déduire l’existence d’un réel \(\theta\in \left] a,b\right[\) tel que \(h^{(n+1)}(\theta)=0\).
Établir l’égalité : \(f(\overline{x}) - P_f(\overline{x}) = \dfrac{1}{(n+1)!} \times f^{(n+1)}(\theta) \times w(\overline{x})\).
En déduire que pour tout \(t\in [a,b]\), on a : \[\left| f(t) - P_f(t) \right| \leqslant \dfrac{1}{(n+1)!}\times \left| w(t) \right| \times \sup\limits_{[a,b]} \left| f^{(n+1)} \right|.\]
Dans cette partie, on suppose que l’entier \(n\) appartient à \(\mathbb{N}^\ast\) et n’est plus fixé.
Pour tout \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]\), on pose : \(x_{k,n} = -1+\dfrac{2k}{n}\).
Pour tout réel \(\rho>0\), on note \(f_\rho\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) telle que : \[\forall x\in\mathbb{R},\ f_\rho(x) = \dfrac{1}{x^2+\rho^2}.\]
Pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\) et pour tout \(\rho>0\), on note \(P_{f_\rho,n}\) le polynôme d’interpolation aux points \(x_{0,n},x_{1,n},\dots,x_{n,n}\) de la fonction \(f_\rho\).
Pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), on pose : \(w_n(X)=\displaystyle\prod_{k=0}^n (X - x_{k,n})\).
Cette partie se propose de mettre en évidence des conditions suffisantes de convergence de la suite \((P_{f_\rho,n}(x))_{n\geqslant 1}\) vers \(f_\rho(x)\) pour \(x\) appartenant à un intervalle \(I\subset \mathbb{R}\).
Justifier que la fonction \(f_\rho\) est de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(\mathbb{R}\).
Montrer que pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\) et pour tout \(x\in\mathbb{R}\) : \(\left| f_\rho^{(n)}(x) \right| = \left| f_\rho^{(n)}(-x) \right|\).
Montrer que pour tout réel \(x\) vérifiant \(\left| x \right|<\rho\), on a : \[\displaystyle\frac{1}{x^2+\rho^2} = \sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{\rho^{2k+2}}\,x^{2k}.\]
Dans cette question, on admet le résultat qui suit.
Pour tout \(k\in\mathbb{N}\), soit \(A_k\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(A_k(t) = t^k\). Soit \(R\) un réel strictement positif.
Soit \((u_k)_{k\in\mathbb{N}}\) une suite réelle. On suppose que pour tout \(t\in \left] -R,R\right[\), la série de terme général \(u_k\times A_k(t)\) est convergente ; on note \(\varphi(t)\) sa somme.
Alors la fonction \(\varphi\) est de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(]-R,R[\) et on a : \[\forall t\in \left] -R,R\right[,\ \forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \varphi^{(n)}(t) = \sum_{k=0}^{+\infty}u_k \times A_k^{(n)}(t).\]
Soit \(\rho>0\). On pose : \(\forall x\in \left] -\rho,\rho\right[,\ v(x) = \dfrac{\rho^2}{\rho^2-x^2}\).
Déterminer les réels \(p\) et \(q\) pour lesquels on a : \[\forall x\in\left] -\rho,\rho\right[,\ v(x) = \frac{p}{\rho - x} + \frac{q}{\rho + x}.\]
Comparer, pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\) et pour tout \(x\in \left]-\rho,\rho\right[\), \(\left| v^{(n)}(x) \right|\) et \(\left| v^{(n)}(-x) \right|\).
Montrer que pour tout \(x\in \left] -\rho,\rho\right[\) et pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), on a : \[\left| f_\rho^{(n)}(x) \right| \leqslant \dfrac{1}{\rho^2}\times \left| v^{(n)}(x) \right|.\]
On suppose que \(\rho>1\). Montrer que pour tout \(x\in \left[ -1,1\right]\) et pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), on a : \[\left| f_\rho^{(n)}(x) \right| \leqslant \dfrac{1}{\rho}\times \frac{n!}{(\rho -1)^{n+1}}.\]
Pour \(x\in [-1,1]\) avec \(x\notin \{ x_{0,n},x_{1,n},\dots,x_{n,n} \}\), soit \(k\) l’entier de \(\left[\kern-0.15em\left[ {0,n-1} \right]\kern-0.15em\right]\) tel que \(x\in \left] x_{k,n},x_{k+1,n}\right[\).
Établir les inégalités : \(\left| w_n(x) \right| \leqslant \left( \dfrac{2}{n}\right)^{n+1} \times (k+1)! \left( n-k\right)! \leqslant \left( \dfrac{2}{n}\right)^{n+1} \times n!\).
À l’aide de la formule de Stirling (rappelée dans le préambule du problème), montrer qu’il existe un entier \(n_0\) tel que pour tout \(n\geqslant n_0\), on a pour tout \(x\in [-1,1]\) : \(\left| w_n(x) \right| \leqslant \left( \dfrac{2}{\mathrm{e}}\right)^{n+1}\).
Déduire des questions 6.d), 8.d) et 9.b) qu’une condition suffisante pour que : \[\forall x\in [-1,1],\ \lim\limits_{n\to+\infty}\left| f_\rho(x) - P_{f_\rho,n}(x) \right| = 0\] est : \(\rho>1+\dfrac{2}{\mathrm{e}}\).
On pose : \(\displaystyle\forall \rho >0,\ H(\rho) = \dfrac{1}{4} \int_{-1}^1 \ln(t^2+\rho^2)\,\mathrm{d}t\). À l’aide d’une intégration par parties, calculer \(H(\rho)\).
Montrer que la fonction \(H\) est prolongeable par continuité en \(0\). On note encore \(H\) la fonction prolongée.
Montrer que la fonction \(H\) réalise une bijection strictement croissante de \(\mathbb{R}^+\) sur un intervalle à déterminer.
Montrer qu’il existe un unique réel \(\rho_0>0\) tel que \(H(\rho_0)=\ln(2)-1\). Montrer que \(\rho_0<1\) (on donne \(\ln(2) \simeq 0.693\)).
La fonction \(\mathrm{Arctan}\)
est codée dans le langage Python par
arctan disponible dans la bibliothèque
numpy.
Le programme suivant renvoie une valeur approchée d’un réel \(s_0\) à \(0.001\) près.
import numpy as np
def G(x):
return (1/2)*(np.log((1+x**2)/4))+x*np.arctan((1/x))
u=0.25
v=1
while (v-u)>0.001:
if G((u+v)/2)>0:
v=(u+v)/2
if G((u+v)/2)<0:
u=(u+v)/2
if G((u+v)/2)==0:
u=(u+v)/2
v=(u+v)/2
print((u+v)/2)
Quelle est la méthode mise en œuvre dans ce programme ? Donner une équation vérifiée par \(s_0\).
Comparer \(s_0\) et \(\rho_0\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
La fin du sujet original comportait des questions sur les nombres complexes, qui ont disparu du programme.
Malheureusement il a été difficile d'adapter ces questions, c'est pourquoi les deux dernières questions ont été amputées.
Cela n'affecte pas l'intérêt général du sujet, mais la fin apparaîtra malheureusement très abrupte.