Toutes les variables aléatoires intervenant dans cet exercice sont supposées définies sur un même espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).
Sous réserve d’existence, on note \(\mathbb{E}(B)\) et \(\mathbb{V}(B)\) respectivement, l’espérance et la variance d’une variable aléatoire \(B\).
Soit \(p\) un réel vérifiant \(0<p<1\). On pose : \(q=1-p\).
On dit qu’une variable aléatoire \(X\) suit la loi \(\mathcal{R}(p)\) si : \[X(\Omega)=\{-1,1\}, \quad \mathbb{P}( X=1 )=p \quad \text{et} \quad \mathbb{P}( X=-1 )=q\]
Soit \(\left(X_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}}\) une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi \(\mathcal{R}(p)\).
Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on définit la variable aléatoire \(T_{n}\) par : \(\displaystyle T_{n}=\prod_{k=0}^{n} X_{k}\).
Pour tout \(k \in \mathbb{N}\), calculer \(\mathbb{E}(X_k)\) et \(\mathbb{V}(X_k)\).
Préciser \(T_{n}(\Omega)\). Calculer \(\mathbb{E}\!\left(T_{n}\right)\) et en déduire la loi de \(T_{n}\).
Pour tout couple \((n, m) \in \mathbb{N}^{2}\), avec \(n>m\), calculer la covariance \(\operatorname{Cov} \! \left(T_{n}, T_{m}\right)\) de \(T_{n}\) et \(T_{m}\).
Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on pose : \(p_{n}=\mathbb{P}\! \left(T_{n}=1\right)\).
Établir la relation: \(\forall n \in \mathbb{N}\), \(p_{n+1}=(2 p-1) p_{n}+(1-p)\) et retrouver ainsi la loi de \(T_{n}\).
On suppose dans cette question uniquement que \(\displaystyle p=\frac{1}{2}\).
Pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), soit \(W_{n}, Z_{n}\) et \(Y_{n}\) les variables aléatoires définies par : \[W_{n}=X_{n} X_{n-1}, \quad Z_{n}=\sum_{k=1}^{n} W_{k} \quad \text{et} \quad Y_{n}=\frac{1}{2} \, W_{n}+\frac{1}{2}\]
Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), la variable aléatoire \(Y_{n}\) suit la loi de Bernoulli de paramètre \(\dfrac{1}{2}\).
Montrer que deux variables aléatoires qui suivent toutes les deux une loi de Bernoulli sont indépendantes si et seulement si leur covariance est nulle.
Montrer que pour tout entier \(n \geqslant 2\), les variables aléatoires \(Y_{1}, Y_{2}, \ldots, Y_{n}\) sont indépendantes.
Pour tout entier \(n \in \mathbb{N}^{*}\), exprimer \(Z_{n}\) en fonction de \(Y_{1}, Y_{2}, \ldots, Y_{n}\) et en déduire pour tout \(k \in \left[\!\left[0, n\right]\!\right]\), la valeur de \(\mathbb{P}\! \left(Z_{n}=2 k-n\right)\) en fonction de \(k\) et \(n\).
Soit \(K\) une variable aléatoire indépendante de \(\left(X_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}}\) et suivant la loi de Poisson de paramètre \(\lambda>0\).
On pose pour tout \(\omega \in \Omega\) : \(\displaystyle T(\omega)=\prod_{k=0}^{K(\omega)} X_{k}(\omega)\). On admet que \(T\) est une variable aléatoire.
Montrer que la série de terme général \(\mathbb{E}\!\left(T_{n}\right) \mathbb{P}( K=n )\) converge et que : \[\mathbb{E}(T)=\sum_{n=0}^{+\infty} \mathbb{E}\! \left(T_{n}\right) \mathbb{P}( K=n )\]
Calculer \(\mathbb{E}(T)\) et déterminer la loi de \(T\).
Soit \(H\) une variable aléatoire indépendante de \(\left(X_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}}\) et suivant la loi exponentielle de paramètre \(\lambda>0\). Pour tout \(k \in \mathbb{N}\), soit \(D_{k}\) la variable aléatoire définie par : \(D_{k}=H X_{k}\).
Calculer la fonction de répartition \(F_{k}\) de \(D_{k}\).
En déduire que \(D_{k}\) est une variable aléatoire à densité et donner une densité \(f_{k}\) de \(D_{k}\).
Dans tout l’exercice, \(E\) est un espace vectoriel de dimension finie et \(E_{1}\) et \(E_{2}\) sont deux sous-espaces vectoriels de \(E\) vérifiant \(E=E_{1} \oplus E_{2}\).
Pour tout vecteur \(x\) (respectivement \(y\)) de \(E\), l’écriture \(x=x_{1}+x_{2}\) (resp. \(y=y_{1}+y_{2}\)) représente la décomposition de \(x\) (respectivement \(y\)) sur \(E_{1} \oplus E_{2}\), avec \(\left(x_{1}, x_{2}\right) \in E_{1} \times E_{2}\) (respectivement \(\left(y_{1}, y_{2}\right) \in E_{1} \times E_{2}\)).
On suppose dans cette partie que \(f\) est un endomorphisme de \(E_{1}\) et qu’il existe un isomorphisme \(h\) de \(E_{1}\) dans \(E_{2}\).
Soit \(G\) l’endomorphisme de \(E\) qui à tout vecteur \(x\) de \(E\) s’écrivant \(x=x_{1}+x_{2}\), associe le vecteur \(G(x)\) défini par: \(G(x)=h^{-1}(x_{2})+h(x_{1})+f(x_{1})\), où \(h^{-1}\) est l’isomorphisme réciproque de \(h\).
Montrer que \(G\) est injectif.
Justifier que \(G\) est surjectif et donner pour tout vecteur \(y=y_{1}+y_{2}\), l’expression de \(G^{-1}(y)\).
On suppose que \(G\) admet une valeur propre réelle \(\lambda\) et on note \(x=x_{1}+x_{2}\) un vecteur propre associé.
Justifier que le réel \(\lambda\) est non nul.
Montrer que \(x_{1}\) et \(x_{2}\) sont non nuls.
Montrer que \(x_{1}\) est un vecteur propre de \(f\) et donner en fonction de \(\lambda\), la valeur propre associée.
On suppose que \(f\) admet une valeur propre réelle \(\mu\) associée au vecteur propre \(x_{1}\).
Déterminer en fonction de \(\mu\) une valeur propre de \(G\) et donner en fonction de \(x_{1}\), un vecteur propre associé.
On suppose dans cette question que \(E= \mathbb{R}_{5}[x]\), \(E_{1}\) est le sous-espace vectoriel de \(E\) constitué des polynômes impairs et \(E_{2}\) le sous-espace vectoriel de \(E\) constitué des polynômes pairs.
On note \(\mathcal{B}=\left(P_0,P_1,P_2,P_3,P_4,P_5\right)\) la base canonique de \(\mathbb{R}_5[x]\) et on considère les familles libres \(\mathcal{B}_{1}=\left(P_1,P_3,P_5\right)\) et \(\mathcal{B}_{2}=\left(P_0,P_2,P_4\right)\).
Soit \(h\) et \(f\) les applications définies sur \(E_{1}\) par : \[\forall P \in E_{1}, \ \forall x\in\mathbb{R},\ \begin{cases} (h(P))(x)=5 x P(x)-\left(x^{2}-1\right) P^{\prime}(x) \\ (f(P))(x)=\left(x^{2}+1\right) P^{\prime \prime}(x)-2 x P^{\prime}(x) \end{cases}\]
Montrer que \(E_{1}\) et \(E_{2}\) sont supplémentaires dans \(E\) et que \(\mathcal{B}_{1}\) (respectivement \(\mathcal{B}_{2}\)) est une base de \(E_{1}\) (respectivement \(E_{2}\)).
Vérifier que \(h\) est une application linéaire de \(E_{1}\) dans \(E_{2}\) et déterminer la matrice de \(h\) relativement aux bases \(\mathcal{B}_{1}\) et \(\mathcal{B}_{2}\). Montrer que \(h\) est un isomorphisme et donner la matrice de \(h^{-1}\).
Montrer que \(f\) est un endomorphisme de \(E_{1}\) et donner la matrice de \(f\) dans la base \(\mathcal{B}_{1}\).
Quelles sont les valeurs propres de \(f\) ?
À l’aide des questions précédentes, déterminer une valeur propre de \(G\) et un vecteur propre associé.
Dans cette partie, on note \(p\) une application linéaire de \(E_{1}\) dans \(E_{2}\) et \(q\) une application linéaire de \(E_{2}\) dans \(E_{1}\). Soit \(\varphi\) l’endomorphisme de \(E\) qui à tout vecteur \(x=x_{1}+x_{2}\), associe le vecteur \(\varphi(x)\) tel que : \(\varphi(x)=p(x_{1})+q(x_{2})\).
Montrer que \(\operatorname{Ker}(\varphi)=\operatorname{Ker}(p) \oplus \operatorname{Ker}(q)\).
On suppose que \(\varphi\) admet une valeur propre réelle \(\lambda \neq 0\) et on note \(x=x_{1}+x_{2}\) un vecteur propre associé.
Montrer que \(x_{1}\) et \(x_{2}\) sont non nuls.
Montrer que \(\lambda^{2}\) est une valeur propre de \(p \circ q\) et de \(q \circ p\) et déterminer des vecteurs propres associés.
On suppose dans cette question que les espaces \(E, E_{1}\) et \(E_{2}\) sont ceux définis à la question 5.
Les applications linéaires \(p\) et \(q\) sont définies par : \[\forall R \in E_{1}, \ \forall x\in\mathbb{R},\ (p(R))(x)=\left(x^{3}+x\right) R^{\prime \prime}(x)-\left(4 x^{2}+2\right) R^{\prime}(x)\] et : \[\forall R \in E_{2}, \ \forall x\in\mathbb{R},\ (q(R))(x)=x R^{\prime \prime}(x)-\left(x^{2}+1\right) R^{\prime}(x)\]
Donner la matrice \(A\) de \(p\) relativement aux bases \(\mathcal{B}_{1}\) et \(\mathcal{B}_{2}\) et la matrice \(B\) de \(q\) relativement aux bases \(\mathcal{B}_{2}\) et \(\mathcal{B}_{1}\).
Déterminer \(\operatorname{Ker}(p), \operatorname{Ker}(q)\) et \(\operatorname{Ker}(\varphi)\).
Calculer le produit matriciel \(A B\) et en déduire que 0 est la seule valeur propre réelle de \(\varphi\).
Dans cette partie, on note \(E\) l’ensemble \(\mathbb{R}\setminus \mathbb{Z}\), c’est-à-dire l’ensemble des réels non entiers.
On rappelle les deux développements limités au voisinage de 0 suivants : \[\sin (u)=u+\circ \! \left(u^{2}\right) \quad \text{et} \quad 1-\cos (u)=\frac{u^{2}}{2}+\circ \! \left(u^{2}\right)\]
Pour tout \(a \in E\), soit \(\Phi_{a}\) la fonction définie sur \(\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\) par : \[\Phi_{a}(x)=\begin{cases} \displaystyle \frac{\cos (2 a x)-1}{\sin (x)} & \text { si } 0<x \leqslant \frac{\pi}{2} \\ \hfill 0 \hfill & \text { si } x=0 \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]
Montrer que la fonction \(\Phi_{a}\) est continue sur \(\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\), dérivable sur \(\left.] 0, \frac{\pi}{2}\right]\) et que la fonction \(\Phi_{a}^{\prime}\) est continue sur \(\left] 0, \frac{\pi}{2}\right]\).
Montrer que la fonction \(\Phi_{a}\) est dérivable en 0 et que \(\Phi_{a}^{\prime}(0)=-2 a^{2}\).
Pour tout \(x \in \left] 0, \frac{\pi}{2}\right]\), calculer \(\Phi_{a}^{\prime}(x)\) et déterminer \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \Phi_{a}^{\prime}(x)\).
En déduire que la fonction \(\Phi_{a}^{\prime}\) est continue sur \(\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\).
Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on pose : \(\displaystyle \forall a \in E, \ \Gamma_{n}(a)=2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \Phi_{a}(t) \, \sin ((2 n+1) t) \, \mathrm{d} t\).
À l’aide d’une intégration par parties, établir l’existence d’un réel \(\mu>0\) tel que pour tout entier \(n \geqslant 1\), on a : \(\left|\Gamma_{n}(a)\right| \leqslant \dfrac{\mu}{n}\). En déduire la limite de \(\Gamma_{n}(a)\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).
Pour tout \(a \in E\), soit \(\left(I_{n}(a)\right)_{n \in \mathbb{N}}\) et \(\left(J_{n}(a)\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) les deux suites définies par : \[\forall n \in \mathbb{N}, \ I_{n}(a)=\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^{k}}{a+k} \quad \text{et} \quad \forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ J_{n}(a)=\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k}}{a-k}\]
On rappelle que : \[\begin{cases} \displaystyle \sin (p) -\sin (q) =2 \sin \! \left(\frac{p-q}{2}\right) \times \cos \! \left(\frac{p+q}{2}\right) \\ \displaystyle \cos (u) \times \cos (v) =\frac{1}{2} \left( \cos (u+v)+\cos (u-v) \right) \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]
Établir pour tout \(a \in E\) et pour tout \(k \in \mathbb{N}^{*}\), la relation : \[\Gamma_{k}(a)-\Gamma_{k-1}(a)=(-1)^{k} \sin (\pi a)\left(\frac{1}{a+k}+\frac{1}{a-k}\right)\]
Calculer \(\Gamma_{0}(a)\).
Établir pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\) et pour tout \(a \in E\), l’égalité : \[\frac{\Gamma_{n}(a)}{\sin (\pi a)}=I_{n}(a)+J_{n}(a)-\frac{\pi}{\sin (\pi a)}\]
Pour tout entier \(n \in \mathbb{N}^{*}\), on pose : \(\displaystyle u_{n}=(-1)^{n}\, \frac{2 a}{a^{2}-n^{2}}\).
Montrer que pour tout \(a \in E\), la série de terme général \(u_{n}\) est convergente.
Établir la relation : \(\displaystyle \forall a \in E, \ \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n} \, \frac{2 a}{a^{2}-n^{2}}=\frac{\pi}{\sin (\pi a)}-\frac{1}{a}\).
Pour tout \(a \in \left] 0,1 \right[\), on pose pour tout \(t \in \left] 0,1 \right]\) : \[\forall n \in \mathbb{N}, \ \alpha_{n}(t)=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k} t^{k+a-1} \quad \text{et} \quad \forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ \beta_{n}(t)=\sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+1} t^{k-a-1}\]
Vérifier que \(\displaystyle \alpha_{n}(t)-\frac{t^{a-1}}{1+t}=\frac{(-1)^{n} t^{a+n}}{1+t}\) et que \(\displaystyle \beta_{n}(t)-\frac{t^{-a}}{1+t}=\frac{(-1)^{n+1} t^{n-a}}{1+t}\).
Établir la convergence des intégrales \(\displaystyle \int_{0}^{1} \alpha_{n}(t) \, \mathrm{d} t\) et \(\displaystyle \int_{0}^{1} \beta_{n}(t) \, \mathrm{d} t\) et exprimer leurs valeurs respectives en fonction de \(I_{n}(a)\) et \(J_{n}(a)\).
Montrer que pour tout \(a \in \left] 0,1 \right[\), les intégrales \(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{t^{a-1}}{1+t} \, \mathrm{d} t\) et \(\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{t^{-a}}{1+t} \, \mathrm{d} t\) sont convergentes.
On pose alors : \(\displaystyle \forall a \in \left] 0,1\right[, \ A(a)=\int_{0}^{1} \frac{t^{a-1}}{1+t} \, \mathrm{d} t\) et \(\displaystyle B(a)=\int_{0}^{1} \frac{t^{-a}}{1+t} \, \mathrm{d} t\).
Établir l’existence de \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} I_{n}(a)\) et montrer que \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} I_{n}(a)=A(a)\). De même, déterminer \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} J_{n}(a)\).
Montrer que pour tout \(a \in \left] 0,1\right[\), on a : \(\displaystyle A(a)+B(a)=\frac{\pi}{\sin (\pi a)}\).
Montrer que pour tout \(a \in \left] 0,1 \right[\), l’intégrale \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{t^{a-1}}{1+t} \, \mathrm{d} t\) est convergente et vaut \(\displaystyle \frac{\pi}{\sin (\pi a)}\).
Montrer que pour tout réel \(\theta>1\), l’intégrale \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{1+t^{\theta}} \, \mathrm{d} t\) est convergente et déterminer sa valeur en fonction de \(\theta\) (on pourra utiliser le changement de variable \(u=t^{\theta}\)).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
