Connectez-vous pour consulter le corrigé.
Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à 2 et \(\mathcal{B}=\left(e_1, e_2, \ldots, e_n\right)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^n\).
Soit \(v\) un vecteur donné de \(\mathbb{R}^n\) de coordonnées \(v_1, v_2, \ldots, v_n\) dans la base \(\mathcal{B}\) et qui vérifie \(\displaystyle \sum_{i=1}^n v_i=1\).
Soit \(f\) l’application définie sur \(\mathbb{R}^n\) qui à tout vecteur \(x=\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right) \in \mathbb{R}^n\), associe le vecteur \(f(x)\) défini par : \(\displaystyle f(x)=x-\left(\sum_{i=1}^n x_i\right) v\).
Montrer que \(f\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}^n\). On note \(M\) la matrice représentative de \(f\) dans la base canonique de \(\mathbb{R}^n\).
Montrer que \(f \circ f=f\).
Écrire la matrice \(M\).
Déterminer les valeurs propres de \(M\).
Montrer que le vecteur \(y\) appartient à l’image de \(f\), notée \(\operatorname{Im}(f)\), si et seulement si \(f(y)=y\).
Montrer que la dimension de \(\operatorname{Im} (f)\) est inférieure ou égale à \(n-1\).
Montrer que pour tout \(i \in \left[\!\left[1, n-1\right]\!\right]\), on a \(\left(e_i-e_{i+1}\right) \in \operatorname{Im} f\).
En déduire une base et la dimension de \(\operatorname{Im} (f)\). Quel est le rang de \(f\) ?
Déterminer une base du noyau de \(f\).
Quels sont les dimensions des sous-espaces propres de \(M\) ?
La matrice \(M\) est-elle diagonalisable?
Justifier qu’il existe une base de \(\mathbb{R}^n\) dans laquelle la matrice associée à \(f\) est diagonale.
Toutes les variables aléatoires rencontrées dans ce problème sont supposées définies sur un même espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) et on considère une variable aléatoire \(X\) à valeurs strictement positives suivant la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\) inconnu, de densité \(f_X\) définie par: \[f_X(x)=\begin{cases} \lambda\,\mathrm{e}^{-\lambda x}& \text{si } x \geqslant 0 \\ \hfill 0 \hfill &\text{si } x < 0 \end{cases}.\]
Étant donnée une suite \((T_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) d’estimateurs d’un paramètre réel \(a\), on dira que :
\(T_n\) est un estimateur sans biais de \(a\) si \(T_n\) admet une espérance et si \(\mathbb{E}(T_n)=a\),
\(T_n\) est un estimateur convergent de \(a\) si : \[\forall \varepsilon \in\mathbb{R}_+^\ast,\ \lim\limits_{n\to+\infty}\mathbb{P}\! \left( \left| T_n - a \right| \geqslant \varepsilon \right) = 0\]
L’objectif de cette partie est de comparer deux estimateurs sans biais et convergents du paramètre inconnu \(\displaystyle\frac{1}{\lambda}\).
On considère pour cela une suite \((X_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) de variables aléatoires mutuellement indépendantes, toutes de même loi que \(X\) et on pose : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ Y_n= \sum_{i=1}^n X_i,\quad \overline{X}_n = \frac{1}{n}\, Y_n \quad\text{et}\quad M_n=\max(X_1,X_2,\dots,X_n).\]
On fixe un entier naturel \(n\) non nul et on admet que \(Y_n,\overline{X}_n\) et \(M_n\) sont des variables aléatoires sur \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).
Rappeler sans démonstration les valeurs de l’espérance \(\mathbb{E}(X)\), de la variance \(\mathbb{V}(X)\) ainsi que l’expression de la fonction de répartition \(F_X\) de la variable aléatoire \(X\).
Calculer \(\mathbb{E}(\overline {X}_n)\) et \(\mathbb{V}(\overline {X}_n)\) puis en déduire que \({\overline X}_n\) est un estimateur sans biais et convergent du paramètre \(\displaystyle\frac{1}{\lambda}\).
Montrer que \(M_n\) est une variable aléatoire à densité admettant pour densité la fonction \(f_{M_n}\) définie par : \[f_{M_n}(x) = \begin{cases} n\lambda\,\mathrm{e}^{-\lambda x}(1-\mathrm{e}^{-\lambda x})^{n-1} &\text{si } x\geqslant 0 \\ \hfill 0 \hfill &\text{si } x<0 \end{cases}.\]
Établir l’existence de l’espérance \(\mathbb{E}(M_n)\) de la variable aléatoire \(M_n\).
En posant \(z=1-\mathrm{e}^{-\lambda x}\), justifier pour tout \(a>0\), l’égalité : \[\int_0^a x \mathrm{e}^{-\lambda x}\left(1-\mathrm{e}^{-\lambda x}\right)^{n-1} \mathrm{d} x=-\frac{1}{\lambda^2} \int_0^{1-\mathrm{e}^{-\lambda a}} z^{n-1} \ln (1-z) \, \mathrm{d} z .\]
En déduire que l’on a : \(\displaystyle \mathbb{E}\! \left(M_n\right)=-\frac{n}{\lambda} \int_0^1 z^{n-1} \ln (1-z) \, \mathrm{d} z\).
Montrer que la fonction \(z \mapsto(1-z)(1-\ln (1-z))\) définie sur l’intervalle \([0,1[\), est une primitive de la fonction \(z \mapsto \ln (1-z)\).
À l’aide d’une intégration par parties, en déduire pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), une relation entre \(\mathbb{E}\!\left(M_{n+1}\right)\) et \(\mathbb{E}\!\left(M_n\right)\).
On pose pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\) : \(\displaystyle u_n=\sum_{j=1}^n \frac{1}{j}\). Déduire de la question précédente que \(\displaystyle \mathbb{E}\!\left(M_n\right)=\frac{1}{\lambda} u_n\).
On pose pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\) : \(\displaystyle M_n^{\prime}=\frac{M_n}{u_n}\) et \(\displaystyle v_n=\sum_{j=1}^n \frac{1}{j^2} \cdot\). On admet que \(\displaystyle \mathbb{V}\! \left(M_n\right)=\frac{1}{\lambda^2}\, v_n\).
Calculer \(\mathbb{E}(M^\prime_n)\) et \(\mathbb{V}(M^\prime_n)\).
Justifier la convergence de la suite de terme général \(v_n\). Déterminer \(\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\).
En déduire que \(M^\prime_n\) est un estimateur sans biais et convergent de \(\displaystyle\dfrac{1}{\lambda}\).
Soit \(Q\) la fonction polynomiale définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ Q(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^n \left( x-\frac{1}{k} \right)^2.\]
Étudier la fonction \(Q\) puis établir l’inégalité: \[u_n^2\leqslant n\,v_n.\]
Comparer finalement \(\mathbb{V}(M^\prime_n)\) et \(\mathbb{V}({\overline X}_n)\). Conclure.
Les notations et le contexte sont ceux de la partie I.
Dans cette partie, on conserve les notations et le contexte de la partie I et on suppose que la durée de vie (en heures) d’un composant électronique est une variable aléatoire \(X\) à valeurs strictement positives suivant la loi exponentielle de paramètre \(\lambda\) (avec \(\lambda>0\)).
On suppose qu’en cas de panne le composant électronique est immédiatement remplacé par un autre composant. Pour tout \(n \in\mathbb{N}^\ast\), on note \(X_n\) la variable aléatoire égale à la durée de vie du \(n\)-ème composant et on suppose que \((X_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) est une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes et toutes de même loi que \(X\).
On note \((x_1,x_2,\dots,x_n)\) la réalisation du \(n\)-échantillon \((X_1,X_2,\dots,X_n)\) et on pose: \[\overline{x}=\displaystyle\frac{1 }{n}\sum_{i=1}^nx_i.\]
Donner une interprétation de \(\displaystyle\frac{1}{\lambda}\). Dans quelle unité s’exprime \(\displaystyle\frac{1}{\lambda}\)?
Soit \(p\in \left] 0,1 \right[\). Déterminer en fonction de \(p\) et \(\lambda\), l’unique réel \(h_p\) pour lequel on a \(\mathbb{P}( X>h_p )=p\).
Proposer un estimateur \(H_n\) sans biais et convergent de \(h_p\).
On suppose que sur un échantillon de 100 composants, on a obtenu: \(\displaystyle\sum_{i=1}^ {100} x_i=10^5\) heures. Donner une estimation de \(h_{\frac{1}{2}}\) (on donne \(\ln (2) \simeq 0,7\)).
On admet sans démonstration que pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), la fonction de répartition \(F_{Y_n}\) de la variable aléatoire \(Y_n\) est donnée par: \[F_{Y_n}(x) = \begin{cases} 1-\mathrm{e}^{-\lambda x}\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \frac{\left( \lambda \,x\right)^k}{k!} & \text{si } x \geqslant 0 \\ \hfill 0 \hfill &\text{si } x < 0 \end{cases}.\]
Soit \(t\) un réel strictement positif fixé et \(N(t)\) la variable aléatoire égale au nombre de pannes dans l’intervalle de temps \(\left[ 0,t \right[\).
Déterminer la loi de la variable aléatoire \(N(t)\).
Donner une estimation « naturelle » du nombre moyen de pannes dans l’intervalle \(\left[ 0,t \right[\).
L’objectif de cette question est de déterminer un intervalle de confiance asymptotique du paramètre inconnu \(\displaystyle\frac{1}{\lambda}\) au niveau de confiance \(1-\alpha\) (\(0< \alpha<1\)).
On note \(\Phi\) la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite et \((t_1,t_2)\) l’unique couple de réels vérifiant : \[\Phi(t_1)=1- \dfrac{\alpha}{2} \quad\text{et}\quad\Phi(t_2)= \dfrac{\alpha}{2}.\] Justifier que : \(t_2=-t_1\).
On pose: \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ R_n=\sqrt{n} \left( \lambda {\overline X}\!_n-1 \right).\] Justifier que la suite de variables aléatoires \((R_n)_{n\in\mathbb{N}^*}\) converge en loi vers une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.
En déduire que : \[\lim_{n\to +\infty} \mathbb{P}( -t_1\leqslant R_n \leqslant t_1 )=1-\alpha.\]
Déterminer un intervalle de confiance asymptotique de \(\displaystyle\frac{1}{\lambda}\) au niveau de confiance \(1-\alpha\).
Que se passe-t-il lorsque \(\alpha\) est proche de 0 ou lorsque \(\alpha\) est proche de 1?
Pour \(\alpha=0.05\), on donne \(t_1\simeq 2\). Montrer qu’avec l’échantillon de la question 5d, la réalisation de l’intervalle de confiance asymptotique de \(\displaystyle\frac{1}{\lambda}\) au niveau de confiance 0.95 est: \([833,1250]\).
On conserve les notations et le contexte des parties précédentes et on note : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ T_n = M_n - \frac{\ln(n)}{\lambda}.\]
On admet que, pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), \(T_n\) est une variable aléatoire et on note \(F_{T_n}\) sa fonction de répartition.
Montrer que : \[\forall x\in\mathbb{R},\ F_{T_n}(x)=\left[ F_X\!\left( x+\frac{\ln( n) }{\lambda } \right) \right]^n.\]
Pour tout réel \(x\) fixé, déterminer un entier naturel \(N_x\) (qui dépend de \(x\)) tel que \[\forall n\geqslant N_x,\ x+ \frac{\ln( n) }{\lambda}>0.\]
En déduire, pour tout entier \(n\geqslant N_x\), une expression de \(F_X\!\left( x+\dfrac{\ln(n)}{\lambda} \right)\) en fonction de \(x,\lambda\) et \(n\).
Montrer finalement que : \[\lim_{n\to +\infty}F_{T_n}(x)= \exp\!\left( -\,\mathrm{e}^{-\lambda x}\right)=\mathrm{e}^{- \mathrm{e}^{-\lambda x}}.\]
Soit \(F\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ F(x)= \exp\!\left( -\,\mathrm{e}^{-\lambda x}\right).\]
Justifier que \(F\) est de classe \(\mathcal C^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}\) et montrer que \(F\) réalise une bijection de \(\mathbb{R}\) sur l’intervalle \(]0,1[\).
En déduire que \(F\) est la fonction de répartition d’une variable aléatoire \(T\) admettant une densité \(f_T\) continue sur \(\mathbb{R}\) que l’on déterminera; on dit que \(T\) suit la loi de Gumbel de paramètre \(\lambda\).
Que peut-on en déduire quant à la suite de variables aléatoires \((T_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) ?
Établir l’existence de l’espérance \(\mathbb{E}(T)\) de la variable aléatoire \(T\).
On pose: \(Z=-\dfrac{\ln(\lambda X) }{\lambda}\) et on admet que \(Z\) est une variable aléatoire. Montrer que les variables aléatoires \(Z\) et \(T\) sont de même loi.
Justifier l’égalité: \[\mathbb{E}(T)=- \frac{1}{\lambda}\int_0^{+\infty}\mathrm{e}^{-t} \ln(t)\,\mathrm{d}t.\]
À l’aide de la concavité de la fonction \(\ln\) sur \(\mathbb{R}_+^\ast\), prouver que l’espérance de \(T\) est positive ou nulle.
On suppose dans cette question que \(\lambda=1\).
Expliciter la bijection réciproque \(G\) de la fonction \(F\).
On considère le programme Python
suivant:
Le réel \(0\) fait-il partie des
nombres renvoyés par la commande
x=np.linspace(-2,2,400)?
Quel sera le résultat de l’exécution de ce programme?
Soit \(U\) une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l’intervalle \(]0,1[\). Quelle est la loi de la variable aléatoire \(G(U)\)?
Établir l’inégalité: \(\mathbb{E}(T)\leqslant 1\).
Écrire une fonction en langage Python
dont l’exécution renvoie une simulation de la variable aléatoire \(T\).
Écrire un script en langage Python dont
l’exécution permet de renvoyer une valeur approchée de \(\mathbb{E}(T)\) en utilisant la méthode de
Monte-Carlo.
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
