HEC 2015BL

Problème 1

Dans tout le problème :

• \(n\) désigne un entier supérieur ou égal à 2 et on note \(E_{n}\) l’espace vectoriel \(\mathbb{R}_{n}[X]\) des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à \(n\).

• Pour tout \(k \in \mathbb{N}\), on note \(\left[\!\left[0, k\right]\!\right]=\{0,1, \ldots, k\}\).

• Si \(f\) est une fonction admettant une dérivée d’ordre \(j\), celle-ci est notée \(f^{(j)}\) avec la convention \(f^{(0)}=f\).

• On note \(\mathcal{B}_{n}=\left(1, X, \ldots, X^{n}\right)\) la base canonique de \(E_{n}\).

• On admet sans démonstration les deux résultats suivants :

  1. si \(f\) et \(g\) sont deux fonctions admettant des dérivées d’ordre \(p\) \((p \in \mathbb{N})\), on a : \[(f g)^{(p)}=\sum_{k=0}^{p} \binom pk f^{(k)} g^{(p-k)} \tag{1}\]

  2. si \(u\) et \(v\) sont deux fonctions de classe \(\mathcal C^{m}\) \((m \geqslant 1)\) sur \([-1,1]\), on a : \[\int_{-1}^{1} u^{(m)}(t) \, v(t) \,\mathrm{d}t=\left[\sum_{i=0}^{m-1}(-1)^{i} \, u^{(m-1-i)}(t) v^{(i)}(t)\right]_{-1}^{1}+(-1)^{m} \int_{-1}^{1} u(t) \, v^{(m)}(t) \,\mathrm{d}t \tag{2}\]

• On note \(\Phi\) l’application qui à tout polynôme \(P \in E_{n}\), associe le polynôme \[\Phi(P)=\left(X^{2}-1\right) P^{\prime \prime}+2 X P^{\prime}\]

Partie I. Quelques propriétés de \(\Phi\)

1. 1. Montrer que \(\Phi\) est un endomorphisme non injectif de \(E_{n}\).

   2. Écrire la matrice \(A\) de \(\Phi\) dans la base \(\mathcal{B}_{n}\).

2. 1. Déterminer les valeurs propres de \(\Phi\).

   2. Montrer que \(\Phi\) est diagonalisable.

   3. Donner la dimension des sous-espaces propres de \(\Phi\).

   4. Déterminer le noyau de \(\Phi\).

Partie II. Une base de vecteurs propres de \(\Phi\)

Dans cette partie, on note \(i\) un entier de \(\left[\!\left[1, n\right]\!\right]\) et on considère les deux polynômes de \(\mathbb{R}[X],\) \(A_{i}\) et \(\ell_{i}\) tels que : \(A_{i}=(X^{2}-1)^{i}\) et \(\ell_{i}=A_{i}^{(i)}\).

3. 1. Établir l’égalité : \(\left(X A_{i}\right)^{(i)}=X \ell_{i}+i A_{i}^{(i-1)}\).

   2. À l’aide du résultat (1) admis, montrer que : \[\ell_{i+1}=\left(X^{2}-1\right) A_{i}^{(i+1)}+2 \left( i+1 \right) X A_{i}^{(i)}+i \left( i+1 \right) A_{i}^{(i-1)}\]

   3. En exprimant \(2 \left( i+1 \right) X \ell_{i}\) à l’aide de la question 3a, en déduire l’égalité : \[( X^{2}-1 ) \ell_{i}^{\prime}=\ell_{i+1}-2 \left( i+1 \right) \left(X A_{i}\right)^{(i)}+i \left( i+1 \right) A_{i}^{(i-1)}\]

4. 1. Montrer que \(A_{i+1}^{\prime}=2 \left( i+1 \right) X A_{i}\).

   2. En dérivant \(i\) fois la relation précédente, en déduire l’égalité : \((X^{2}-1) \ell_{i}^{\prime}=i \left( i+1 \right) A_{i}^{(i-1)}\).

   3. Calculer \(\Phi(\ell_{i})\) et en déduire une base de \(E_{n}\) constituée de vecteurs propres de \(\Phi\).

5. 1. En écrivant \(A_{i}=(X+1)^{i}(X-1)^{i}\), calculer \(\ell_{i}(1)\).

   2. Déterminer le degré de \(\ell_{i}\) et son coefficient de plus haut degré.

Partie III. Décomposition d’un polynôme sur une base

6. 1. On suppose que \(j \in \mathbb{N}^{*}\). Montrer que pour tout \(k \in \left[\!\left[0, j-1\right]\!\right]\), les réels \(1\) et \(-1\) sont racines de \(A_{j}^{(k)}\).

   2. En appliquant le résultat (2) admis, calculer pour tout couple d’entiers \((i, j)\) vérifiant \(0 \leqslant i<j\), l’intégrale : \[J_{i, j}=\int_{-1}^{1} \ell_{i}(t) \, \ell_{j}(t) \,\mathrm{d}t\]

7. Pour tout entier naturel \(i\), on note \(I_{i}\) l’intégrale définie par : \(\displaystyle I_{i}=\int_{-1}^{1} \ell_{i}^{2}(t) \,\mathrm{d}t\).

   1. Établir à l’aide de la question 5b et du résultat (2) admis, la relation : \[I_{i}=(-1)^{i} \left( 2 i \right) ! \int_{-1}^{1}\left(t^{2}-1\right)^{i} \,\mathrm{d}t\]

   2. On pose : \(\displaystyle K_{i}=\int_{-1}^{1} (t^{2}-1 )^{i} \,\mathrm{d}t\). Établir la relation : \(\left( 2 i+1 \right) K_{i}=-2 i K_{i-1}\).

   3. Montrer que pour tout entier naturel \(i\), on a : \(\displaystyle I_{i}=\frac{(i !)^{2}}{2 i+1} \, 2^{2 i+1}\).

8. Pour tout entier naturel \(i\), on pose : \(\displaystyle L_{i}=\frac{1}{2^{i} i !} \, \ell_{i}\).

   1. On pose : \(\mathcal{B}_{n}^{\prime}=\left(L_{0}, L_{1}, \ldots, L_{n}\right)\). Montrer que \(\mathcal{B}_{n}^{\prime}\) est une base de \(E_{n}\).

   2. Montrer que la décomposition d’un polynôme quelconque \(P \in E_{n}\) sur la base \(\mathcal{B}_{n}^{\prime}\) est donnée par :

      \[P=\sum_{i=0}^{n}\left(\frac{2 i+1}{2} \int_{-1}^{1} P(t) \, L_{i}(t) \,\mathrm{d}t\right) L_{i}\]

Problème 2

Dans tout le problème :

• Toutes les variables aléatoires sont supposées définies sur le même espace probabilisé \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\) et admettent pour tout entier naturel \(k\), un moment d’ordre \(k\).

• Pour toute variable aléatoire \(X\), on définit sa fonction génératrice des moments \(M_{X}\) dont le domaine de définition est noté \(\mathcal{D}_{X}\), par : \(\forall t \in \mathcal{D}_{X},\) \(M_{X}(t)=\mathbb{E}( \mathrm{e}^{tX} )\).

  On remarque que \(\mathcal{D}_{X}\) n’est jamais vide car le réel 0 est un élément de \(\mathcal{D}_{X}\) et on suppose que \(\mathcal{D}_{X}\) contient un intervalle ouvert contenant 0.

• On admet les résultats suivants :

  • (i) \(\mathcal{D}_{X}\) est un intervalle.

  • (ii) La fonction \(M_{X}\) est de classe \(\mathcal C^{\infty}\) sur \(\mathcal{D}_{X}\) et pour tout entier naturel \(k\), la fonction dérivée d’ordre \(k\) de \(M_{X}\), notée \(M_{X}^{(k)}\), est donnée par : \[\forall t \in \mathcal{D}_{X}, \quad M_{X}^{(k)}(t)= \mathbb{E}(X^{k}\,\mathrm{e}^{tX})\]

  • (iii) Si deux variables aléatoires ont la même fonction génératrice des moments, alors elles sont de même loi.

  • (iv) Soit \(R\) un réel strictement positif. Soit \(\left(X_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) une suite de variables aléatoires et \(X\) une variable aléatoire telles que : \[\forall t \in \left]-R,R\right[,\quad \lim_{n\to+\infty} M_{X_n}(t)=M_X(t)\]

    Alors la suite \(\left(X_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) converge en loi vers la variable aléatoire \(X\).

Partie I. Exemples et premières propriétés

1. 1. Vérifier que pour tout \(t \in \mathcal{D}_{X}\), on a : \(M_{X}(t) \geqslant 0\).

   2. Montrer que pour tout entier naturel \(k\), on a : \(\mathbb{E}(X^{k})=M_{X}^{(k)}(0)\).

2. 1. Pour tous réels \(a\) et \(b\), établir l’équivalence : \(\left(t \in \mathcal{D}_{a X+b}\right) \Longleftrightarrow\left(a t \in \mathcal{D}_{X}\right)\).

   2. Montrer que pour tout \(t \in \mathcal{D}_{a X+b}\), on a : \(M_{a X+b}(t)=\mathrm{e}^{b t} \, M_{X}(a t)\).

3. 1. On suppose que \(X\) suit la loi binomiale de paramètres \((n, p)\). Vérifier que \(\mathcal{D}_{X}=\mathbb{R}\) et déterminer \(M_{X}\).

   2. On suppose que \(X\) suit la loi de Poisson de paramètre \(\lambda>0\).

      Vérifier que \(\mathcal{D}_{X}=\mathbb{R}\) et que : \(\forall t \in \mathbb{R}, M_{X}(t)=\mathrm{e}^{\lambda (\mathrm{e}^{t}-1 )}\).

   3. On suppose que \(X\) suit la loi exponentielle de paramètre \(\lambda>0\), de densité \(f_{X}\) où : \[f_X(x)= \begin{cases} \lambda \mathrm{e}^{-\lambda x} & \text { si } x \geqslant 0 \\ \hfill 0 \hfill & \text { sinon } \end{cases}\]

      Montrer que \(\mathcal{D}_{X}=\left]-\infty, \lambda \right[\) et que : \(\displaystyle \forall t \in \left]-\infty, \lambda\right[, \ M_{X}(t)=\frac{\lambda}{\lambda-t}\).

4. On suppose que \(X\) suit la loi normale centrée réduite de densité continue sur \(\mathbb{R}\).

   1. Établir la convergence de l’intégrale \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e}^{t u} \, \mathrm{e}^{-\frac{u^{2}}{2}} \,\mathrm{d}u\).

   2. En remarquant que \(\displaystyle -\frac{1}{2}\left(u^{2}-2 t u\right)=-\frac{1}{2} \left( u-t \right)^{2}+\frac{t^{2}}{2}\), montrer que \(\mathcal{D}_{X}=\mathbb{R}\) et que : \[\forall t \in \mathbb{R}, \ M_{X}(t)=\mathrm{e}^{\frac{t^{2}}{2}}\]

   3. On pose : \(Y=\sigma X+m\), où \(m \in \mathbb{R}\) et \(\sigma>0\). Quelle est la loi de \(Y\) ?

   4. En utilisant la question 2, déterminer \(M_{Y}\).

5. Pour \(n \in \mathbb{N}^{*}\), soit \(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\), \(n\) variables aléatoires indépendantes et de même loi.

   On pose : \(\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n} X_{k}\).

   1. Justifier que si \(t \in \mathcal{D}_{X_{1}}\), alors \(t \in \mathcal{D}_{S_{n}}\).

   2. Établir pour tout \(t \in \mathcal{D}_{X_{1}}\), la relation : \(M_{S_{n}}(t)=\left(M_{X_{1}}(t)\right)^{n}\).

Partie II. Fonction génératrice des moments et théorème de la limite centrée

Soit \(\left(X_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi qu’une variable aléatoire \(X\) admettant une espérance \(m \in \mathbb{R}\) et une variance \(\sigma^{2}>0\).

On pose : \(Y=X-m\) et pour tout \(k \in \mathbb{N}^{*}, Y_{k}=X_{k}-m\), et pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), \(\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n} X_{k}\) et \(\displaystyle Z_{n}=\frac{S_{n}-n m}{\sigma \sqrt{n}}\).

6. Quelle est la limite en loi de la suite \(\left(Z_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) ?

7. Dans cette question, on se propose d’établir le théorème de la limite centrée.

   1. Montrer que si \(t \in \mathcal{D}_{X}\), alors \(\sigma \sqrt{n} t \in \mathcal{D}_{Z_{n}}\).

   2. Établir pour tout réel \(t\) tel que \(\frac{t}{\sigma \sqrt{n}} \in \mathcal{D}_{X}\), la relation : \(M_{Z_{n}}(t)=\left(M_{Y} \! \left(\frac{t}{\sigma \sqrt{n}}\right)\right)^{n}\).

   3. On rappelle que \(\mathcal{D}_{Y}\) contient un intervalle ouvert contenant 0, noté \(]-R, R[\), avec \(R>0\).

      Montrer qu’il existe \(n_{0} \in \mathbb{N}\) tel que pour tout \(t \in\left]-R, R\right[\) et pour tout entier \(n \geqslant n_{0}\), on a \(\frac{t}{\sigma \sqrt{n}} \in \mathcal{D}_{Y}\).

   4. Montrer que pour tout \(t \in \left] -R, R\right[\), on a : \(\displaystyle M_{Y} \! \left(\frac{t}{\sigma \sqrt{n}}\right)=1+\frac{t^{2}}{2 n}+ \circ \! \left(\frac{1}{n}\right)\), lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).

   5. Montrer que pour tout \(t \in \left]-R, R \right[\), on a : \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} M_{Z_{n}}(t)=M_{Z}(t)\), où \(Z\) est une variable aléatoire dont on précisera la loi.

   6. Retrouver ainsi le résultat de la question 6.