HEC 2014Maths appliquées

Exercice

On note \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) l’espace vectoriel des matrices carrées d’ordre 3 à coefficients réels.

On pose pour toute matrice \(A=\left( a_{i,j}\right) _{1 \leqslant i,j\leq3}\in% \mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) : \[\begin{array}{llll} \displaystyle s_{1}(A) =\sum\limits_{j=1}^{3}a_{1,j} & \displaystyle s_{2}\left( A\right) =\sum\limits_{j=1}^{3}a_{2,j} & \displaystyle s_{3}(A) =\sum\limits_{j=1}^{3}a_{3,j} & \text{(somme des coefficients des lignes)} \\ \displaystyle s_{4}(A) =\sum\limits_{i=1}^{3}a_{i,1} & \displaystyle s_{5}\left( A\right) =\sum\limits_{i=1}^{3}a_{i,2} & \displaystyle s_{6}(A) =\sum\limits_{i=1}^{3}a_{i,3} & \text{(somme des coefficicnts des colonnes)} \\ \displaystyle s_{7}(A) =\sum\limits_{i=1}^{3}a_{i,i} & \displaystyle s_{8}\left( A\right) =\sum\limits_{i=1}^{3}a_{i,4-i} & & \text{(somme des coefficients des diagonales)} \end{array}\]

Pour tout couple \(\left( k,\ell\right) \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,3} \right]\kern-0.15em\right]^{2}\), on note \(E_{k,\ell}\) la matrice de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) dont tous les coefficients sont nuls excepté celui situé à l’intersection de la \(k\)-ième ligne et de la \(\ell\)-ième colonne qui vaut 1.

On rappelle que la famille \(\left( E_{1,1},E_{1,2},E_{1,3},E_{2,1},E_{2,2},E_{2,3},E_{3,1},E_{3,2},E_{3,3}% \right)\) est une base de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) ; on note \(\mathcal{B}\) cette base.

1. Soit \(\mathcal{E}\) l’ensemble des matrices \(A\in\mathcal{M}_{3}( \mathbb{R})\) telles que \(s_{7}(A) =0\).

   1. Montrer que \(\mathcal{E}\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{M}% _{3}( \mathbb{R})\).

   2. Quelle est la dimension de \(\mathcal{E}\) ?

   Soit \(f\) l’application de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) dans \(% \mathbb{R}^{8}\) qui à toute matrice \(A\) fait correspondre le vecteur
   \(f(A) =\left( s_{1}(A) ,s_{2}(A) ,s_{3}(A) ,s_{4}(A) ,s_{5}(A) ,s_{6}(A) ,s_{7}(A) ,s_{8}(A) \right)\) de \(\mathbb{R}^{8}\)

2. 1. Montrer que \(f\) est une application linéaire.

   2. On note \(\mathcal{C}\) la base canonique de \(\mathbb{R}^{8}\). é crire la matrice \(F\) de \(f\) dans les bases \(\mathcal{B}\) et \(\mathcal{C}\).

3. On note \(\mathcal{G}\) l’ensemble des matrices \(A\in\mathcal{M}% _{3}(\mathbb{R})\) telles que : \[s_{1}(A) =s_{2}(A) =s_{3}(A) =s_{4}(A) =s_{5}(A) =s_{6}(A) =s_{7}(A) =s_{8}(A)\]

   1. Montrer que \(\mathcal{G}\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{M}% _{3}(\mathbb{R})\).

   2. On note \(\mathrm{Ker}(f)\) le noyau de l’application linéaire \(f\). Montrer que \(\mathcal{G} \cap \mathcal{E} = \mathrm{Ker}(f)\).

   3. On note \(J\) la matrice de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) dont tous les coefficients sont égaux à 1. Montrer que toute matrice de \(\mathcal{G}\) s’écrit de manière unique comme la somme d’une matrice de \(\mathrm{Ker}(f)\) et d’une matrice de Vect\(\left( J\right)\).

   4. Quel est le rang de l’application \(f\) ?

   5. Déterminer la dimension de \(\mathrm{Ker}(f)\) ainsi qu’une base de \(% \mathrm{Ker}(f)\).

Problème

• La fonction de répartition de la loi normale centrée ré duite est notée \(\Phi\).

• La notation \(\exp\) désigne la fonction exponentielle.

• Les trois parties du problème sont très largement indé pendantes.

Partie I. Un équivalent d’une intégrale

1. Soit \(N\) la fonction définie sur l’intervalle \(\left[ 0,1\right[\) , à valeurs réelles, telle que : \[N\left( x\right) =x^{2}-2x-2\left( 1-x\right) \ln \left( 1-x\right)\]

   1. Montrer que la fonction \(N\) est de classe \(\mathcal{C}^{1}\) sur \(\left[ 0,1\right[\).

   2. Montrer que pour tout \(x\in\left[ 0,1\right[\), on a : \(\ln \! \left( 1-x\right) \leqslant -x\).

   3. Montrer que pour tout \(x\in\left[ 0,1\right[\), on a \(N^{\prime} \! \left( x\right) \leqslant 0\).

   4. En déduire pour tout \(x\in\left[ 0,1\right[\), un encadrement de \(% N(x)\).

2. Soit \(f\) la fonction définie sur l’intervalle \(\left] 0,1\right[\) , à valeurs réelles, telle que : \(f\left( x\right) =-2 \, \dfrac {% x+\ln\left( 1-x\right) }{x^{2}}\).

   1. Rappeler le développement limité en 0 à l’ordre 2 de \(% \ln(1-x)\).

   2. Calculer \(\lim\limits_{x\rightarrow0}f\left( x\right)\). En dé duire que la fonction \(f\) est prolongeable par continuité en \(0\).

      On note encore \(f\) la fonction ainsi prolongée.

   3. Sous réserve d’existence, on note \(f^{\prime}\) la fonction dé rivée de \(f\).

      Montrer que pour tout \(x\in\left] 0,1\right[\), on a : \(f^{\prime}\left( x\right) =-2 \, \dfrac{N\left( x\right) }{x^{3}\left( 1-x\right) }\).

   4. Dresser le tableau de variation de la fonction \(f\) sur \(\left[ 0,1% \right[\).

      En déduire que \(f\) réalise une bijection strictement croissante de \(% \left[ 0,1\right[\) dans \(\left[ 1,+\infty \right[\).

3. On pose pour tout \(n\in\mathbb{N}^{\ast}\) et pour tout \(x\in\left[ 0,1% \right[\) : \(g_{n}\left( x\right) =\exp \!\left( -\frac{nx^{2}}{2} \, f( x ) \right)\).

   1. Établir la convergence de l’intégrale \(\displaystyle \int_{0}^{1}g_{n}\left( x\right) \mathrm{d}x\). On pose alors pour tout n\(\in\mathbb{N}^{\ast}\) : \[I_{n}=\int _{0}^{1}g_{n}\left( x\right) \mathrm{d}x\]

   2. Montrer que pour tout \(x\in\left[ 0,1\right[\), on a : \(\displaystyle 0\leqslant g_{n}\left( x\right) \leqslant \exp \! \left( -\frac{nx^{2}}{2}\right)\).

   3. En déduire l’encadrement : \(0 \leqslant I_{n}\leq\sqrt{\frac{2\pi}{n}}% \left( \Phi\left( \sqrt{n}\right) -\frac{1}{2}\right)\)

   4. Montrer que pour tout \(n\in\mathbb{N}^{\ast}\), on a : \(\displaystyle 0 \leqslant I_{n}\leqslant% \sqrt{\frac{\pi}{2n}}\)

4. Soit \(\left( v_{n}\right) _{n\in\mathbb{N}^{\ast}}\) la suite r éelle définie par : pour tout \(n\in\mathbb{N}^{\ast}\), \(\displaystyle v_{n}=\frac{1% }{\ln\left( n+2\right) }\)

   1. Montrer que pour tout \(n\in\mathbb{N}^{\ast}\), on a : \(0<v_{n}<1\).

   2. On pose pour tout \(n\in\mathbb{N}^{\ast}\) : \(w_{n}=f\left( v_{n}\right)\). Établir la convergence de la suite \(\left( w_{n}\right) _{n\in\mathbb{N}^{\ast}}\) ; déterminer sa limite.

   3. Établir pour tout \(n\in \mathbb{N}^{\ast }\) les inégalités suivantes : \[I_{n}\geqslant \int_{0}^{v_{n}}g_{n}(x) \, \mathrm{d}x\geqslant \int_{0}^{v_{n}}\exp \left( -\frac{nx^{2}}{2}w_{n}\right) \mathrm{d}x\geqslant \frac{1}{\sqrt{nw_{n}}}% \int_{0}^{v_{n}\sqrt{nw_{n}}}\exp \left( -\frac{u^{2}}{2}\right) \mathrm{d}u\]

   4. Établir pour tout \(n\in\mathbb{N}^{\ast}\), l’encadrement : \(\displaystyle \frac{% 2}{\sqrt{w_{n}}}\left( \Phi\left( v_{n}\sqrt{nw_{n}}\right) -\frac{1}{2}% \right) \leqslant I_{n}\sqrt{\frac{2n}{\pi}}\leqslant 1\).

   5. En déduire un équivalent de \(I_{n}\) lorsque \(n\) tend vers \(% +\infty\)

Partie II. Quelques propriétés asymptotiques de la loi de Poisson

Les notations sont identiques à celles de la Partie I.

5. On pose pour tout réel \(x>0\) et pour tout \(n\in \mathbb{N}% ^{\ast }\) : \(J_{0}(x) =1-\mathrm{e}^{-x}\) et \(\displaystyle J_{n}(x) =\frac{% 1}{n!}\int_{0}^{x}t^{n} \, \mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t\).

   1. Calculer pour tout réel \(x>0\), \(J_{1}(x)\).

   2. établir pour tout réel \(x>0\) et pour tout \(n\in\mathbb{N}% ^{\ast }\), la relation : \(\displaystyle J_{n}(x) =J_{n-1}(x) -% \frac {1}{n!} \, x^{n} \, \mathrm{e}^{-x}\).

   3. En déduire pour tout réel \(x>0\) et pour tout \(n\in \mathbb{N}% ^{\ast}\), une expression de \(J_{n}(x)\) sous forme de somme.

   4. Montrer que pour tout \(n\in\mathbb{N}^{\ast}\), l’intégrale \(\displaystyle \int _{0}^{+\infty}t^{n} \, \mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t\) est convergente et calculer sa valeur.

   5. A l’aide du changement de variable \(t=n \left( 1-x \right)\), montrer que pour tout \(% n\in \mathbb{N}^{\ast }\), on a : \[I_{n}=n! \, \frac{\mathrm{e}^{n}}{n^{n+1}} \, J_{n}( n)\]

   Soit \(\left( X_{n}\right) _{n\in\mathbb{N}^{\ast}}\) une suite de variables al éatoires indépendantes, définies sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\), de même loi de Poisson de param ètre 1. On pose pour tout \(n\in\mathbb{N}^{\ast}\) : \(S_{n}=\sum% \limits_{i=1}^{n}X_{i}\).

6. 1. Rappeler, sans démonstration mais en citant le résultat de cours utilisé, la loi de la variable aléatoire \(S_{n}\).

   2. Exprimer pour tout \(n\in \mathbb{N}^{\ast }\), \(\mathbb{P}([S_{n} \leqslant n])\) et \(% \mathbb{P}([S_{n}\geqslant n])\) en fonction de \(J_{n}( n)\) et \(J_{n-1}( n)\) respectivement.

7. Pour tout \(n\in \mathbb{N}^{\ast }\), on note \(h_{n}\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}_{+}\) à valeurs réelles, telle que : \(h_{n}(x) =x^{n} \, \mathrm{e}^{-x}\).

   1. Étudier les variations de \(h_{n}\) sur \(\mathbb{R}_{+}\).

   2. Établir pour tout \(n\in\mathbb{N}^{\ast}\), la relation : \[\mathbb{P}(\left[ S_{n+1} \leqslant n+1\right] )- \mathbb{P}([S_{n} \leqslant n])=-\frac{1}{\left( n+1\right) !}\int_{n}^{n+1}\left( h_{n+1}\left( t\right) -h_{n+1}\left( n\right) \right) \mathrm{d}t\]

   3. En déduire que la suite \(\left( \mathbb{P}([S_{n} \leqslant n])\right) _{n\in% \mathbb{N}^{\ast}}\) est décroissante.

   4. étudier la monotonie de la suite \(\left( \mathbb{P}([S_{n}\geqslant n])\right) _{n\in\mathbb{N}^{\ast}}\).

   5. Montrer que les deux suites \(\left( \mathbb{P}([S_{n} \leqslant n])\right) _{n\in% \mathbb{N}^{\ast}}\) et \(\left( \mathbb{P}([S_{n} \leqslant n])\right) _{n\in \mathbb{N}% ^{\ast}}\) sont convergentes.

8. 1. Énoncer le théorème limite central et dé terminer \(\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}\mathbb{P}([S_{n} \leqslant n])\)

   2. En déduire, à l’aide des questions ??? et ???, un é quivalent de \(n!\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).

   3. Donner un équivalent et la limite de \(\mathbb{P}([S_{n}=n])\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).

   4. Déterminer \(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty }\mathbb{P}([S_{n}\geqslant n])\) .

Partie III, Médianes : cas des variables aléatoires discrètes et des variables aléatoires à densité

Soit \(X\) une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé \(\left( \Omega,\mathcal{A},\mathbb{P}\right)\), de fonction de ré partition \(F\). On appelle médiane de \(X\) , tout réel \(m\) vé rifiant les deux conditions : \(\mathbb{P}\left( \left[ X \leqslant m\right] \right) \geqslant% \frac{1}{2}\) et \(\mathbb{P}\left( \left[ X\geqslant m\right] \right) \geqslant \frac{1}{2}.\)

On admet qu’un tel réel \(m\) existe toujours.

9. Dans un programme Python, on suppose avoir stocké les probabilités \(\mathbb{P}(X=k)\), \(k\in\mathbb{N}\), d’une variable aléatoire discrète \(X\) à valeurs dans \(\mathbb{N}\) dans un tableau numpy loi.

   Écrire une fonction en langage Python, d’en-tête def Mediane(Loi) qui renvoie une médiane de \(X\).

10. Dans cette question, \(X\) est une variable aléatoire discrète à valeurs dans \(\mathbb{N}\) admettant une espérance \(\mathbb{E}(X)\).

    1. Montrer que pour tout \(r\in\mathbb{N}^{\ast}\), on a : \(\displaystyle \mathbb{E}\left( \left\vert X-r\right\vert \right) = \mathbb{E}(X) -r+2\sum\limits_{k=0}^{r-1}\left( r-k\right) \mathbb{P}\left( \left[ X=k\right] \right)\).

    2. Montrer que : \(\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{r-1}F\left( k\right) =\sum \limits_{k=0}^{r-1}\left( r-k\right) \mathbb{P}\left( \left[ X=k\right] \right)\).

       En déduire que pour tout \(r\in\mathbb{N}^{\ast}\), on a : \(\displaystyle \mathbb{E}\left( \left\vert X-r\right\vert \right) = \mathbb{E}(X) +2\sum\limits_{k=0}^{r-1}\left( F\left( k\right) -\frac{1}{2}\right)\)

    3. Soit \(m\) une médiane de \(X\). On suppose que \(m\in \mathbb{N}^{\ast }\).

       Déterminer, pour tout \(r\in \mathbb{N}^{\ast }\), le signe de \(\mathbb{E}\left( \left\vert X-r\right\vert \right) -\mathbb{E}\left( \left\vert X-m\right\vert \right)\). Conclure.

    4. On suppose que \(X\) suit la loi de Poisson de paramètre \(n\) (\(n\in \mathbb{N}^{\ast }\)).

       En utilisant les questions ??? et ???, justifier que \(n\) est une m édiane de \(X\).
       En utilisant les questions ??? et ???, montrer que \(\mathbb{E}\left( \left\vert X-n\right\vert \right)\) est équivalent à \(\displaystyle \sqrt{\frac{2n% }{\pi }}\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).

11. Dans cette question, \(X\) est une variable aléatoire à densit é dont une densité \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\).

    On suppose que \(X\) admet une espérance \(\mathbb{E}(X)\). Soit \(M\) la fonction de \(% \mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) définie par : \[M(x)=\mathbb{E}\left( \left\vert X-x\right\vert \right)\]

    1. Établir pour tout \(x\geqslant 0\) l’encadrement \(0 \leqslant x\left( 1-F\left( x\right) \right) \leqslant \int_{x}^{+\infty}tf\left( t\right) \mathrm{d}t\).

       En déduire que \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x\left( 1-F\left( x\right) \right) =0\).

       En considérant la variable aléatoire \(-X\). montrer que \(% \lim\limits_{x\rightarrow-\infty}xF(x) =0\).

    2. Établir pour tout \(x\) réel, la relation : \(\displaystyle M(x) =\int_{-\infty}^{x}F\left( t\right) \mathrm{d}t+\int_{x}^{+\infty}\left( 1-F\left( t\right) \right)\mathrm{d}t\)

    3. Montrer que pour tout couple \(\left( a,b\right) \in\mathbb{R}^{2}\), on a : \(\displaystyle M\left( b\right) -M(A) =\int_{a}^{b}\left( 2F\left( t\right) -1\right) \mathrm{d}t\).

    4. On note \(m\) une médiane de \(X\). Montrer que \(m\) est un point en lequel la fonction \(M\) atteint son minimum.