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Dans tout le problème, pour tout couple \((p, q) \in (\mathbb{N}^{*})^ 2\) :
on note \(\mathcal{M}_{p, q}(\mathbb{R})\) l’espace vectoriel des matrices à \(p\) lignes et \(q\) colonnes à coefficients réels et \(\mathcal{M}_{p, p}(\mathbb{R})\) est noté \(\mathcal{M}_{p}(\mathbb{R})\);
la matrice transposée d’une matrice \(A\) de \(\mathcal{M}_{p, g}(\mathbb{R})\) est notée \({}^t\!A\);
on note \(\mathrm{I}_p\) la matrice identité de \(\mathcal{M}_{p}(\mathbb{R})\) et pour toute matrice \(A\), même nulle, de \(\mathcal{M}_{p}(\mathbb{R})\), on pose par convention : \(A^{0}=\mathrm{I}_p\);
la matrice inverse d’une matrice inversible \(A\) de \(\mathcal{M}_{p}(\mathbb{R})\) est notée \(A^{-1}\).
Soit \(\left(M_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) une suite de matrices de \(\mathcal{M}_{p, q}(\mathbb{R})\). On pose pour tout \(n \in \mathbb{N}: M_{n}=\left(m_{i, j}(n)\right)_{\substack{1 \leqslant j \leqslant p \\ 1 \leqslant j \leqslant q}}\)
On dit que la suite \(\left(M_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) converge vers la matrice \(M=\left(m_{i, j}\right)_{\substack{1 \leqslant i \leqslant p \\ 1 \leqslant j \leqslant q}}\) de \(\mathcal{M}_{p, q}(\mathbb{R})\), si pour tout couple \((i, j) \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,p} \right]\kern-0.15em\right] \times \left[\kern-0.15em\left[ {1,q} \right]\kern-0.15em\right]\), on a : \(\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} m_{i, j}(n)=m_{i, j}\). On note alors : \(M=\lim\limits _{n \rightarrow+\infty} M_{n}\).
On admet sans démonstration que si \(\left(A_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) et \(\left(B_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) sont deux suites de matrices de \(\mathcal{M}_{p, q}(\mathbb{R})\) qui convergent respectivement vers les matrices \(A\) et \(B\), et si \(\left(C_{n}\right)_{n \in \mathrm{N}}\) est une suite de matrices de \(\mathcal{M}_{q, s}(\mathbb{R})(s \geqslant 1)\) qui converge vers \(C \in \mathcal{M}_{q, s}(\mathbb{R})\), alors la suite \(\left(A_{n}+B_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) converge vers \(A+B\), la suite \(\left(A_{n} C_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) converge vers \(A C\), et pour tout réel \(\alpha\), la suite \(\left(\alpha A_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) converge vers \(\alpha A\).
Le problème étudie quelques aspects mathématiques du contrôle de systèmes linéaires.
Pour toute matrice \(A\) de \(\mathcal{M}_{p}(\mathbb{R})\), on pose pour tout \(x\) réel et pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \[T_{A, n}(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k !}(x A)^{k}\]
Exemple. Dans cette question, \(A =\left(a_{i, j}\right)_{1 \leqslant i, j \leqslant p}\) est la matrice de \(\mathcal{M}_{p}(\mathbb{R})\) définie par : \[\forall(i, j) \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,p} \right]\kern-0.15em\right]^{2}, a_{i, j}=1\]
Justifier que la matrice \(A\) est diagonalisable.
Soit \(V\) la matrice-colonne de \(\mathcal{M}_{p, 1}(\mathbb{R})\) dont tous les coefficients sont égaux à 1.
Calculer le produit \(A V\) et en déduire une valeur propre de \(A\).
Montrer que 0 est une valeur propre de \(A\) et trouver la dimension du sous-espace propre associé.
Exprimer \(A^{2}\) en fonction de \(A\).
Montrer que pour tout \(x\) réel et pour tout \(n \in \mathbb{N}, T_{A, n}(x)\) appartient à \(\operatorname{Vect}\left(\mathrm{I}_p, A\right)\).
En déduire que pour tout \(x\) réel, la suite de matrices \(\left(T_{A, n}(x)\right)_{n \in \mathbb{N}}\) de \(M_{p}(\mathbb{R})\) converge vers la matrice \(T_{A}(x)\) de \(\mathcal{M}_{p}(\mathbb{R})\) définie par : \[T_{A}(x)=\mathrm{I}_p+\frac{\mathrm{e}^{p x}-1}{p} A\]
Calculer \(T_{A}(0)\). Exprimer pour tout couple \((x, y) \in \mathbb{R}^{2}\), le produit \(T_{A}(x) \, T_{A}(y)\) en fonction de \(T_{A}(x+y)\).
En déduire que pour tout \(x\) réel, la matrice \(T_{A}(x)\) est inversible et déterminer son inverse.
Soit \(A=\left(a_{i, j}\right)_{1 \leqslant i, j \leqslant p}\) une matrice de \(M_{p}(\mathbb{R})\).
On pose pour tout \(k \in \mathbb{N}: A^{k}=\left(a_{i, j}^{(k)}\right)_{1 \leqslant i, j \leqslant p}\) et \(\mu_{k}=\max\limits _{(i, j) \in\left[1,\left.p\right|^{2}\right.}\left|a_{i, j}^{(k)}\right|\).
À l’aide de l’identité \(A^{k+1}=A A^{k}\), montrer que pour tout \(k \in \mathbb{N}\), on a \(: \mu_{k+1} \leqslant p^{k} \mu_{1}^{k+1}\).
En déduire que pour tout \(x\) réel, la série \(\displaystyle \sum \limits_{k \geqslant 0} \frac{\mu_{k}}{k !} x^{k}\) est convergente.
Montrer que pour tout réel \(x\) et pour tout \((i, j) \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,p} \right]\kern-0.15em\right]^{2}\), la série \(\displaystyle \sum_{k \geqslant 0} \frac{a_{i, j}^{(k)}}{k !} x^{k}\) est convergente.
Montrer que pour tout \(x\) réel, la suite \(\left(T_{A, n}(x)\right)_{n \in N}\) de \(\mathcal{M}_{p}(\mathbb{R})\) converge vers une matrice \(T_{A}(x)\) de \(M_{p}(\mathbb{R})\).
Que vaut \(T_{A}(x)\) lorsque \(p=1\) et que l’unique coefficient de \(A\) est un réel \(a\) ?
Soit \(D\) une matrice diagonale de \(\mathcal{M}_{p}(\mathbb{R})\).
Vérifier que pour tout \(x\) réel et pour tout \(n \in \mathbb{N}\), la matrice \(T_{D, n}(x)\) est diagonale.
En déduire que pour tout \(x\) réel, la matrice \(T_{D}(x)\) est diagonale et donner l’expression de ses coefficients diagonaux en fonction de ceux de \(D\).
On pose pour tout \(r \in \mathbb{N}^{*}\) : \[D_{r}=r\left[ T_{D} \! \left(\frac{1}{r}\right)-\mathrm{I}_p\right]\] Montrer que la suite \(\left(D_{r}\right)_{T \in N^{*}}\) converge vers \(D\).
Soit \(A\) une matrice de \(M_{p}(\mathbb{R}), P\) une matrice inversible de \(\mathcal{M}_{p}(\mathbb{R})\) et \(A^{\prime}=P^{-1} A P\).
Établir pour tout \(x\) réel, l’égalité : \(T_{A^{\prime}}(x)=P^{-1} \, T_{A}(x) \, P\).
On suppose que \(A\) est diagonalisable. Montrer que : \[\forall n \in \mathbb{N}, \lim _{r \rightarrow+\infty} r^{n+1}\left[ T_{A} \! \left(\frac{1}{r}\right)-T_{A, n} \! \left(\frac{1}{r}\right)\right]=\frac{1}{(n+1) !} \, A^{n+1} \tag{1}\]
On pourra traiter dans un premier temps le cas où \(A\) est diagonale.
On admet dans la suite du problème que la relation (1) reste valable pour toute matrice \(A\) de \(\mathcal{M}_{p}(\mathbb{R})\).
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(p\), \(\mathcal{L}(E)\) l’espace vectoriel des endomorphismes de \(E\) et \(\varphi\) un élément de \(\mathcal{L}(E)\). On note \(\mathrm{id}_E\) l’endomorphisme identité de \(E\).
Dans cette question uniquement, on suppose qu’il existe une base \(\mathcal{B}=(v_1,\dots,v_p)\) de \(E\) telle que pour tout \(k \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,p} \right]\kern-0.15em\right], \varphi\left(v_{k}\right) \in \operatorname{Vect}\left(v_{1}, \ldots, v_{k}\right)\).
On note \(M=\left(m_{i, j}\right)_{1 \leqslant i, j \leqslant p}\) la matrice de \(\varphi\) dans la base \(\mathcal{B}\) et on note, pour tout \(k \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,p} \right]\kern-0.15em\right]\), \(F_k\) le sous-espace vectoriel de \(E\) engendré par \((v_1,\dots,v_k)\). On définit alors le polynôme \(P\) par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ P(x) = \prod_{k=1}^{p}\left(x-m_{k, k}\right)\]
Montrer que pour tout \(k \in \left[\kern-0.15em\left[ {2,p} \right]\kern-0.15em\right]\), on a : \(\left(\varphi-m_{k, k} \, \mathrm{id}_{E}\right)\left(F_{k}\right) \subset F_{k-1}\).
En déduire que le polynôme \(P\) de \(\mathbb{R}[x]\) est un polynôme annulateur de la matrice \(M\). Ainsi \(M\) admet-elle un pôlynôme annulateur de degré \(p\).
Dans la suite, on admettra que toute matrice de \(\mathcal{M}_p(\mathbb{R})\) admet un polynôme annulateur de degré \(p\).
Soit \(A\) une matrice de \(\mathcal{M}_{p}(\mathbb{R})\) et \(B\) une matrice-colonne de \(\mathcal{M}_{p, 1}(\mathbb{R})\).
Pour tout \(q \in \mathbb{N}^{*}\), on note \(\mathcal{G}_{q}\) le sous-espace vectoriel de \(\mathcal{M}_{p, 1}(\mathbb{R})\) engendré par les vecteurs \(B, A B,\) \(A^{2} B, \ldots, A^{q-1} B\) et \(K_{q}\) la matrice de \(\mathcal{M}_{p, q}(\mathbb{R})\) dont les colonnes successives sont \(B, A B, A^{2} B, \ldots\), \(A^{q-1} B\).
La matrice \(K_{q}\) est appelée matrice de Kalman d’ordre q associée au couple \((A, B)\).
Montrer que pour tout entier \(q>p\), on a: \(\mathcal{G}_{q}=\mathcal{G}_{p}\).
Justifier l’existence d’un sous-espace vectoriel \(\mathcal{S}\) de \(\mathcal{M}_{p, 1}(\mathbb{R})\) vérifiant la propriété suivante : pour qu’une matrice \(G\) de \(\mathcal{M}_{p, 1}(\mathbb{R})\) appartienne à \(\mathcal{G}_{p}\), il faut et il suffit que pour tout élément \(S\) de \(\mathcal{S}\), on ait : \({}^t\!\, S G=0\).
En déduire que si me suite \(\left(G_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) de matrices de \(\mathcal{G}_{p}\) est convergente, sa limite \(G\) appartient à \(\mathcal{G}_{p}\).
A l’aide des résultats précédents, montrer que pour tout \(x\) réel, la matrice-colonne \(T_{A}(x) B\) appartient à \(\mathcal{G}_{p}\), où \(T_{A}(x)\) a été définie dans la question 2.d.
On conserve dans cette partie les définitions et notations de la question 6. Dans les questions 8, 9 et 10, on note \(p\) un entier supérieur ou égal à 2. Les questions 9 et 10 sont indépendantes des questions 8 et 9.
On note \(\mathcal{C}^0\) l’espace vectoriel des fonctions continues sur \([0,1]\) et à valeurs dans \(\mathbb{R}\).
Exemple \(: p=1\). Soit \((a, b)\) un couple de réels.
Soit \(u \in \mathcal{C}^{0}\). On cherche une fonction \(f\) définie et dérivable sur \([0,1]\), de dérivée \(f^{\prime}\), vérifiant \(f(0)=0\) et telle que pour tout \(t \in[0,1], f^{\prime}(t)=a f(t)+b \, u(t)\).
Calculer la dérivée de la fonction \(h: t \mapsto h(t)=f(t) e^{-a t}\), et en déduire que \(f\) est donnée par: \[\forall t \in[0,1], \ f(t)=b \int_{0}^{t} u(x) \, \mathrm{e}^{a(t-x)} \, \mathrm{d} x \tag{2}\]
On dit que le couple \((a, b)\) est contrôlable, si pour tout réel \(y\) (appelé cible), il existe une fonction \(u \in \mathcal{C}^{0}\) (appelée contrôle) telle que toute fonction \(f\) définie et dérivable sur \([0,1]\) vérifiant \(f(0)=0\) et \(f^{\prime}(t)=a f(t)+b \, u(t)\) pour tout \(t \in[0,1]\), atteint la cible en 1 , c’est-à-dire vérifie \(f(1)=y\).
Donner l’expression de la fonction \(f\) définie par (2) lorsque la fonction \(u\) est constante sur \([0,1]\). En déduire que le couple \((a, b)\) est contrôlable si et seulement si \(b \neq 0\).
Pour tout \(x \in[0,1]\), on pose : \(W(x)=T_{A}(1-x) \, B \in \mathcal{M}_{p, 1}(\mathbb{R})\) et \(W(x)=\left(W_{k}(x)\right)_{1 \leqslant k \leqslant p}\), où pour tout \(k \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,p} \right]\kern-0.15em\right]\), \(W_{k}(x)\) est le coefficient de la \(k\)-ième ligne de \(W(x)\).
On admet que pour tout \(k \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,p} \right]\kern-0.15em\right]\), la fonction \(x \mapsto W_{k}(x)\) appartient à \(\mathcal{C}^{0}\) et on définit alors, pour toute fonction \(u \in \mathcal{C}^{0}\), la matrice-colonne \(\displaystyle \int_{0}^{1} u(x) W(x) \, \mathrm{d} x\) de \(\mathcal{M}_{p, 1}(\mathbb{R})\) par : \[\int_{0}^{1} u(x) \, W(x) \, \mathrm{d} x=\left(\int_{0}^{1} u(x) \, W_{k}(x) \, \mathrm{d} x\right)_{1 \leqslant k \leqslant p}\]
Par analogie avec la question 11.b, on dit que le couple \((A, B)\) est contrôlable, si pour toute matrice-colonne \(Y \in \mathcal{M}_{p, 1}(\mathbb{R})\) (cible), il existe une fonction \(u \in \mathcal{C}^{0}\) (contrôle) vérifiant l’égalité : \(\displaystyle \int_{0}^{1} u(x) \, W(x) \, \mathrm{d} x=Y\).
Soit \(u \in \mathcal{C}^{0}\). Justifier que pour tout \(x \in[0,1]\), \(u(x)\, W(x)\) appartient à \(\mathcal{G}_{p}\).
En déduire que \(\displaystyle \int_{0}^{1} \, u(x) \, W(x) \, \mathrm{d} x\) appartient à \(\mathcal{G}_{p}\).
Soit \(Z\) un élément non nul de \(\mathcal{M}_{p, 1}(\mathbb{R})\) tel que pour toute fonction \(u \in \mathcal{C}^{0}\), on ait : \[\int_{0}^{1} u(x)^{t} \, Z W(x) \, \mathrm{d} x=0\]
Montrer que pour tout \(x \in[0,1]\), on a : \({}^t\!\, Z W(x)=0\).
En déduire, à l’aide de la relation (1), que pour tout \(k \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,p} \right]\kern-0.15em\right]\), on a : \(Z A^{k-1} B=0\).
Déduire des résultats précédents que le couple \((A, B)\) est contrôlable, si et seulement si la matrice de Kalman \(K_{p}\) est inversible.
Dans les questions 9 et 10, on suppose que \(K_{p}\) est inversible et on cherche à optimiser le contrôle \(s\) d’un système linéaire discret en minimisant une fonction de coût quadratique \(J\).
Soit \(q\) un entier vérifiant \(q \geqslant p\). Pour tout \(q\)-uplet \(s=\left(s_{1}, s_{2}, \ldots, s_{q}\right)\) de \(\mathbb{R}^{q}\), appelé contrôle discret, on définit la suite finie \(\left(X_{s, k}\right)_{0 \leqslant k \leqslant q} \operatorname{de} \mathcal{M}_{p, 1}(\mathbb{R})\) par : \[\begin{cases} X_{s, 0}=0 \text { (matrice-colonne nulle} \\ \forall k \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,q} \right]\kern-0.15em\right],\ X_{s, k}=A X_{s, k-1}+s_{k} B \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]
Calculer \(X_{s, q}\) et trouver une matrice-colonne \(C_{s} \in \mathcal{M}_{q, 1}(\mathbb{R})\) telle que : \(X_{s, q}=K_{q} C_{s}\).
Établir pour toute matrice-colonne \(Y \in \mathcal{M}_{p, 1}(\mathbb{R})\) (cible), l’existence d’un contrôle discret \(s\) tel que \(X_{s, q}=Y\).
On cherche ici à déterminer un contrôle discret optimal permettant d’atteindre une cible \(Y\) appartenant à \(\mathcal{M}_{p, 1}(\mathbb{R})\). Soit \(J\) la fonction de \(\mathbb{R}^{q}\) dans \(\mathbb{R}\) définie par : \(\displaystyle J(s)=\sum_{k=1}^{q} s_{k}^{2}\).
On admet sans démonstration que la matrice \(K_{q} \, {}^t\!K_q\) est inversible.
Montrer que le problème de minimisation de \(J\) sous la contrainte \(X_{s, q}=Y\) admet un unique point critique \(s^{*}\) donné par : \(C_{s^{*}}={}^t\!K_{q}\left(K_{q} \, {}^t\!K_{q}\right)^{-1} Y\).
Montrer que \(s^{*}\) réalise un minimum global de \(J\) sous la contrainte \(X_{s, q}=Y\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
