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On note \(I\) la matrice identité de \(\mathcal{M}_{3}\left(\mathbb{R}\right)\) et \(\textrm{Id}\) l’endomorphisme identité de \(\mathbb{R}^{3}\) .
Pour tout endomorphisme \(g\) de \(\mathbb{R}^{3}\) on pose \(g^{0}=\textrm{Id}\) et, pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}^{*}\), \(g^{k}=g\circ g^{k-1}\) .
Soit \(m\) un réel donné strictement positif et \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\) dont la matrice \(M\) dans la base canonique de \(\mathbb{R}^{3}\) est donnée par : \[M= \begin{pmatrix} 0 & 1/m & 1/m^{2}\\ m & 0 & 1/m\\ m^{2} & m & 0 \end{pmatrix}\]
Déterminer le noyau \(\mathrm{Ker}(f)\) et l’image \(\mathrm{Im}(f)\) de l’endomorphisme \(f.\)
La matrice \(M\) est-elle inversible?
Montrer que la matrice \(M^{2}\) est une combinaison linéaire de \(I\) et de \(M\).
Déterminer un polynôme annulateur non nul de la matrice \(M\).
Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(M\). La matrice \(M\) est-elle diagonalisable?
À l’aide des résultats de la question 2c, indiquer une méthode, sans faire les calculs, qui permettrait d’obtenir pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), l’expression de \(M^{n}\) en fonction de \(n\) .
On pose: \[p=\dfrac{1}{3}\left(f+\textrm{Id}\right) \quad\text{et}\quad q=-\dfrac{1}{3}\left(f-2\textrm{Id}\right)\]
Calculer \(p\circ q\) et \(q\circ p\), puis pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(p^{n}\) et \(q^{n}\).
En déduire pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), une expression de \(f^{n}\) en fonction de \(p\) et \(q\).
Déterminer deux suites réelles telles que \[\forall n \in \mathbb{N},\ M^{n}=a_{n}I+b_{n}M\]
La formule précédente reste-t-elle valable si \(n\) appartient à \(\mathbb{Z}\)?
Toutes les variables aléatoires envisagées dans ce problème sont supposées définies sur un même espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\). Si \(U\) est une variable aléatoire, on note, sous réserve d’existence, \(\mathbb{E}(U)\) et \(\mathbb{V}(U)\) respectivement l’espérance mathématique et la variance d’une variable aléatoire \(U\).
Pour \(p\) entier supérieur ou égal à 2, on dit que les variables aléatoires à densité \(U_{1}, \ldots,U_{p}\) sont indépendantes si pour tout \(p\)-uplet \(\left(u_{1},\ldots,u_{p}\right)\) de réels, les événements \(\left[U_{1}\leqslant u_{1}\right],\ldots,\left[U_{p}\leqslant u_{p}\right]\) sont indépendants, c’est-à-dire si : \[\forall (u_i)_{1\leqslant i \leqslant p} \in\mathbb{R}^p,\ \mathbb{P}\! \left( \bigcap_{i=1}^p [U_i \leqslant u_i ] \right) = \prod_{i=1}^p \mathbb{P}( U_i \leqslant u_i)\]
L’objet du problème est l’étude de quelques propriétés d’une loi de probabilité utilisée notamment en fiabilité. Dans tout le problème, \(\lambda\) et \(\alpha\) désignent deux réels strictement positifs.
Les parties I et II sont largement indépendantes. La partie III est indépendante des parties I et II.
On considère la fonction \(f_{\lambda}\) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\) définie par : \[f_{\lambda}\left(x\right)= \begin{cases} \dfrac{\lambda}{2\sqrt{x}} \, \mathrm{e}^{-\lambda\sqrt{x}} & \textrm{si} x>0\\ \\ \hspace{1cm} 0 & \textrm{si } x\leqslant 0 \end{cases}\]
Montrer que la fonction \(f_{\lambda}\) est de classe \(\mathcal C^{2}\) sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) .
Dresser le tableau de variation de \(f_{\lambda}\) sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) et préciser les limites de \(f_\lambda\) en \(0\) à droite et en \({+\infty}\).
Prouver que la fonction \(f_{\lambda}\) est convexe sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\).
Tracer l’allure de la courbe représentative de \(f_{\lambda}\) dans le plan rapporté à un repère orthogonal.
Vérifier que la fonction \(x\mapsto-\mathrm{e}^{-\lambda\sqrt{x}}\) est une primitive de \(f_{\lambda}\) sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\).
Établir la convergence de l’intégrale \({\displaystyle \int_{0}^{+\infty}f_{\lambda} (x) \, \mathrm{d}x}\) et calculer sa valeur.
En déduire que la fonction \(f_{\lambda}\) est une densité de probabilité sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\).
Soit \(X\) une variable aléatoire à valeurs strictement positives, admettant \(f_{\lambda}\) pour densité. On note \(F_{\lambda}\) la fonction de répartition de \(X\) et on pose \(Y=\lambda\sqrt{X}\). On admet que \(Y\) est une variable aléatoire.
Calculer, pour tout \(x\) réel, \(F_{\lambda}\left(x\right)\).
Montrer que \(Y\) suit la loi exponentielle de paramètre 1.
Établir, pour tout \(r\) de \(\mathbb{N}^{*}\), l’existence de \(E\left(Y^{r}\right)\).
Montrer que, pour tout \(r\) de \(\mathbb{N}^{*}\), on a : \[\mathbb{E}\left(Y^{r+1}\right) = \left(r+1\right) \mathbb{E}\left(Y^{r}\right)\]
En déduire pour tout \(r\) de \(\mathbb{N}^{*}\), la valeur de \(\mathbb{E}\left(Y^{r}\right)\) et de \(\mathbb{E}\left(X^{r}\right)\). Préciser en particulier, les valeurs respectives de \(\mathbb{E}(X)\) et \(\mathbb{V}(X)\).
Soit \(\left(X_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}^{*}}\) une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes et toutes de même loi que \(X\). On considère deux suites \(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}^{*}}\) et \(\left(b{}_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}^{*}}\) de réels strictement positifs vérifiant : \[\lim\limits_{n\to+\infty}n^2 a_n = 1 \quad\text{et}\quad\lim\limits_{n\to+\infty}n^2 b_n = 0\]
On pose : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ M_{n}={\displaystyle \min_{1\leqslant k\leqslant n}\left(X_{k}\right)} \quad\text{et}\quad J_{n}=\dfrac{M_{n}-b_{n}}{a_{n}}\]
On admet que \(M_{n}\) et \(J_{n}\) sont des variables aléatoires à densité.
Pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), déterminer la fonction de répartition de \(M_n\).
Montrer que la suite \(\left(J_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}^{*}}\) converge en loi vers une variable aléatoire dont on précisera la loi.
On admet que, si \(A\) et \(B\) sont des variables aléatoires à densité indépendantes, de densités respectives \(f_A\) et \(f_B\) et telles que \(f_A\) ou \(f_B\) soit bornée, alors \(A+B\) est une variable aléatoire à densité, admettant pour densité la fonction \(f_{A+B}\) définie par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ f_{A+B}(x) = \int_{-\infty}^{+\infty}f_A(x) f_B(x-t)\,\mathrm{d}t\]
On considère une suite \((X_n)_{n\in\mathbb{N}^\ast}\) de variables aléatoires mutuellement indépendantes, toutes de même loi que la variable aléatoire \(X\) étudiée dans la partie \(I\) et on pose : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ Y_n = \lambda \sqrt{X_n} \quad\text{et}\quad S_n = \sum_{k=1}^n Y_k\]
Pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), on note enfin \(g_n\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ g_{n}\left(x\right)= \begin{cases} \dfrac{1}{\left(n-1\right)!} \,x^{n-1}\mathrm{e}^{-x} & \textrm{si } x>0\\ \hspace{1.3cm} 0 & \textrm{si } x\leqslant 0 \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]
En utilisant le résultat admis, montrer que \(g_2\) est une densité de \(S_2\).
À l’aide d’un raisonnement par récurrence, montrer que pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), \(g_n\) est une densité de \(S_n\).
On admet que pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\), \(\dfrac{1}{S_{n}}\) est une variable aléatoire à densité. Pour quelles valeurs de \(n\) l’espérance \(\mathbb{E}\! \left(\dfrac{1}{S_{n}}\right)\) et la variance \(\mathbb{V}\!\left(\dfrac{1}{S_{n}}\right)\) existent-elles? Calculer, le cas échéant, leurs valeurs respectives.
On suppose que le paramètre \(\lambda\) est inconnu et on cherche à l’estimer à l’aide de \((X_1,\dots,_n)\). On note pour cela \(\left(x_{1},\dots, x_{n}\right)\) un \(n\)-uplet de \(\left(\mathbb{R}_{+}^{*}\right)^{n}\) constituant une réalisation du \(n\)-échantillon \(\left(X_{1}, \dots,X_{n}\right)\) et on considère la fonction \(H\) définie sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) par : \[\forall \lambda \in\mathbb{R}_+^\ast,\ H(\lambda) = \ln \!\left({\displaystyle \prod_{k=1}^{n}f_{\lambda}\left(x_{k}\right)}\right)\]
Montrer que la fonction \(H\) admet un maximum atteint en un unique point \(\lambda_{0}\) que l’on déterminera.
Pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à \(3\), on pose : \[\lambda_{n}^{*}=\dfrac{n}{{\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\sqrt{X_{k}}}}\]
Que représente \(\lambda_{0}\) pour \(\lambda_{n}^{*}\)?
Construire à partir de \(\lambda_{n}^{*}\) un estimateur \(\widehat{\lambda}_{n}\) de \(\lambda\) dont l’espérance soit égale à \(\lambda\).
Calculer la variance \(\mathbb{V}(\widehat{\lambda}_{n} )\) de \(\hat{\lambda}_{n}\).
Calculer \({\displaystyle \lim_{n\rightarrow+\infty}\mathbb{V}(\widehat{\lambda}_{n} )}\). Commenter le résultat obtenu.
Dans cette partie, on considère la fonction \(f_{\left(\lambda,\alpha\right)}\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ f_{\left(\lambda,\alpha\right)}\left(x\right)= \begin{cases} \lambda\alpha \, x^{\alpha-1}\mathrm{e}^{-\lambda x^{\alpha}} & \textrm{si } x>0\\ \hspace{1cm} 0 & \textrm{si } x\leqslant 0 \end{cases}\]
Montrer que \(f_{\left(\lambda,\alpha\right)}\) est une densité de probabilité sur \(\mathbb{R}\).
Dans la suite, on considère une variable aléatoire \(W\), à valeurs strictement positives, admettant \(f_{\left(\lambda,\alpha\right)}\) pour densité. On dit que \(W\) suit la loi \(\mathcal{WB}\left(\lambda,\alpha\right)\) .
On note \(F_{\left(\lambda,\alpha\right)}\) la fonction de répartition de \(W\). Calculer, pour tout \(x\) réel, \(F_{\left(\lambda,\alpha\right)} (x)\).
Prouver que \(F_{\left(\lambda,\alpha\right)}\) induit une bijection \(G_{\left(\lambda,\alpha\right)}\) de \(\mathbb{R}^+\) sur \([0,1[\) et déterminer sa réciproque \(G^{-1}_{\left(\lambda,\alpha\right)}\).
Soit \(U\) une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur \([0,1[\). Déterminer la loi de \(G_{\left(\lambda,\alpha\right)}^{-1}(U)\).
Utiliser le résultat précédent pour écrire une fonction d’en-tête
def W(lambda,alpha) en langage
Python renvoyant une simulation de \(W\).
Soit \(K\) une variable aléatoire admettant une densité \(f_{K}\) nulle sur \(\mathbb{R}_{-}\), continue sur \(\mathbb{R}\), de classe \(\mathcal C^{1}\) sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) et strictement positive sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\). On note \(F_{K}\) la fonction de répartition de \(K\) et on pose : \[\forall x\in\mathbb{R},\ R(x) =-\ln\!\left(1-F_{K} (x) \right) \quad\text{et}\quad r(x) =R'(x)\]
On suppose dans cette question que \(K\) suit la loi \(\mathcal{WB}\left(\lambda,2\right)\) avec \(\lambda>0\). Établir les propriétés suivantes :
La fonction \(r\) est continue et strictement croissante sur \(\mathbb{R}_{+}\), et \(r\left(0\right)=0\).
La variable aléatoire \(r(K)\) suit la loi \(\mathcal{WB} \! \left(\dfrac{1}{4\lambda},2\right)\).
Jusqu’à la fin du problème, l’entier \(n\) est supérieur ou égal à 2 et on note \(w_{1},\dots,w_{n}\) des réels strictement positifs et non tous égaux. Soit \(\varphi\) la fonction de \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) dans \(\mathbb{R}\) définie par : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \varphi\left(x\right)=\dfrac{{\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(w_{k}\right)^{x}\ln\left(w_{k}\right)}}{{\displaystyle \sum_{k=1}^{n}}\left(w_{k}\right)^{x}}-\dfrac{1}{x}\]
Soit \(y_{1},\ldots,y_{n}\)des réels non tous nuls et \(z_{1}, \ldots, z_{n}\) des réels quelconques. En étudiant la fonction polynomiale du second degré \(Q\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(Q(t)={\displaystyle \sum_{k=1}^{n}}\left(z_{k}-ty_{k}\right)^{2}\), établir : \[\left({\displaystyle \sum_{k=1}^{n}}y_{k}z_{k}\right)^{2} \leqslant {\displaystyle \left(\sum_{k=1}^{n}y_{k}^{2}\right) \! \! {\displaystyle \left(\sum_{k=1}^{n}z_{k}^{2}\right)}}\]
Montrer que la fonction \(\varphi\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\).
On note \(n_{0}\) le nombre d’entiers \(k_{0}\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\) vérifiant \(w_{k_{0}}={\displaystyle \max_{1\leqslant k\leqslant n}\left(w_{k}\right)}\). Montrer que \(1\leqslant n_{0}\leqslant n-1\).
Donner, en fonction de \(n_{0}\) et \(w_{k_{0}}\), un équivalent de \({\displaystyle \sum_{k=1}^{n}} \left(w_{k}\right)^{x}\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\).
Calculer en fonction de \(w_{k_{0}}\), la limite de \(\varphi (x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\) (on distinguera les deux cas \(w_{k_{0}}=1\) et \(w_{k_{0}}\neq1\)).
En déduire que, sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\), l’équation \(\displaystyle \varphi\left(x\right)=\dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \ln \!\left(w_{k}\right)\) admet une unique solution.
On suppose que les paramètres \(\lambda\) et \(\alpha\) sont inconnus et on note \(\left(W_{1}, \ldots, W_{n}\right)\) un \(n\)-échantillon de variables aléatoires à valeurs strictement positives, indépendantes et de même loi \(\mathcal{WB}\left(\lambda, \alpha\right)\) dont une réalisation est le \(n\)-uplet \(\left(w_{1},\ldots,w_{n}\right)\).
Soit \(G\) la fonction de \(\left(\mathbb{R}_{+}^{*}\right)^{2}\) dans \(\mathbb{R}\) définie par : \[G\left(\lambda,\alpha\right)=\ln \! \left({\displaystyle \prod_{k=1}^{n}f_{\left(\lambda;\alpha\right)}\left(w_{k}\right)}\right)\]
Montrer que la fonction \(G\) admet un unique point critique \((\widehat{\lambda}, \widehat{\alpha} )\) sur \(\left(\mathbb{R}_{+}^{*}\right)^{2}\).
Montrer que la fonction \(G\) admet un maximum local au point \((\widehat{\lambda}, \widehat{\alpha} )\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
