On considère la suite \(\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par \(x_0 \in \left] 0,1 \right[\), et pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(x_{n+1}=x_{n}-x_{n}^{2}\).
Dresser le tableau de variation de la fonction \(f\) à valeurs dans \(\mathbb{R}\), définie sur \([0,1]\) par \(: f(x)=x-x^{2}\).
Montrer que la suite \(\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) est monotone et convergente.
Déterminer la limite de la suite \(\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\).
Établir pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), l’encadrement : \(\displaystyle 0<x_{n} \leqslant \frac{1}{n+1}\).
Retrouver ainsi la limite de la suite \(\left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\).
Soit \(\left(v_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) la suite définie par : pour tout \(n \in \mathbb{N}, \ v_{n}=n x_{n}\).
Montrer que la suite \(\left(v_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) est croissante.
En déduire que la suite \(\left(v_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) converge vers un réel \(\ell\), que l’on ne demande pas de calculer.
Montrer que : \(0<\ell \leqslant 1\).
On considère la suite \(\left(w_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par : pour tout \(n \in \mathbb{N}, \ w_{n}=n\left(v_{n+1}-v_{n}\right)\).
Montrer que la série de terme général \(\displaystyle \frac{w_{n}}{n}\) est convergente.
Exprimer pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(w_{n}\) en fonction de \(x_{n}\) et \(v_{n}\).
En déduire que la suite \(\left(w_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) converge vers \(\ell \left( 1-\ell \right)\).
À l’aide d’un raisonnement par l’absurde, montrer que \(\ell=1\).
Donner un équivalent simple de \(x_{n}\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\).
Soit \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) une suite de réels strictement positifs telle que la série de terme général \(u_{n}\) soit divergente, et soit \(\left(y_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) une suite réelle convergente. On pose : \(\displaystyle L=\lim _{n \rightarrow+\infty} y_{n}\), et pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), \(\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n} u_{k}\).
Établir pour tout entier \(n_{0} \in \mathbb{N}^{*}\) et pour tout entier \(n>n_{0}\), l’inégalité suivante : \[\left|\frac{1}{S_{n}}\left(\sum_{k=1}^{n} u_{k} y_{k}\right)-L\right| \leqslant \frac{1}{S_{n}} \sum_{k=1}^{n_{0}} u_{k}\left|y_{k}-L\right|+\frac{1}{S_{n}} \sum_{k=n_{0}+1}^{n} u_{k}\left|y_{k}-L\right|\]
En déduire que : \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{S_{n}} \sum_{k=1}^{n} u_{k} y_{k}=L\).
Soit \(\left(z_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) et \(\left(t_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) deux suites réelles et \(\gamma\) un réel tels que :
la suite \(\left(z_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) est strictement croissante et tend vers \(+\infty\);
\(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{t_{n+1}-t_{n}}{z_{n+1}-z_{n}}=\gamma\)
On pose pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\) : \(a_{n}=z_{n}-z_{n-1}\) et \(\displaystyle b_{n}=\frac{t_{n}-t_{n-1}}{z_{n}-z_{n-1}}\).
Montrer que la suite \(\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) vérifie les propriétés de la suite \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) de la question 6.
En appliquant le résultat de la question 6 aux suites \(\left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) et \(\left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\), montrer que \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{t_{n}}{z_{n}}=\gamma\).
Établir l’équivalent suivant: \(\displaystyle \frac{n\left(1-n x_{n}\right)}{\ln(n)} \sim \frac{\frac{1}{x_{n}}-n}{\ln(n)}\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).
Montrer que : \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{\left(\frac{1}{x_{n+1}}-\frac{1}{x_{n}}-1\right)}{\ln \! \left(1+\frac{1}{n}\right)}=1\).
En déduire, en utilisant le résultat de la question 7 avec \(t_{n}=\frac{1}{x_{n}}-n\) et \(z_{n}=\ln(n)\), l’existence d’une suite \(\left(\varepsilon_{n}\right)_{n \geqslant 2}\) de limite nulle telle que : \(\displaystyle \frac{n\left(1-n x_{n}\right)}{\ln(n)}=1-\varepsilon_{n}\).
En déduire finalement le développement asymptotique suivant : \(\displaystyle x_{n}=\frac{1}{n}-\frac{\ln(n)}{n^{2}}+\frac{\ln(n)}{n^{2}}\, \varepsilon_{n}\).
Dans tout l’exercice, \(n\) est un entier supérieur ou égal à 2.
Tout vecteur \(X=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)\) de \(\mathbb{R}^{n}\) est identifié à la matrice-colonne \(\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix}\) de ses coordonnées dans la base canonique \(\mathcal{B}=\left(e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}\right)\) de l’espace vectoriel \(\mathbb{R}^{n}\).
On note \(\operatorname{Sp}(K)\) (respectivement \(\mathrm{Sp}(\Phi)\)) l’ensemble des valeurs propres d’une matrice carrée \(K\) (respectivement d’un endomorphisme \(\Phi\) d’un espace vectoriel de dimension finie). On note \({}^t\!M\) la matrice transposée d’une matrice \(M\) et \(I_{n}\) la matrice identité de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\).
Dans tout l’exercice, \(A\) et \(B\) sont deux matrices de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) diagonalisables.
On définit les trois endomorphismes de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\), \(f_{A}\), \(g_{B}\) et \(h_{A, B}\) par : \[\forall M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}), \ f_{A}(M)=A M, \quad g_{B}(M)=M B \quad \text{et} \quad h_{A, B}=f_{A}-g_{B}\]
Soit \(\lambda\) une valeur propre de \(A\) et \(X\) un vecteur de \(\mathbb{R}^{n}\), vecteur propre de \(A\) associé à la valeur propre \(\lambda\). Montrer que \(X \, {}^t\!X\) est un vecteur propre de \(f_{A}\) et donner la valeur propre associée.
Soit \(\theta\) une valeur propre de \(f_{A}\). Montrer que la matrice \(A-\theta I_{n}\) n’est pas inversible.
Déduire de ce qui précède que \(\operatorname{Sp}(f_{A})=\mathrm{Sp}(A)\).
Montrer que \(\operatorname{Sp}(B)=\operatorname{Sp}({}^t\!B)\). En déduire que \(\operatorname{Sp}(g_{B})=\operatorname{Sp}(B)\).
Soit \(\lambda\) une valeur propre de \(A\) et \(X\) un vecteur propre associé, \(\mu\) une valeur propre de \({}^t\!B\) et \(Y\) un vecteur propre associé.
Montrer que \(X \,{}^t\!\, Y\) est un vecteur propre de \(h_{A, B}\) et donner la valeur propre associée.
Soit \(\beta\) une valeur propre de \(h_{A, B}\) et \(M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) un vecteur propre associé.
Montrer, en utilisant le fait que \(B\) est diagonalisable, qu’il existe un vecteur propre \(V\) de \(B\) associé à une valeur propre \(\mu\), tel que \(M V \neq 0\).
En déduire qu’il existe un scalaire \(\lambda \in \mathrm{Sp}(A)\) tel que \(\beta=\lambda-\mu\).
Déduire de ce qui précède que \(\mathrm{Sp}\left(h_{A, B}\right)=\{\lambda-\mu, \ \lambda \in \mathrm{Sp}(A), \mu \in \mathrm{Sp}(B)\}\).
Démontrer l’équivalence suivante : \(\mathrm{Sp}(A) \cap \mathrm{Sp}(B)=\varnothing\Leftrightarrow h_{A, B}\) est bijective.
Soit \(\left(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\right)\) une base de \(\mathbb{R}^{n}\) et \(V\) un vecteur de \(\mathbb{R}^{n}\).
On note pour tout \(j \in \mathbb{} \rrbracket, n \rrbracket\), \(X_{j} = \begin{pmatrix} p_{1, j} \\ p_{2, j} \\ \vdots \\ p_{n, j} \end{pmatrix}\). On pose : \(P=\left(p_{i, j}\right)_{1 \leqslant i, j \leqslant n} \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) et \(V= \begin{pmatrix} v_{1} \\ v_{2} \\ \vdots \\ v_{n} \end{pmatrix}\).
Déterminer en fonction des réels \(p_{i, j}\) et \(v_{i}\), les éléments \(\left(l_{1}, l_{2}, \ldots, l_{n}\right)\) de la matrice \({}^t\!\, V P\).
En déduire que pour tout \(i \in \left[\!\left[1, n\right]\!\right]\), il existe un unique vecteur \(V_{i}\) de \(\mathbb{R}^{n}\), tel que : \(V_{i} X_{i}=1\), et pour tout \(j \in \left[\!\left[1, n\right]\!\right]\) avec \(j \neq i\), \({}^t\!\, V_{i} X_{j}=0\).
On considère une base \(\left(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\right)\) de \(\mathbb{R}^{n}\) constituée de vecteurs propres de \(A\), et une base \(\left(Y_{1}, Y_{2}, \ldots, Y_{n}\right)\) de \(\mathbb{R}^{n}\) constituée de vecteurs propres de \({}^t\!B\).
On pose, pour tout couple \((i, j) \in \left[\!\left[1, n\right]\!\right]^{2}, M_{i, j}=X_{i} \, {}^t\!\, Y_{j}\).
Montrer que la famille \(\left(M_{i, j}\right)\), où \((i, j) \in \left[\!\left[1, n\right]\!\right]^{2}\), est une base de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) et en déduire que \(h_{A, B}\) est diagonalisable.
Soit \(\left(X_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{\ast}}\) une suite de variables aléatoires définies sur un espace probabilisé \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\), indépendantes, suivant toutes la loi géométrique de paramètre \(p\), ou \(p\) est un réel de \(] 0,1[\). On pose \(: q=1-p\).
Soit \(N\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbb{N}^{*}\), indépendante des variables aléatoires \(X_{n}\) (\(n \in \mathbb{N}^{*}\)).
Pour tout \(\omega \in \Omega\), on pose : \(\displaystyle Y(\omega)=\sum_{i=1}^{N(\omega)} X_{i}(\omega)\), et on admet que \(\displaystyle Y=\sum_{i=1}^{N} X_{i}\) est une variable aléatoire définie \(\operatorname{sur}\) \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\). Pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), on pose : \(\displaystyle S_{n}=\sum_{i=1}^{n} X_{i}\).
On rappelle que pour tout couple d’entiers naturels \((n, k)\), on a : \(\displaystyle \binom nk =\begin{cases} \frac{n !}{k !(n-k) !} & \text { si } k \leqslant n \\ \hfill 0 \hfill & \text { sinon } \displaystyle \end{cases}\). De plus, on pourra utiliser, sans justification, la formule (1) suivante: \[\text { pour tout couple }(r, s) \in \mathbb{N}^{2} \text { avec } r \leqslant s, \ \sum_{j=r}^{s} \binom jk =\binom{s+1}{r+1}\]
Montrer que la loi de \(S_{2}\) est donnée par \(S_{2}(\Omega)= \left[\kern-0.15em\left[ {2,{+\infty}} \right[\kern-0.15em\right[\), et pour tout \(k \geqslant 2\) : \[\mathbb{P}( S_{2}=k )= \left( k-1 \right) p^{2} q^{k-2}\]
Déterminer pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 2, la loi de \(X_{1}\) conditionellement à l’événement \(\left[S_{2}=n\right]\).
Déterminer \(S_{n}(\Omega)\).
En utilisant la formule (1) et à l’aide d’une démonstration par récurrence sur \(n\), montrer que : \[\text { pour tout } k \in S_{n}(\Omega), \ \mathbb{P}( S_{n}=k )= \binom{k-1}{n-1} p^{n} q^{k-n}\]
En utilisant le fait que \(S_{n-1}\) est une variable aléatoire, établir l’égalité : \[\sum_{k=n}^{+\infty} \binom{k-2}{n-2} q^{k-n}=\frac{1}{p^{n-1}}\]
Vérifier que pour tout entier \(n \geqslant 2\) et tout entier \(k \geqslant n\), on a : \[\frac{n-1}{k-1} \binom{ k-1 }{ n-1}= \binom{k-2}{n-2}\]
Soit \(R_{n}\) la variable aléatoire définie par : \(\displaystyle R_{n}=\frac{n-1}{S_{n}-1}\). Montrer que l’espérance de \(R_{n}\) est égale à \(p\).
Déterminer \(Y(\Omega)\).
Pour tout couple \((k, n) \in \mathbb{N}^{*} \times \mathbb{N}^{*}\), montrer que : \[\mathbb{P}([Y=k] \cap[N=n])= \mathbb{P}(S_{n}=k) \times \mathbb{P}( N=n )\]
Donner pour tout couple \((k, n) \in \mathbb{N}^{*} \times \mathbb{N}^{*}\) tel que \(k<n\), la valeur de \(\mathbb{P}([Y=k] \cap[N=n])\).
Déduire des questions précédentes que pour tout \(k \in \mathbb{N}^{*}\) : \[\mathbb{P}( Y=k )=\sum_{n=1}^{k} \mathbb{P}( S_{n}=k) \times \mathbb{P}( N=n )\]
On suppose dans cette question que \(N\) suit la loi géométrique de paramètre \(p\). Montrer que \(Y\) suit la loi géométrique de paramètre \(p^{2}\).
On suppose réciproquement que \(Y\) suit la loi géométrique de paramètre \(p^{2}\).
Montrer que \(\mathbb{P}( N=1 )=p\).
Montrer également que \(\mathbb{P}( N=2)=p q\).
À l’aide d’une démonstration par récurrence, montrer que \(N\) suit la loi géométrique de paramètre \(p\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
