HEC 2007 Maths 1Maths approfondies

Notations et définitions

• Dans tout le problème, \(n\) désigne un entier naturel supérieur ou égal à \(2\).

• On confond \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) et \(\mathbb{R}^n\). On note \((E_{i} )_{1\leqslant i\leqslant n}\) la base canonique de \(\mathbb{R}^n\) et on munit \(\mathbb{R}^n\) de sa structure euclidienne canonique, le produit scalaire étant noté \(\left \langle \cdot , \cdot \right \rangle\) et la norme euclidienne associée est notée \(\left\| \cdot \right\|_2\).

• On note \(\mathcal{S}_n\) le sous-espace vectoriel de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) formé des matrices symétriques, \(\mathcal{S}_n^+\) (respectivement \(\mathcal{S}_n^{++}\)) l’ensemble des matrices de \(\mathcal{S}_n\) dont les valeurs propres sont toutes positives ou nulles (respectivement toutes strictement positives).

• Soit \(E\) un espace vectoriel réel. On appelle norme sur \(E\) toute application \(\nu\) de \(E\) dans \(\mathbb{R}^+\) vérifiant :

  1. \(\nu(x) = 0\) si et seulement si \(x=0\),

  2. pour tout réel \(\lambda\) et pour tout \(x\) de \(E\) : \(\nu(\lambda x) = \left| \lambda \right| \nu(x)\),

  3. pour tout couple \((x,y)\) d’éléments de \(E\) : \(\nu(x+y) \leqslant \nu(x) + \nu(y)\).

• Soit \((A_m)_{m\in\mathbb{N}}\) une suite de matrices de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et \(A\) un élément de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). On note : \[A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j \leqslant n} \quad\text{et}\quad\forall m\in \mathbb{N},\ A_m =(a_{i,j}(m))_{1\leqslant i,j \leqslant n} .\]

  On dit que la suite de matrices \((A_m)_{m\in\mathbb{N}}\) converge vers la matrice \(A\) si : \[\forall (i,j) \in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]^2,\ \lim_{m\to {+\infty}} a_{i,j}(m) = a_{i,j}.\]

  L’unicité de la limite d’une suite réelle assure l’unicité de la limite d’une suite de matrice quand celle-ci existe, donc on notera, dans ce cas : \[\lim_{m\to {+\infty}} A_m = A.\]

• Soit \((A_m)_{m\in\mathbb{N}}\) une suite de matrices de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). On dit que la série de terme général \(A_m\) (que l’on notera \(\displaystyle\sum_{m\geqslant 0} A_m\) converge si la suite \(\left( \displaystyle\sum_{k=0}^m A^k \right)_{m\in\mathbb{N}}\) converge. Dans ce cas, on appelle somme de la série \(\displaystyle\sum_{m\geqslant 0} A_m\) la matrice définie par : \[\sum_{k=0}^{+\infty}A_k = \lim_{m\to {+\infty}} \sum_{k=0}^m A^k.\]

Préliminaire

Pour tout vecteur \(X=(x_i)_{1\leqslant i \leqslant n}\) de \(\mathbb{R}^n\), on note : \[\left|\left| X \right|\right|_\infty = \max(\left| x_1 \right|,\dots,\left| x_n \right|).\]

1. Montrer que l’application \(\left|\left| \cdot \right|\right|_\infty\) ainsi définie est une norme sur \(\mathbb{R}^n\).

2. Prouver que : \[\forall X\in\mathbb{R}^n,\ \left|\left| X \right|\right|_\infty \leqslant \left\| X \right\|_2 \leqslant \sqrt{n} \left|\left| X \right|\right|_\infty.\]

3. En déduire que : \[\forall (X,Y) \in (\mathbb{R}^n)^2,\ \left| \left \langle X, Y \right \rangle \right| \leqslant n \left|\left| X \right|\right|_\infty \cdot \left|\left| Y \right|\right|_\infty.\]

Partie I - Norme sur , convergence de suites de matrices

4. Pour toute matrice \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i ,j\leqslant n}\) de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), on note : \[\left\| A \right\| = \max_{1\leqslant i \leqslant n} \left( \sum_{j=1}^n \left| a_{i,j} \right| \right).\]

   Montrer que l’application \(\left\| \cdot \right\|\) ainsi définie est une norme sur \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).

5. 1. Soit \(A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). Prouver que : \[\forall X\in \mathbb{R}^n,\ \left|\left| AX \right|\right|_\infty \leqslant \left\| A \right\| \cdot \left|\left| X \right|\right|_\infty.\]

   2. Soit \(A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). Montrer qu’il existe un vecteur \(X_0\) de \(\mathbb{R}^n\), non nul et tel que : \(\left|\left| AX_0 \right|\right|_\infty = \left\| A \right\| \cdot \left|\left| X_0 \right|\right|_\infty\). Indication : on pourra noter \(k\) un entier tel que \(\left\| A \right\| = \displaystyle \sum_{j=1}^n \left| a_{k,j} \right|\) puis considérer un vecteur \(X_0\) dont les coefficients soient tous égaux à \(1\) ou \(-1\).

   3. Soit \(A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). En déduire que : \[\left\| A \right\| = \sup_{X\in \mathbb{R}^n, X\neq 0} \frac{\left|\left| AX \right|\right|_\infty}{\left|\left| X \right|\right|_\infty}.\]

   4. Prouver alors que : \[\forall (A,B) \in \left( \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \right)^2,\ \left\| AB \right\| \leqslant \left\| A \right\| \cdot \left\| B \right\|.\]

   5. Démontrer que : \[\forall A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R}),\ \forall k\in\mathbb{N},\ \left\| A^k \right\| \leqslant \left\| A \right\|^k.\]

      On démontrerait plus généralement, et on admettra, que si \(A_1,\dots,A_m\) sont des matrices matrices de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), alors : \[\left\| \prod_{k=1}^m A_k \right\| \leqslant \prod_{k=1}^m \left\| A_k \right\|.\]

6. Soit \((A_m)_{m\in\mathbb{N}}\) et \((B_m)_{m\in\mathbb{N}}\) deux suites de matrices de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et \((A,B)\) un couple d’éléments de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).

   1. Montrer que la suite de matrices \((A_m)_{m\in\mathbb{N}}\) converge vers la matrice \(A\) si et seulement si la suite réelle \(\left( \left\| A_m-A \right\| \right)_{m\in\mathbb{N}}\) converge vers \(0\).

   2. Montrer, si \((A_m)_{m\in\mathbb{N}}\) converge vers \(A\) et si \((B_m)_{m\in\mathbb{N}}\) converge vers \(B\), alors \((A_m+B_m)_{m\in\mathbb{N}}\) converge vers \(A+B\) et \((A_mB_m)_{m\in\mathbb{N}}\) converge vers \(AB\).

7. Soit \(A\) un élément de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) tel que : \(\left\| A \right\| <1\).

   1. Montrer que la suite \((A^m)_{m\in\mathbb{N}}\) converge et déterminer sa limite.

   2. Montrer que, si \(\lambda\) est une valeur propre réelle de \(A\), alors : \(\left| \lambda \right| <1\).

   3. En déduire que les matrices \(I-A\) et \(I+A\) sont inversibles.

   4. Montrer que la série \(\displaystyle\sum_{m\geqslant 0} A^m\) converge et exprimer sa somme en fonction de la matrice \(A\).

Partie II - Exponentielle de matrices

Soit \(A\) une matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). On note : \[\forall m\in\mathbb{N},\ S_m = \sum_{k=0}^m \frac{1}{k!}\,A^k.\]

Si la série de terme général \(\dfrac{1}{m!}\,A^m\) converge (c’est-à-dire si la suite \((S_m)_{m\in\mathbb{N}}\) converge), sa somme est appelée exponentielle de \(A\) et on note : \[\exp(A) = \lim_{m\to {+\infty}} S_m = \sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{k!}\,A^k.\]

8. Un premier exemple. On suppose qu’il existe un entier naturel \(p\) supérieur ou égal à \(2\) tel que : \[A^{p-1} \neq 0 \quad\text{et}\quad A^p = 0.\]

   1. Montrer que la matrice \(\exp(A)\) est bien définie.

   2. Montrer que : \[\{ X\in \mathbb{R}^n \ / \ \left( \exp ( A ) - I \right) X = 0 \} = \{ X\in\mathbb{R}^n \ / \ AX = 0\}.\] Indication : on pourra raisonner par double inclusion et, en supposant que \(X\) est un élément de \(\mathbb{R}^n\) tel que \(\left( \exp ( A ) - I \right) X = 0\), raisonner par l’absurde pour prouver que \(AX=0\).

9. Un deuxième exemple. On suppose que \(A\) est diagonalisable et on considère une matrice \(P\) inversible et une matrice \(D\) diagonale telles que : \(A=PDP^{-1}\). On note, dans cet ordre, \(\lambda_1,\dots,\lambda_n\) les coefficients diagonaux de \(D\).

   1. Montrer que la matrice \(\exp(D)\) est bien définie et exprimer \(\exp(D)\) en fonction de \(\lambda_1,\dots,\lambda_n\).

   2. En déduire que la matrice \(\exp(A)\) est bien définie et exprimer \(\exp(A)\) en fonction de \(P\) et de \(\exp(D)\).

   3. Pour tout réel \(p\), que vaut \(\exp(pI)\) ?

10. On rappelle que \(\left\| \cdot \right\|_2\) désigne la norme euclidienne canonique sur \(\mathbb{R}^n\), c’est-à-dire que, pour tout vecteur \(X=(x_i)_{1\leqslant i \leqslant n}\), on a : \[\left\| X \right\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}.\]

    1. Prouver que la matrice \({}^t\!AA\) appartient à \(\mathcal{S}_n^+\). On note \(\lambda\) la plus grande de ses valeurs propres.

    2. En déduire que : \[\forall X\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}),\ \left\| AX \right\|_2 \leqslant \sqrt{\lambda} \left\| X \right\|_2.\]

    3. Prouver alors que : \[\forall (i,j)\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]^2,\ \forall m\in\mathbb{N},\ \left| \left \langle A^{m}E_j, E_i \right \rangle \right| \leqslant \sqrt {\lambda^{m}} .\]

    4. En déduire que, pour tout \((i,j)\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]^2\), la série de terme général \(\displaystyle\frac{\left \langle A^{m}E_j, E_i \right \rangle}{m!}\) est absolument convergente.

    5. Prouver finalement que la matrice \(\exp(A)\) est bien définie.

11. Un troisième exemple. On pose : \[\forall m\in\mathbb{N},\ A_m = \left( I+ \frac{1}{m}\, A \right)^m.\]

    1. Prouver que : \[\forall m\in\mathbb{N},\ \left\| S_m - A_m \right\| \leqslant \sum_{k=0}^m \left( 1- \frac{m!}{(m-k)!\, m^k} \right) \frac{\left\| A \right\|^k}{k!}.\]

    2. En déduire que la suite \((A_m)_{m\in\mathbb{N}}\) converge vers \(\exp(A)\).

Partie III - Propriétés de l’exponentielle de matrice

12. Soit \(A\) et \(B\) deux matrices de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) telles que : \(AB=BA\). On note : \[\forall m\in\mathbb{N},\ S_m = \sum_{k=0}^m \frac{1}{k!} \left( A+B \right)^k,\quad T_m = \sum_{i=0}^m \frac{1}{i!} \,A^i \quad\text{et}\quad U_m = \sum_{j=0}^m \frac{1}{j!} \,B^j.\]

    1. Prouver que : \[\forall k\in\mathbb{N},\ \frac{1}{k!} \left( A+B \right)^k = \sum_{i=0}^k \frac{1}{i! \left( k- i \right)!}\, A^i B^{k-i}.\]

    2. En déduire que : \[\forall m\in\mathbb{N}^\ast,\ T_mU_m - S_m = \sum_{i=1}^m \left[ \frac{1}{i!}\, A^i \sum_{j=m-i+1}^m \frac{1}{j!}\, B^j\right].\]

    3. Prouver alors que, pour tout \(m\in\mathbb{N}^\ast\) : \[\begin{gathered} \left\| \exp(A)\exp(B) - S_m \right\| \leqslant \left\| \exp(A)\,\exp(B) - T_mU_m \right\| \\ + \left( \sum_{i=0}^m \frac{\left\| A \right\|^i }{i!} \right) \! \! \left( \sum_{j=0}^m \frac{\left\| B \right\|^j }{j!} \right) - \sum_{k=0}^m \frac{(\left\| A \right\| + \left\| B \right\|)^k }{k!} \end{gathered}\]

    4. Démontrer finalement que, si \(A\) et \(B\) commutent, alors : \(\exp(A+B)=\exp(A)\exp(B)\). On en déduirait par récurrence, et on admettra, que si \(A_1,\dots,A_m\) sont des matrices qui commutent deux à deux (\(m\geqslant 2\)), alors : \[\exp\!\left( \sum_{k=1}^m A_k \right) = \prod_{k=1}^m \exp(A_k).\]

13. Montrer que, pour toute matrice \(A\) de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), \(\exp(A)\) est inversible et préciser son inverse.

14. Soit \(A\) une matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) telle que : \[\left\| A \right\|<1 \quad\text{et}\quad\exp(A) = I.\]

    1. Justifier l’existence de la matrice \(S_A=\displaystyle\sum_{k=2}^{+\infty}\frac{1}{k!}\, A^{k-1}\) puis exprimer \(\exp(A) - I\) en fonction de \(A, I\) et \(S_A\).

    2. Étudier les variations de la fonction \(f : x\mapsto \mathrm{e}^x -1 - 2x\) sur \(\mathbb{R}^+\).

    3. En déduire que le signe de \(f(\left\| A \right\|)\) puis que : \(\left\| S_A \right\| <1\).

    4. Prouver alors que \(A\) est la matrice nulle.

15. Soit \(A\) une matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).

    1. Montrer que si \(A\) appartient à \(\mathcal{S}_n\), alors \(\exp(A)\) appartient à \(\mathcal{S}_n^{++}\).

    2. Montrer que la restriction de l’application \(\exp\) à \(\mathcal{S}_n\) est surjective de \(\mathcal{S}_n\) sur \(\mathcal{S}_n^{++}\).

16. Soit \(A\) et \(B\) deux matrices de \(\mathcal{S}_n\) telles que \(\exp(A)=\exp(B)\). On note \(u\) (respectivement \(v\)) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^n\) canoniquement associé à \(A\) (resp. \(B\)) et \(\exp(u)\) (resp. \(\exp(v)\)) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^n\) canoniquement associé à \(\exp(A)\) (resp. à \(\exp(B)\)).

    1. Montrer que \(A\) et \(B\) ont les mêmes valeurs propres.

    2. Montrer que \(A\times \exp(B) = \exp(B) \times A\).

    3. Soit \(F\) un sous-espace propre de \(v\).

       1. Montrer que \(F\) est également un sous-espace propre de \(\exp(v)\).

       2. Montrer que la restriction de \(u\) à \(F\) induit un endomorphisme de \(F\) diagonalisable.

    4. Montrer alors que \(u\) et \(v\) ont les mêmes sous-espaces propres, associés aux mêmes valeurs propres. En déduire que : \(A=B\).

Partie IV - Une application en probabilités

Dans cette partie, \(m\) désigne un entier naturel non nul. On dispose de \(m\) pièces de monnaie numérotées de \(1\) à \(m\) telles que, pour tout \(i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,m} \right]\kern-0.15em\right]\), la \(i^{\grave{e}me}\) pièce donne pile avec probabilité \(p_i\) et face avec probabilité \(1-p_i\), où \(p_i\) est un élément de \(]0,1[\). On note : \[\lambda = \sum_{i=1}^m p_i.\]

Un joueur effectue une suite de lancers mutuellement indépendants de ces pièces : il lance successivement la première pièce, puis la deuxième,…, jusqu’à la \(m^{\grave{e}me}\) pièce. On admet qu’il existe un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) permettant de modéliser cette expérience et on note, pour tout \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,m} \right]\kern-0.15em\right]\), \(S_k\) la variable aléatoire égale au nombre de piles obtenus à l’issue des \(k\) premiers lancers. On note également \(S_0\) la variable aléatoire constante égale à \(0\).

Enfin, pour tout \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,m} \right]\kern-0.15em\right]\), on note \(X_k\) la matrice de \(\mathcal{M}_{1,n}(\mathbb{R})\) définie par : \[X_k = \begin{pmatrix} \mathbb{P}(S_k=0) & \mathbb{P}(S_k=1) & \cdots & \mathbb{P}(S_k=n-1) \end{pmatrix}.\]

17. Dans la suite de ce problème, on suppose que \(n\) est strictement supérieur à \(m\). Soit \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,m} \right]\kern-0.15em\right]\).

    1. Déterminer une matrice \(R_k\) appartenant à \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) telle que : \(X_{k}=X_{k-1}R_k\).

    2. Prouver alors que la loi de \(S_k\) est caractérisée par la première ligne de la matrice \(R_1R_2\cdots R_k\).

    3. Déterminer une matrice \(N\) telle que : \[\forall k\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,m} \right]\kern-0.15em\right],\ R_k = \left( 1- p_k \right) I + p_k N.\] On note alors : \(Q_k=R_k-I\).

18. On note \((e_1,\dots,e_n)\) la base canonique de \(\mathbb{R}^n\) et \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^n\) canoniquement associé à \(N\).

    1. Déterminer \(f(e_i)\) pour tout \(i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\).

    2. Pour tout \(k\in\mathbb{N}\), déterminer la matrice \(N^k\).

    3. Démontrer que : \[\forall k\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,m} \right]\kern-0.15em\right],\ R_1R_2\cdots R_k = \sum_{i=0}^{n-1} \mathbb{P}(S_k=i)\, N^i.\]

19. Soit \(p\) un élément de \(]0,1[\). On définit les matrice \(R\) et \(Q\) par : \[R = \left( 1-p \right) I + pN = I+ Q.\]

    1. Prouver que : \[\exp(Q) = \sum_{j=0}^{n-1} \mathrm{e}^{-p}\,\frac{p^j}{j!}\,N^j.\]

    2. Calculer \(\left\| R \right\|\) et \(\left\| Q \right\|\) puis montrer que : \(\left\| \exp(Q) \right\| \leqslant 1\).

    3. Prouver que : \[\left\| \exp(Q) - R \right\| = \left| \mathrm{e}^{-p} - 1 + p \right| + p \left| \mathrm{e}^{-p}-1 \right| + \mathrm{e}^{-p} \sum_{k=2}^{n-1} \frac{p^k}{k!}.\]

    4. En déduire que : \[\left\| \exp(Q) - R \right\| \leqslant 2p^2.\]

20. 1. Prouver que : \[\prod_{k=1}^m \exp(Q_k) = \exp\!\left( \sum_{k=1}^m Q_k \right) = \exp\!\left( \left[ - \sum_{k=1}^m p_k \right] (I-N) \right).\]

    2. Établir la relation suivante : \[\prod_{k=1}^m R_k - \prod_{k=1}^m \exp(Q_k) = \left[R_1 - \exp(Q_1) \right]\prod_{k=2}^m R_k - \exp(Q_1) \left[ \prod_{k=2}^m \exp(Q_k) -\prod_{k=2}^m R_k \right].\]

    3. En déduire : \[\left\| \prod_{k=1}^m R_k - \prod_{k=1}^m \exp(Q_k) \right\| \leqslant \sum_{k=1}^m \left\| R_k - \exp(Q_k) \right\|.\]

21. 1. Démontrer que : \[\sum_{k=0}^{n-1} \left| \mathbb{P}(S_m=k) - \mathrm{e}^{-\lambda} \,\frac{\lambda^k}{k!} \right| = \left\| \prod_{k=1}^m R_k - \prod_{k=1}^m \exp(Q_k) \right\|.\]

    2. Démontrer finalement que : \[\sum_{k=0}^{+\infty}\left| \mathbb{P}(S_m=k) - \mathrm{e}^{-\lambda} \,\frac{\lambda^k}{k!} \right| \leqslant 2 \sum_{i=1}^m p_i^2.\]