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Dans cet exercice, \(n\) est un entier supérieur ou égal à 2. On note \(\mathrm{I}_n\) la matrice identité de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et on assimile une matrice \(M\) de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et l’endomorphisme \(X\mapsto MX\) de \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\), ce qui nous permet notamment de noter : \[\mathrm{Ker}(M) = \{ X\in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}),\ MX=0\} \quad \text{et} \quad \mathrm{Im}(M) = \{ MX,\ X\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}) \}\]
L’objet de l’exercice est l’étude des matrices \(A\) de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) vérifiant l’é quation \(\left( \ast \right) : A^2=4 \,\mathrm{I}_n\).
Dans cette partie uniquement, on suppose que \[A=\sqrt{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1% \end{pmatrix}\]
Soit \(U\) le vecteur de \(\mathcal{M}_{2,1}(\mathbb{R})\) défini par \(U= \begin{pmatrix} \sqrt{2}-2 \\ \sqrt{2}% \end{pmatrix}\).
Montrer que \(A\) vérifie l’équation \(\left( *\right)\).
Déterminer le noyau et l’image de \(A\).
On note \(F=\mathrm{Ker}( A-2\, \mathrm{I}_2)\) et \(G=\mathrm{Im}( A-2 \, \mathrm{\mathrm{I}_2})\).
Montrer que \(G\) est engendré par le vecteur \(U\). En déduire la dimension de \(F\) et donner une base de \(F\).
Vérifier que : \(G = \mathrm{Ker}( A+2\, \mathrm{I}_2)\).
Prouver alors que \(A\) est diagonalisable, préciser les valeurs propres de \(A\) et donner une matrice \(P\) de passage de la base canonique à une base de vecteurs propres.
On se place désormais dans le cas où \(n\) est supérieur ou égal à \(2\), et on considère une matrice \(A\) de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) vérifiant l’équation \(\left( *\right)\).
Justifier que \(A\) est un inversible et préciser \(A^{-1}\).
Déterminer les valeurs propres possibles de \(A\).
Vérifier que \(2\, \mathrm{I}_n\) et \(-2\, \mathrm{I}_n\) satisfont l’équation \(% \left( \ast \right)\).
On suppose dans la suite de l’exercice que \(A\neq 2\, \mathrm{I}_n\) et \(A\neq -2 \, \mathrm{I}_n\) et on note \(F=\mathrm{Ker}( A-2\, \mathrm{I}_n)\) et \(G=\mathrm{Im}% ( A-2 \, \mathrm{\mathrm{I}_n})\).
Soit \(X\) un élément de \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\).
Montrer que \(AX -2X\) appartient à \(\mathrm{Ker}(A+2\, \mathrm{I}_n)\) et que \(AX +2X\) appartient à \(F\).
En déduire que \(G\subset \mathrm{Ker}( A+2\, \mathrm{I}_n)\) et que \(\mathrm{Im}% ( A+2 \, \mathrm{\mathrm{I}_n}) \subset F\).
Montrer que \(2\) et \(-2\) sont les valeurs propres de \(A\).
Soit \(X\) un vecteur de \(\mathrm{Ker}( A+2\, \mathrm{I}_n)\).
Exprimer \(\left( A-2\, \mathrm{I}_n \right) X\) en fonction de \(% X\) uniquement.
En déduire que \(X\) appartient à \(G\), puis que \(G=\mathrm{Ker}( A+2\, \mathrm{I}_n% )\).
Montrer que \(A\) est diagonalisable.
Dans tout le problème, \(n\) désigne un entier naturel non nul.
On considère une urne blanche contenant \(n\) boules blanches numérotées de 1 à \(n\) et une urne noire contenant \(n\) boules noires numérotées de 1 à \(n\), dans lesquelles on effectue des suites
de tirages. À chaque tirage, on tire simultanément et au hasard une
boule de chaque urne. On obtient ainsi à chaque tirage, deux boules, une
blanche et une noire.
On dira qu’on a obtenu une paire lors d’un tirage, si la boule blanche
et la boule noire tirées portent le même numéro.
Dans cette question, on effectue les tirages avec remise et on note \(Y\) la variable aléatoire égale au nombre de tirages (de deux boules) effectués pour obtenir pour la première fois deux boules portant le même numéro.
Écrire une fonction en langage Python
dont l’en-tête est def pgrm1(n): qui modélise l’expérience
et renvoie la valeur prise par \(Y\).
Déterminer la loi de \(Y\) ; donner son espérance et sa variance.
Dans cette question, on suppose que \(n=2\). On effectue des tirages au hasard et avec remise ; on note \(U\) la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués pour obtenir pour la première fois la boule blanche numérotée 1 et \(Z\) la variable aléatoire égale au nombre de paires obtenues à l’issue de ces tirages.
Reconnaître la loi de \(U\).
Déterminer la loi conjointe du couple \(\left( U,Z\right)\).
Montrer que, pour tout \(k\) de \(\mathbb{N}^{\ast}\), \(\displaystyle \mathbb{P}( Z=k) =\sum\limits_{\ell =k}^{+\infty }\binom{\ell }{k}\left( \dfrac{1}{% 4}\right) ^{\ell }\)
Calculer \(\mathbb{P}( Z=1)\).
Montrer que \(\mathbb{P}( Z=0) =\dfrac{1}{3}\).
En utilisant la formule dite du triangle de Pascal et le résultat de la question c) pour \({k=i+1}\), justifier, pour tout \(i\) de \(\mathbb{N}% ^{\ast}\), l’égalité : \[\mathbb{P}( Z=i+1) =\dfrac{1}{4} \, \mathbb{P}( Z=i+1) +\dfrac{1}{4} \, \mathbb{P}( Z=i)\]
En déduire la loi de \(Z\).
Dans cette partie, les tirages se font sans remise dans les deux urnes, jusqu’à ce que les urnes soient vides. On note \(X_{n}\) le nombre de paires obtenues à l’issue des \(n\) tirages.
Déterminer la loi de \(X_{1}.\)
On suppose dans cette question que \(n=2\).
Combien y a-t-il de résultats possibles ? Quelles sont les valeurs prises par \(X_{2}\) ?
On précisera pour chaque valeur prise par \(X_{2}\), l’ensemble des événements élémentaires permettant de l’obtenir.
En déduire la loi de \(X_{2}\).
On se place dans le cas où \(n\) est un entier naturel non nul.
Décrire l’univers \(\Omega\) des événements observables.
Déterminer le nombre total de suites de tirages possibles.
Déterminer l’ensemble des valeurs prises par \(X_{n}\).
Pour tout entier naturel \(k\), on note \(a( n,k)\) le cardinal de \(\left\{ \omega \in \Omega \,\left\vert \,X_{n}\left( \omega \right) =k\right. \right\}\). Par convention, \(a\left( 0,0\right) =1\).
Préciser la valeur de \(\displaystyle \sum\limits_{j=0}^{n}a( n,j)\).
Déterminer \(a( n,n)\) et \(a( n,n-1)\).
Justifier, pour tout entier \(j\) tel que \(0\leqslant j\leqslant n\), l’é galité suivante : \[\dfrac{a( n,j) }{n!}=\binom{n}{j} \, \dfrac{a( n-j,0) }{% \left( n-j\right) !}\] En déduire la relation : \[\sum\limits_{j=0}^{n}\binom{n}{j}\dfrac{a( j,0) }{j!}=n!\] Donner l’expression de \(a( n,0)\) en fonction des nombres \(\left( a( j,0) \right) _{0\leqslant j\leqslant n-1}\).
Soit \(k\) un entier compris entre \(1\) et \(n\) et \(i\) un entier compris entre \(0\) et \(k-1\).
Justifier l’égalité \(\displaystyle \binom{j}{i}\binom{k}{j}=\binom{k}{i}\binom{k-i}{j-i}\) , puis montrer que : \[\sum\limits_{j=i}^{k}\left( -1\right) ^{j}\binom{j}{i}\binom{k}{j}=0\] En déduire la valeur de la somme : \[\sum\limits_{j=i}^{k-1}\left( -1\right) ^{j}\binom{j}{i}\binom{k}{j}\]
Soit \(k\) un entier tel que \(1\leqslant k\leqslant n\).
On suppose que, pour tout entier \(j\) compris entre \(0\) et \(k-1\), on a les \(k\) égalités : \[a( j,0) =j! \, \sum\limits_{i=0}^{j}\binom{j}{i}\left( -1\right) ^{j-i}i!\] Montrer l’égalité : \[a( k,0) =k!\sum\limits_{i=0}^{k}\binom{k}{i}\left( -1\right) ^{k-i}i!\] On pourra utiliser l’expression, pour \(n=k\), de \(a( n,0)\) trouvé e dans la question 7a.
En déduire, pour tout entier naturel non nul \(k\), la valeur de \(% a( k,0)\).
Déterminer l’ensemble des valeurs prises par \(X_{n}\) et exprimer la loi de \(X_{n}\) à l’aide d’une somme.
Dans cette partie, les tirages se font sans remise dans l’urne blanche et avec remise dans l’urne noire, jusqu’à ce que l’urne blanche soit vide. On note \(X_{n}\) le nombre de paires obtenues à l’issue des \(n\) tirages.
Montrer que \(X_{n}\) suit une loi binomiale dont on précisera les paramè tres.
Donner, sans démonstration, l’espérance et la variance de \(X_{n}\).
On désire modéliser cette expérience et on considère pour cela le
programme Python suivant :
import numpy.random as rd
def Echange(s,i,j):
............
return .....
def Tirages(n):
T=[i for i in range(1,n+1)]
for i in range(n-1):
j=rd.randint(n-i)+i
Echange(T,i,j)
return T
n=int(input("n="))
blanc=Tirages(n)
X=0
for i in range(n):
if .........:
X=......
print(X)
Compléter les lignes (4) et (5) du programme pour que l’appel de
Echange(s,i,j) renvoie le tableau
s après échange des éléments
s[i] et s[j] de la
liste.
Expliquer ce qui se passe à l’appel de
Tirages(n) et le résultat renvoyé.
On précisera ce qui se passe au passage i=0
puis au passage numéro i dans la deuxième
boucle for, et en particulier, la raison pour laquelle on
écrit l’instruction j=rd.randint(n-i)+i.
Compléter les lignes (19) et (20) pour que le programme simule l’expérience de cette partie III pour une valeur de \(n\) entrée par l’utilisateur, puis affiche la valeur de \(X_{n}\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.