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On rappelle que :
pour tout réel \(x\) strictement positif, l’intégrale \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} t^{x-1 }\, \mathrm{e}^{-t} \, \mathrm{d}t=\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{(x-1) \ln(t) } \, \mathrm{e}^{-t} \, \mathrm{d}t\) est convergente;
la fonction \(\Gamma\) est définie sur \(\mathbb{R}_+^\ast\), et associe à tout réel \(x\) strictement positif, le réel strictement positif \(\displaystyle \Gamma(x)=\int_{0}^{+\infty} t^{x-1} \, \mathrm{e}^{-t} \, \mathrm{d}t\)
pour tout réel \(x\) strictement positif, \(\Gamma(x+1)=x \, \Gamma(x)\).
Pour tout entier naturel \(k\) non nul, et pour toute fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}_+^\ast\), \(k\) fois dérivable, on note \(f^{(k)}\) la dérivée \(k\)-ième de la fonction \(f\). Les dérivées première et seconde sont également notées \(f^{\prime}\) et \(f^{\prime \prime}\).
Dans les parties II et III du problème, \(\exp\) désigne la fonction exponentielle. Les parties III et IV sont indépendantes.
Le problème a pour objet la mise en évidence de certaines propriétés de la fonction \(\Gamma\).
Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à 1.
Pour tout réel \(u\) tel que \(0 \leqslant u<1\), montrer que \(\ln (1-u) \leqslant-u\). En déduire, pour tout réel \(t\) de l’intervalle \([0, n]\), l’inégalité : \(\displaystyle \left(1-\frac{t}{n}\right)^{n} \leqslant \mathrm{e}^{-t}\).
Étudier les variations de la fonction \(\varphi\) définie sur \([0, \sqrt{n}[\) qui, à tout réel \(t\) de \([0, \sqrt{n}[\) associe :
\[\varphi(t)=\ln \! \left(1-\frac{t^{2}}{n}\right)-t-n \ln \! \left(1-\frac{t}{n}\right)\]
Établir, pour tout réel \(t\) de \([0, \sqrt{n}]\), l’inégalité : \[\left(1-\frac{t^{2}}{n}\right) \, \mathrm{e}^{-t} \leqslant\left(1-\frac{t}{n}\right)^{n}\]
Justifier, pour tout réel \(t\) de \([0, n]\), les inégalités :
\[\mathrm{e}^{-t}-\frac{t^{2}}{n} \, \mathrm{e}^{-t} \leqslant\left(1-\frac{t}{n}\right)^{n} \leqslant \mathrm{e}^{-t}\]
En déduire que, pour tout réel \(x\) strictement positif :
\[\Gamma(x)=\lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{n}\left(1-\frac{t}{n}\right)^{n} t^{x-1} \, \mathrm{d}t\]
Pour tout réel \(x\) strictement positif et pour tout entier naturel \(n\) non nul, montrer que les intégrales \(\displaystyle \int_{0}^{1} y^{x-1} \, \mathrm{d}y\) et \(\displaystyle \int_{0}^{1} y^{x-1}(1-y)^{n} \, \mathrm{d}y\) sont convergentes.
On pose alors \(\displaystyle B_{0}(x)=\int_{0}^{1} y^{x-1} \, \mathrm{d}y\) et pour tout \(n\) supérieur ou égal à \(1\): \[B_{n}(x)=\int_{0}^{1} y^{x-1}(1-y)^{n} \, \mathrm{d}y\]
À l’aide d’une intégration par parties, montrer, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\), l’égalité : \[B_{n}(x)=\frac{n !}{x \left( x+1 \right) \cdots(x+n)}\]
En déduire, pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\), la formule :
\[B_{n}(x)=\frac{\Gamma(x) \times \Gamma(n+1)}{\Gamma(x+n+1)}\]
Montrer que, pour tout réel \(x\) strictement positif :
\[\Gamma(x)=\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{n^{x} \, n !}{x \left( x+1 \right) \cdots(x+n)}\]
En déduire que, pour tout réel \(x\) strictement positif, \(\Gamma(x+n) \sim n^{x} \left( n-1 \right) !\), lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).
Pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\), on pose \(\displaystyle \lambda_{n}=\frac{\Gamma\! \left(\frac{n}{2}\right)}{\Gamma \! \left(\frac{n+1}{2}\right)}\). Montrer que \(\displaystyle \lambda_{n} \sim \sqrt{\frac{2}{n}}\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).
Montrer que, pour tout entier naturel \(k\) non nul, et pour tout réel \(x\) strictement positif, l’intégrale \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} t^{x-1}(\ln(t) )^{k} \, \mathrm{e}^{-t} \, \mathrm{d}t\) est absolument convergente. On note \(g_{k}(x)\) la valeur de cette intégrale.
Soit \([a, b]\) un segment de \(\mathbb{R}_+^\ast\). Soit \(x_{0}\) et \(x\) deux éléments distincts de \(] a, b[\). Établir l’inégalité : \[\left|\Gamma(x)-\Gamma(x_{0})-\left(x-x_{0}\right) g_{1}(x_{0})\right| \leqslant \frac{\left(x-x_{0}\right)^{2}}{2} \int_{0}^{+\infty}(\ln(t) )^{2}\left(\sup _{\alpha \in[a, b]} t^{\alpha-1}\right) \mathrm{e}^{-t} \, \mathrm{d}t\]
Montrer l’inégalité suivante : \[\int_{0}^{+\infty}(\ln(t) )^{2}\left(\sup _{\alpha \in[a, b]} t^{\alpha-1}\right) \mathrm{e}^{-t} \, \mathrm{d}t\leqslant \int_{0}^{1}(\ln(t) )^{2} \, t^{a-1} \, \mathrm{e}^{-t} \, \mathrm{d}t+\int_{1}^{+\infty}(\ln(t) )^{2} \, t^{b-1} \, \mathrm{e}^{-t} \, \mathrm{d}t\]
En déduire que la fonction \(\Gamma\) est dérivable en \(x_{0}\) et que \(\Gamma^{\prime}(x_{0})=g_{1}(x_{0})\).
Établir que la fonction \(\Gamma\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) et que \(\Gamma^{\prime}=g_{1}\).
On montrerait de même que la fonction \(\Gamma\) est trois fois dérivable sur \(\mathbb{R}_+^\ast\), et que \(\Gamma^{\prime \prime}=g_{2}\). Ce résultat est admis dans toute la suite du problème.
Pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}^{*}\), on pose \(\displaystyle \gamma_{n}=-\ln (n) +\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\).
Établir, pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 2, la double inégalité suivante : \[\displaystyle \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k}<\ln (n) <\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}\]
En déduire que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, on a \(0<\gamma_{n} \leqslant 1\).
Montrer que la suite \(\left(\gamma_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) est décroissante et convergente. On note \(\gamma\) sa limite.
Pour tout réel \(x\) strictement positif, et pour tout entier \(n\) strictement positif, montrer l’égalité : \[\prod_{k=1}^{n}\left[\left(1+\frac{x}{k}\right) \exp \! \left(-\frac{x}{k}\right)\right]=\exp \! \left(-x \gamma_{n}\right) \times \frac{(x+1)(x+2) \cdots(x+n)}{n^{x} \, n !}\]
On pose \(v_{n}(x)=\displaystyle \prod_{k=1}^{n}\left[\left(1+\frac{x}{k}\right) \exp \! \left(-\frac{x}{k}\right)\right]\). Montrer que la suite \(\left(v_{n}(x)\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) est convergente. On note \(\ell(x)\) sa limite. Montrer la relation : \[\ell(x)=\frac{\exp (-\gamma x)}{x \, \Gamma(x)}\]
Soit \(x\) un réel strictement positif fixé. Montrer que la série de terme général \(\displaystyle \frac{x}{n}-\ln \left(1+\frac{x}{n}\right)\), \(n \geqslant 1\), est convergente.
Justifier, pour tout réel \(x\) strictement positif, l’égalité : \[\ln (\ell(x))=-\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{x}{n}-\ln \! \left(1+\frac{x}{n}\right)\right]\]
En déduire, pour tout réel \(x\) strictement positif, la relation : \[\ln (\Gamma(x))=-\gamma x-\ln (x) +\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{x}{n}-\ln \! \left(1+\frac{x}{n}\right)\right]\]
Soit \(\psi\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) par \(\displaystyle \psi(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ \ln (\Gamma(x)) \right]\).
Établir, pour tout réel \(x\) strictement positif l’égalité : \(\psi(x+1)=\psi(x)+\frac{1}{x}\).
Déterminer un équivalent simple de \(\psi(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(0^{+}\). Justifier, pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 2 , la formule : \[\psi(n)=\psi(1)+\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}\]
Pour tout entier \(n\) supérieur ou égal à 1, on considère la fonction \(U_{n}\) définie sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) par : \[U_{n}(x)=\ln \! \left(1+\frac{x}{n}\right)-\frac{x}{n}\]
On désigne par \(A(x)\) la somme de la série de terme général \(U_{n}(x)\).
Montrer que \(A\) est deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}_+^\ast\). En particulier, exprimer pour tout réel \(x\) strictement positif, \(A^{\prime}(x)\) et \(A^{\prime \prime}(x)\) en fonction de \(\Gamma(x), \Gamma^{\prime}(x)\) et \(\Gamma^{\prime \prime}(x)\).
Soit \(x\) un réel strictement positif fixé. Montrer que, pour tout entier \(k\) supérieur ou égal à 1, la série de terme général \(U_{n}^{(k)}(x)\) est absolument convergente.
Dans toute la suite du problème, on admet les deux résultats suivants : pour tout réel \(x\) strictement positif on a
\[A^{\prime}(x)=\sum_{n=1}^{\infty} U_{n}^{\prime}(x) \quad \text{et} \quad A^{\prime \prime}(x)=\sum_{n=1}^{\infty} U_{n}^{\prime \prime}(x)\]
Calculer \(\psi(1)\) en fonction de \(\gamma\). En déduire la valeur de \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty}(\ln (n) -\psi(n))\).
On veut établir dans cette question que pour tout réel \(y\) strictement positif, on a \(\displaystyle \psi^{\prime}(y)>\frac{1}{y}\).
Soit \(x\) un réel strictement positif fixé. On considère la fonction \(G\) définie sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) qui, à tout réel \(t\) strictement positif, associe \(\displaystyle G(t)=\frac{1}{(t+x)^{2}}\).
Montrer que sur \(\mathbb{R}_+^\ast\), \(G\) est positive, strictement décroissante, et que l’intégrale \(\displaystyle \int_{1}^{+\infty} G(t) \, \mathrm{d}t\) est convergente.
En déduire la double inégalité : \(\displaystyle 0<\int_{1}^{+\infty} G(t) \, \mathrm{d}t<\sum_{k=1}^{\infty} G(k)\).
Établir l’inégalité : \(\displaystyle \psi^{\prime}(x)>\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x^{2}}\). Conclure.
On considère une variable aléatoire \(X\) dont une densité \(f\) de \(X\) est donnée par : \[f(x)= \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{\Gamma(r) \, \theta^{r}} \times x^{r-1} \exp \! \left(-\frac{x}{\theta}\right) & \text { si } x>0 \\ \hfill 0 \hfill & \text { si } x \leqslant 0 \rule[0pt]{0pt}{20pt}\end{cases}\]
les deux paramètres inconnus \(\theta\) et \(r\) étant des réels strictement positifs. On dit que \(X\) suit la loi \(\Gamma(\theta, r)\).
Soit \(p\) un entier supérieur ou égal à 2. On considère un \(p\)-échantillon i.i.d. \(\left(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{p}\right)\) de la loi de \(X\) : les variables aléatoires \(X_{1}, \ldots, X_{p}\) sont mutuellement indépendantes et de même loi que \(X\).
On désigne par \(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{p}\), un \(p\)-échantillon de réalisations des variables aléatoires \(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{p}\), respectivement; les réels \(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{p}\) sont fixés, strictement positifs et non tous égaux.
Soit \(L\) la fonction (appelée fonction de vraisemblance) définie sur \(\mathbb{R}_+^\ast\times \mathbb{R}_+^\ast\) à valeurs dans \(\mathbb{R}_+^\ast\) qui, à tout couple \((\theta, r)\) de réels strictement positifs, associe :
\[L(\theta, r)=\prod_{i=1}^{p} f(x_{i})\]
On pose \(F(\theta, r)=\ln (L(\theta, r))\).
Montrer que la recherche du maximum de \(L\) sur \(\mathbb{R}_+^\ast\times \mathbb{R}_+^\ast\) est équivalente à la recherche du maximum de \(F\) sur ce même ensemble.
Établir l’existence sur \(\mathbb{R}_+^\ast\times \mathbb{R}_+^\ast\), des dérivées partielles d’ordre 1 et 2 de la fonction \(F\). Les calculer.
Montrer que les éventuels points critiques \(\left(\theta^{\star}, r^{\star}\right)\) vérifient le système \((S)\) d’équations suivant : \[(S) \quad \begin{cases} \theta^{\star} r^{\star}=\overline{x} &(1)\\ \displaystyle \ln (r^{\star}) -\frac{\Gamma^{\prime}\left(r^{\star}\right)}{\Gamma\left(r^{\star}\right)}=\ln ( \overline{x}) -\frac{1}{p} \sum_{i=1}^{p} \ln (x_{i} ) &(2) \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]
dans lequel \(\displaystyle \overline{x}=\frac{1}{p} \sum_{i=1}^{p} x_{i}\).
On pose \(\displaystyle K_{p}=\ln( \overline{x}) -\frac{1}{p} \sum_{i=1}^{p} \ln (x_{i})\).
Justifier, pour tout réel \(x>0\) et différent de 1, l’inégalité : \(\ln (x) <x-1\). En déduire que \(K_{p}>0\).
Soit \(h\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) par : \[h(y)=\ln (y) -\frac{\Gamma^{\prime}(y)}{\Gamma(y)}-K_{p}\]
Étudier les variations de \(h\) et dresser son tableau de variations.
Montrer que l’équation (2) admet sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) une unique solution \(r^{\star}\). En déduire que le système d’équations \((S)\) admet une unique solution \(\left(\theta^{\star}, r^{\star}\right)\).
Écrire la hessienne \(\nabla^{2} F\) de \(F\) au point \(\left(\theta^{\star}, r^{\star}\right)\).
En déduire qu’au point \(\left(\theta^{\star}, r^{\star}\right)\), la fonction \(L\) admet un maximum local.
On peut démontrer qu’en ce point, on obtient en fait un maximum global de L. On dit que le couple \(\left(\theta^{\star}, r^{\star}\right)\) est une estimation du couple inconnu \((\theta, r)\) obtenue par la méthode du maximum de vraisemblance.
Soit \(X\) une variable aléatoire qui suit une loi normale centrée et d’écart-type \(\sigma\); le paramètre réel inconnu \(\sigma\) est strictement positif.
Montrer que la variable aléatoire \(\displaystyle T=\frac{X^{2}}{2 \sigma^{2}}\) suit une loi \(\gamma\) de paramètre \(1 / 2\). En déduire la valeur de \(\Gamma(1 / 2)\).
Pour \(n\) entier naturel non nul, on considère un \(n\)-échantillon \(\left(X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}\right)\) i.i.d. (indépendant, identiquement distribué) de la loi de \(X\).
On désigne par \(S_{n}\) la variable aléatoire \(\displaystyle S_{n}=\sum_{i=1}^{n} \frac{X_{i}^{2}}{2 \sigma^{2}}\). Quelle est la loi de probabilité de \(S_{n}\) ?
En déduire que la variable aléatoire \(Y_{n}\) définie par \(\displaystyle Y_{n}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}\), est un estimateur sans biais de \(\sigma^{2}\).
Montrer que l’espérance de \(\sqrt{Y_{n}}\), notée \(\mathbb{E}\!\left(\sqrt{Y_{n}}\right)\), vérifie : \(\mathbb{E}\!\left(\sqrt{Y_{n}}\right)<\sigma\).
Donner l’expression de \(\mathbb{E}\! \left(\sqrt{Y_{n}}\right)\) en fonction de \(n\) et \(\sigma\).
Montrer que la variable aléatoire \(\widehat{\sigma_{n}}\) définie par :
\[\widehat{\sigma_{n}}=\frac{\lambda_{n}}{\sqrt{2}} \left(\sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}\right)^{1 / 2}\]
où \(\lambda_{n}\) a été défini dans la question I.2d, est un estimateur sans biais du paramètre \(\sigma\).
Calculer la variance \(\mathbb{V}\! \left(\widehat{\sigma_{n}}\right)\) de l’estimateur \(\widehat{\sigma_{n}}\) en fonction de \(n\) et \(\sigma\).
La suite \(\left(\widehat{\sigma_{n}}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) d’estimateurs de \(\sigma\) converge-t-elle en probabilité vers \(\sigma\) ?
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
