HEC 2002 Maths 3Maths appliquées

Exercice 1

Le but de cet exercice est la résolution de l’équation matricielle \(AM=MB\), d’inconnue \(M\), dans l’espace vectoriel \(E\) des matrices carrées d’ordre \(2\) à coefficients réels. On rappelle que si \(U_{1},\,U_{2},\,U_{3},\,U_{4}\) sont les matrices définies par : \[U_{1}=% \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0% \end{pmatrix}% \quad U_{2}=% \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0% \end{pmatrix}% \quad U_{3}=% \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0% \end{pmatrix}% \quad U_{4}=% \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1% \end{pmatrix}%\] la famille \((U_{1},\,U_{2},\,U_{3},\,U_{4})\) est une base de \(E\), qui est donc de dimension \(4\). Si \(A\) et \(B\) sont deux matrices de \(E\), l’ensemble des matrices \(M\) de \(E\) vérifiant \(AM=MB\) est noté \(V_{A,B}\).

1. Soit \(A\) et \(B\) deux matrices de \(E\) et \(\varphi _{A,B}\) l’application qui, à toute matrice \(M\) de \(E\), associe la matrice \(AM-MB\).

   1. Montrer que \(\varphi_{A,B}\) est un endomorphisme de \(E\) et en déduire que \(V_{A,B}\) est un sous-espace vectoriel de \(E\).

   2. Dans le cas particulier où \(A=% \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & \;1% \end{pmatrix}% \;\text{et}\;B=% \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 2 & \;1% \end{pmatrix}%\), construire la matrice carrée d’ordre \(4\) qui représente \(\varphi _{A,B}\) dans la base \((U_{1},\,U_{2},\,U_{3},\,U_{4})\). Montrer que cette matrice est inversible et en déduire l’ensemble \(V_{A,B}\).

2. Dans cette question, \(r\) et \(s\) désignent deux réels distincts et différents de \(1\), et on pose : \[D=% \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & r% \end{pmatrix}% \quad \text{et}\quad \Delta =% \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & s% \end{pmatrix}%\]

   1. Soit \(M=% \begin{pmatrix} x & y \\ z & t% \end{pmatrix}%\) une matrice quelconque de \(E\). Donner des conditions nécessaires et suffisantes sur \(x,\,y,\,z,\,t\) pour que \(M\) appartienne à \(V_{D,\Delta }\).

   2. En déduire une base de \(V_{D,\Delta}\).

3. Soit \(a,b,c,d\) des réels non nuls vérifiant \(a-b\neq c-d,\;a-b\neq 1,\;c-d\neq 1\), \(A\) et \(B\) les matrices définies par : \[A=% \begin{pmatrix} a & 1-a \\ b & 1-b% \end{pmatrix}% \quad ,\quad B=% \begin{pmatrix} c & 1-c \\ d & 1-d% \end{pmatrix}%\]

   1. Montrer que les valeurs propres de \(A\) sont \(1\) et \(a-b\). En déduire qu’il existe une matrice inversible \(P\) de \(E\), et une matrice \(D\) égale à celle de la question ??? pour une valeur convenable de \(r\), telles que l’on ait : \(D=P^{-1} A P\).

   2. Justifier de même l’existence d’une matrice inversible \(Q\) de \(E\), et d’une matrice \(\Delta\) égale à celle de la question ??? pour une valeur convenable de \(s\), telles que l’on ait : \(\Delta = Q^{-1} B Q\).

   3. Pour toute matrice \(M\) de \(E\), montrer qu’elle appartient à \(V_{A,B}\) si et seulement si la matrice \(P^{-1}M Q\) appartient à \(V_{D,\Delta}\). En déduire une base de \(V_{A,B}\).

4. Dans cette question \(r,\,s\) et \(u,\,v\) désignent quatre réels vé rifiant \(r\neq s,\,r\neq v,\;u\neq s,\;u\neq v\), et on pose : \[D=% \begin{pmatrix} u & 0 \\ 0 & r% \end{pmatrix}% \quad \text{et}\quad \Delta =% \begin{pmatrix} v & 0 \\ 0 & s% \end{pmatrix}%\]

   1. Par une méthode analogue à celle de la question ???, déterminer \(% V_{D,\Delta }\).

   2. En déduire, par une méthode analogue à celle de la question ???, le sous-espace vectoriel \(V_{A,B}\) dans le cas où \(A\) et \(B\) sont deux matrices diagonalisables n’ayant aucune valeur propre commune.

Exercice 2

Cet exercice met en évidence le fait que l’existence d’une espé rance finie, pour une variable aléatoire, n’est pas toujours intuitive. Dans tout l’exercice, \(I\) désigne l’intervalle réel \([1,+\infty \lbrack\) et on suppose que toutes les variables aléatoires envisagées sont d éfinies sur le même espace probabilisé \((\Omega ,\mathcal{A},\mathbb{P})\).

Partie A : première approche

1. Montrer que l’application \(g\) définie par : \[g(t) = \begin{cases} \dfrac{1}{t^{2}} & \text{si } t\in I \\ \hfill 0 \hfill & \text{sinon} \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\] est une densité de probabilité.

2. Soit \(X\) une variable aléatoire à valeurs dans \(I\) admettant \(g\) pour densité. Déterminer, pour tout réel \(t\), la probabilité \(% \mathbb{P}( X\leqslant t)\) et montrer que \(X\) n’admet pas d’espérance.

3. Soit \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires à valeurs dans \(I\) admettant \(g\) pour densité et telles que, pour tout réel \(t\), les événements \([X\leqslant t]\) et \([Y\leqslant t]\) sont indépendants.

   On définit alors deux variables aléatoires \(U\) et \(V\) par : \(U=\min(X,Y)\) et \(V=\max(X,Y)\), c’est-à-dire que, pour tout \(\omega\) de \(\Omega\), \(% U(\omega)\) est le plus petit des nombres \(X(\omega)\) et \(Y(\omega)\), tandis que \(V(\omega)\) est le plus grand de ces nombres.

   1. Pour tout réel \(t\), exprimer l’événement \([V\leqslant t]\) à l’aide des variables aléatoires \(X\) et \(Y\); en déduire la probabilité \(% \mathbb{P}( V\leqslant t)\).

   2. Montrer que la variable aléatoire \(V\) admet pour densité l’application \(h\) définie par : \[h(t) = \begin{cases} \dfrac{2 \left( t-1 \right)}{t^{3}} & \text{si } t\in I \\ \hfill 0 \hfill & \text{sinon} \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]

   3. De façon analogue, calculer pour tout réel \(t\) la probabilité \(% \mathbb{P}( U>t)\) et en déduire que la variable aléatoire \(U\) admet pour densité l’application \(m\) définie par : \[m(t) = \begin{cases} \dfrac{2}{t^{3}} & \text{si } t\in I \\ \hfill 0 \hfill & \text{sinon} \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]

   4. Montrer que \(V\) n’admet pas d’espérance et que \(U\) admet une espérance que l’on calculera.

Partie B : Situation plus générale

Dans cette partie, \(n\) désigne un entier supérieur ou égal à \(2\) et on suppose que \(n\) visiteurs, numérotés de \(1\) à \(n\), se rendent alé atoirement dans un musée et que, pour tout entier de l’intervalle \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), l’heure d’arrivée du visiteur numéro \(k\) est une variable aléatoire \(X_{k}\) admettant pour densité l’application \(g\) définie dans la partie A.

On suppose de plus que, pour tout réel \(t\), les événements \([X_{1}\leqslant t]\), \([X_{2}\leqslant t]\), …, \([X_{n}\leqslant t]\) sont mutuellement indépendants. Si \(r\) est un entier de l’intervalle \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), on note \(T_{r}\) la variable aléatoire désignant l’heure d’arrivée du \(r\)-ième arrivant. La partie A traite donc du cas \(n=2\), les variables aléatoires \(U\) et \(% V\) étant respectivement égales à \(T_{1}\) et \(T_{2}\).

4. Soit \(t\) un élément de \(I\) fixé. Pour tout entier \(k\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), on note \(B_{k}\) la variable aléatoire prenant la valeur \(1\) lorsque l’événement \([X_{k}\leqslant t]\) est réalisé et la valeur \(0\) sinon.

   1. Préciser, en la justifiant soigneusement, la loi de la variable alé atoire \(Z\) définie par : \[Z=B_{1}+\,\cdots \,+\,B_{n}\]

   2. Pour tout entier \(r\) de l’intervalle \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), exprimer l’événement \(% [T_{r}\leqslant t]\) à l’aide de la variable aléatoire \(Z\) et en déduire l’é galité: \[\mathbb{P}( T_{r}\leqslant t)=\sum\limits_{k=r}^{n} \binom nk \left( 1-\dfrac{1}{t}% \right) ^{k}\left( \dfrac{1}{t}\right) ^{n-k}\]

5. 1. Vérifier, pour tout entier \(k\) de l’intervalle \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), l’égalité : \(\displaystyle k \binom nk -(n+1-k) \binom n{k-1} =0\).

   2. En déduire que, pour tout entier \(r\) de l’intervalle \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), la variable aléatoire \(T_{r}\) admet pour densité l’application \(f_{r}\) définie par : \[f_{r}(t)= \begin{cases} \displaystyle r \binom nr \left( \dfrac{1}{t}\right) ^{n+2-r}\left( 1-\dfrac{1}{t}\right) ^{r-1} & \text{si } t\in I \\ \hfill 0 \hfill & \text{sinon} \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]

   3. Donner un équivalent à \(tf_{r}(t)\) quand \(t\) tend vers \(+\infty\) et en déduire que les variables aléatoires \(T_{1},\,T_{2},\,\ldots \,,\,T_{n-1}\) admettent une espérance alors que \(T_{n}\) n’en admet pas.

6. Pour tout couple \((p,q)\) d’entiers naturels, on pose : \(\displaystyle J(p,q)=\int_{0}^{1}x^{p}\,(1-x)^{q}\, \mathrm{d}x\).

   1. À l’aide d’une intégration par parties, établir pour tout couple \((p,q)\) d’entiers naturels, la relation : \[(p+1)\,J(p,q+1)=(q+1)\,J(p+1,q)\]

   2. Calculer, pour tout entier naturel \(q\), l’intégrale \(J(0,q)\).

   3. Montrer par récurrence sur \(p\) que, pour tout couple d’entiers naturels \((p,q)\), on a : \[J(p,q)=\dfrac{p!\,q!}{(1+p+q)!}\]

7. Soit \(r\) un entier de l’intervalle \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n-1} \right]\kern-0.15em\right]\).

   1. Si \(a\) est un réel strictement supérieur à \(1\), transformer en effectuant le changement de variable \(x=\dfrac{1}{t}\) l’inté grale \(\displaystyle \int_{1}^{a}t\,f_{r}(t)\,\text{d}t\).

   2. En déduire la valeur de l’espérance de la variable aléatoire \(T_{r}\) en fonction de \(n\) et de \(r\).