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Le sujet ci-dessous vise à faire comprendre comment deux concurrents aux intérêts antagonistes, ne parvenant pas à fixer conjointement les stratégies de l’un et l’autre, conviennent de les tirer au sort avec des probabilités bien déterminées.
Définitions et notations
Dans tout le problème, \(n\) et \(p\) désignent des entiers naturels non nuls fixés.
On convient de noter, pour tout \(\ell \in\mathbb{N}^\ast\), \(E_\ell = \mathcal{M}_{\ell ,1}(\mathbb{R})\), que l’on assimile à \(\mathbb{R}^\ell\) et on munit \(E_\ell\) de sa structure euclidienne canonique où l’on note, pour tout \((X,Y)\in E_\ell ^2\) : \[\left \langle X, Y \right \rangle = {}^t\!XY \quad \text{et} \quad \left\| X \right\|^2 = \left \langle X, X \right \rangle\]
Pour tout \(\ell \in\mathbb{N}^\ast\), on note alors : \[K_\ell = \left\lbrace X=(x_i)_{1\leqslant i \leqslant \ell } \in E_\ell \ / \ \forall i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,\ell } \right]\kern-0.15em\right],\ x_i \geqslant 0 \text{ et } \sum_{i=1}^\ell x_i = 1 \right\rbrace\]
et on admet que \(K_\ell\) est une partie fermée de \(E_\ell\).
Si \(\ell\) est un entier naturel non nul et \((z_1,\dots,z_\ell )\) est une famille finie de réels, on convient de noter \(\displaystyle \max_{1 \leqslant k \leqslant \ell } z_k\) ou \(\displaystyle \max_k z_k\) (respectivement \(\displaystyle \min_{1 \leqslant k \leqslant \ell } z_k\) ou \(\displaystyle \min_k z_k\)) son plus grand (respectivement son plus petit) élément.
Plus généralement, \(f\) étant une fonction définie sur un ensemble \(A\) non vide et à valeurs dans \(\mathbb{R}\), si \(f\) admet un maximum (respectivement un minimum) sur \(A\), celui-ci sera noté \(\displaystyle \max_{x\in A} f(x)\) (respectivement \(\displaystyle \min_{x\in A} f(x)\)).
Pour tout \(\ell \in\mathbb{N}^\ast\), on dit qu’une partie non vide \(\mathcal{C}\) de \(E_\ell\) est convexe si : \[\forall (X,Y)\in \mathcal{C}^{2},\ \forall m \in \lbrack 0,1],\ m Y+ \left( 1-m \right) X\in \mathcal{C}\]
Soit \(A=(a_{i,j})_{\substack{1\leqslant i\leqslant n \\ 1\leqslant j\leqslant p}}\) une matrice appartenant a \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\). On note : \[u(A)=\min\limits_{1\leqslant i\leqslant n}(\max\limits_{1\leqslant j\leqslant p}a_{i,j}) \quad \text{et} \quad v(A)=\max\limits_{1\leqslant j\leqslant p}(\min\limits_{1\leqslant i\leqslant n}a_{i,j})\]
Pour simplifier les notations, on écrira aussi : \[u(A)=\min\limits_{i}\max% \limits_{j}a_{i,j} \quad \text{et} \quad v(A)=\max\limits_{j}\min\limits_{i}a_{i,j}\]
Calculer \(u(A),v(A),u(A'),v(A')\) dans les deux cas suivants: \[A=% \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ 1 & -1% \end{pmatrix}% \quad \text{et} \quad A'=% \begin{pmatrix} -1 & 6 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ -2 & 3 & -1% \end{pmatrix}%\]
On revient au cas général où \(A\in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\). Pour tout \(j_{0}\in \{1,\dots ,p\}\) et tout \(i_{0}\in \{1,\dots ,n\}\), on note : \[s_{j_{0}}=\min\limits_{i}a_{i,j_{0}} \quad \text{et} \quad t_{i_{0}}=\max% \limits_{j}a_{i_{0},j}\]
Montrer que \(s_{j_0}\leqslant t_{i_0}\) pour tout \(j_{0}\in \{1,\dots ,p\}\) et tout \(i_{0}\in \{1,\dots ,n\}\).
En déduire que \(v(A)\leqslant u(A)\).
On suppose qu’une matrice \(A\)
de \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\) a
été définie dans un programme Python et on
considère les fonctions suivante :
import numpy as np
def u(A):
n,p=np.shape(A)
M=np.zeros(n)
for i in range(n):
M[i]=...........
return .............
def v(A):
n,p=np.shape(A)
m=..................
for ...............
m[j]]=..........
return np.max(m)
Compléter la ligne (6) pour que M[i]
reçoive le plus grand coefficient de la \(i^{\grave{e}me}\) ligne de \(A\).
Compléter la ligne (7) pour que l’appel de
u(A) renvoie la valeur de \(u(A)\).
Compléter les lignes (10), (11) et (12) pour que l’appel de
v(A) renvoie la valeur de \(v(A)\).
Dans cette question on étudie un exemple et on considère la matrice \[A=% \begin{pmatrix} -2 & 3 \\ 1 & -1% \end{pmatrix}%\]
Pour tout \((x,y)\in \lbrack 0,1]^{2}\), on pose : \[X=% \begin{pmatrix} x \\ 1-x% \end{pmatrix}% ,\quad Y=% \begin{pmatrix} y \\ 1-y% \end{pmatrix}% \quad \text{et} \quad h(x,y)={}^t\!XAY\]
Calculer \(h(x,y)\) en fonction de \(x\) et \(y\).
Déterminer, suivant les valeurs de \(x\in \lbrack 0,1]\), le maximum de la fonction \(y\mapsto h(x,y)\) sur \([0,1]\); ce maximum sera noté \(\lambda (x)\) .
Déterminer la valeur minimum de \(\lambda (x)\) lorsque \(x\) décrit \(% [0,1]\). Cette valeur sera notée \(\alpha (A)\), et on a donc : \[\alpha(A) = \min\limits_{X\in K_{2}}(\max\limits_{Y\in K_{2}} {}^t\!XAY)\] que l’on notera plus simplement \(\min\limits_{X}\max\limits_{Y}\) \({}^t\!XAY\), étant entendu que \(X\) et \(Y\) décrivent \(K_{2}\).
Par une méthode analogue, montrer l’existence de \(\beta (A)=\max\limits_{Y}\min\limits_{X}\) \({}^t\!XAY\) et donner sa valeur.
Dans la suite de cette partie, \(A=(a_{i,j})_{\substack{1\leqslant i\leqslant n \\ 1\leqslant j\leqslant p}}\) désigne une matrice appartenant à \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\).
On définit la fonction \(f\) sur \(K_{n}\times K_{p}\) par: \[\forall (X,Y)\in K_{n}\times K_{p},\ f(X,Y)= {}^t\!XAY\]
Pour tout \(j\in \{1,\dots ,p\}\) et tout \(X=(x_i)_{1\leqslant i \leqslant n} \in K_{n}\) on pose : \[\varphi _{j}(X)=\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i,j}x_{i} \quad \text{ puis }\quad \lambda (X)=\max\limits_{1\leqslant j\leqslant p}\varphi _{j}(X)\]
On considère des fonctions \(g_{1},\dots ,g_{p}\) définies et continues sur \(K_{n}\), à valeurs dans \(\mathbb{R}\).
On note \(h=\max (g_{1},g_{2})\) la fonction de \(K_{n}\) dans \(\mathbb{R}\) définie par : \[\forall x\in K_{n},\ h(x)=\max (g_{1}(x),g_{2}(x)).\] Vérifier que \(h=\dfrac{g_{1}+g_{2}+\left| g_{1}-g_{2} \right|}{2}\) et en déduire que \(% h\) est continue sur \(K_{n}\).
On note \(g=\max (g_{1},\dots ,g_{p})\) la fonction définie sur \(K_{n}\) par: \[\forall x\in K_{n},\ g(x)=\max (g_{1}(x),\dots ,g_{p}(x))\]
Montrer que \(g\) est continue sur \(K_{n}\).
Dans cette question, on considère un élément \(X\) appartenant à \(K_{n}\).
Montrer que pour tout \(Y\in K_{p},\;f(X,Y)\leqslant \lambda (X)\).
Montrer qu’il existe \(Y_{X}\in K_{p}\) tel que \(f(X,Y_{X})=\lambda (X)\).
En déduire qu’on peut poser: \(\lambda (X)=\max\limits_{Y\in K_{p}}f(X,Y)\).
Montrer que \(K_{n}\) est borné.
Montrer que \(\lambda\) admet un minimum \(\alpha (A)\) sur \(K_{n}\), qui est donc égal à \(% \min\limits_{X\in K_{n}}(\max\limits_{Y\in K_{p}} {}^t\!XAY)\), et que l’on notera plus simplement \(\min\limits_{X}\max\limits_{Y} {}^t\!XAY\).
On montrerait de manière analogue que le nombre \(\max\limits_{Y\in K_{p}}(\min\limits_{X\in K_{n}} {}^t\!XAY)\) existe. Il est noté \(\beta (A)\) et on l’écrit plus simplement \(% \max\limits_{Y}\min\limits_{X} {}^t\!XAY\).
Soit \((X^{\prime },Y)\) appartenant à \(K_{n}\times K_{p}\). Montrer que : \(% \min\limits_{X\in K_{n}}f(X,Y)\leqslant \lambda (X^{\prime })\).
En déduire : \(\beta (A)\leqslant \alpha (A)\).
On considère dans cette question une partie \(\mathcal{C}\) de \(E_{p}\), convexe, fermée, bornée et non vide.
Montrer qu’il existe \(W\in \mathcal{C}\), tel que : \(\forall Y\in \mathcal{C},\ \left\Vert W\right\Vert \leqslant \left\Vert Y\right\Vert\).
Soit \(Y\) appartenant à \(\mathcal{C}\). On pose : \[\forall m \in [0,1],\ Z_m = \left( 1-m \right) W + m Y\]
Montrer que : \(\forall m \in \left] 0,1 \right[,\ \left \langle W, Y \right \rangle \geqslant \dfrac{2-m}{2 \left( 1-m \right)}% \left\Vert W\right\Vert ^{2}-\dfrac{m}{2 \left( 1- m \right)}\left\Vert Y\right\Vert ^{2}\).
En déduire que : \(\left \langle W, Y \right \rangle \geqslant \left\Vert W\right\Vert ^{2}\).
Dans cette question et jusqu’à la fin de cette partie on considère l’ensemble : \[\mathcal{C}=\{m \, {}^t\!AX+ \left( 1-m \right) Y,\ X\in K_{n},\ Y\in K_{p},\ m\in \lbrack 0,1]\}\]
Montrer que \(K_{n}\) est une partie convexe de \(E_{n}\).
Montrer que \(\mathcal{C}\) est une partie convexe et bornée de \(E_{p}\). On admet pour la suite que \(\mathcal{C}\) est une partie fermée de \(% E_{p}\).
On suppose dans cette question que le vecteur nul appartient à \(% \mathcal{C}\).
Montrer qu’il existe \(X_{0}\in K_{n},\;Y_{0}\in K_{p}\) et un réel \(\mu \leqslant 0\) tels que : \({}^t\!AX_{0}=\mu Y_{0}\).
Déterminer le signe de \({}^t\!X_{0}AY\) pour tout \(Y\in K_{p}\).
Déterminer le signe de \(\alpha (A)\).
Dans cette question on suppose que le vecteur nul n’appartient pas à \(% \mathcal{C}\).
Montrer qu’il existe un élément \(W\in \mathcal{C}\) tel que : \[\forall m\in \lbrack 0,1],\ \forall X\in K_{n},\ \forall Y\in K_{p},\ m\, {}^t\!XAW+ \left( 1-m \right) {}^t\!\,YW>0\]
On note \(w_{1},\dots ,w_{p}\) les coordonnées de \(W\) dans la base canonique de \(E_{p}\). Montrer que : \[\forall i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,p} \right]\kern-0.15em\right],\ w_i >0\]
Montrer que : \(\forall X\in K_{n},\ {}^t\!XAW>0\).
Montrer qu’il existe un vecteur \(W^{\prime }\in K_{p}\) tel que : \(% \forall X\in K_{n},\ {}^t\!XAW^{\prime }>0\).
Montrer que \(\beta (A)>0\).
On définit la matrice \(B\in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\) par \(% B=A-\beta (A)J\) où \(J\) est la matrice appartenant à \(M_{n,p}(\mathbb{R})\) dont tous les éléments sont égaux à \(1\).
Déterminer les valeurs \(\alpha (B)\) et \(\beta (B)\) en fonction de \(% \alpha (A)\) et \(\beta (A)\).
Déduire des questions précédentes que \(\alpha (A)=\beta (A)\).
Dans cette partie, \(A\) désigne
toujours une matrice de \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})\) et on
rappelle que pour tout \((X,Y)\)
appartenant à \(K_{n}\times K_{p}\) :
\(%
f(X,Y)=\) \({}^t\!XAY\).
On dit que le couple \((X_{0},Y_{0})\)
appartenant à \(%
K_{n}\times K_{p}\) est un point-selle pour \(f\) lorsque : \[\forall (X,Y)\in K_{n}\times
K_{p},\ f(X_{0},Y)\leqslant
f(X_{0},Y_{0})\leqslant f(X,Y_{0})\]
Montrer qu’il existe un point-selle pour \(f\) et que si \((X_{0},Y_{0})\) en est un, alors \(f(X_{0},Y_{0})=\alpha (A)\).
On considère la matrice réelle \(A=% \begin{pmatrix} a & b \\ c & d% \end{pmatrix}%\) et on définit la fonction \(g\) sur \(\mathbb{R}^{2}\) par : \[\forall (x,y)\in \mathbb{R}^{2},\quad g(x,y)=% \begin{pmatrix} x & 1-x% \end{pmatrix}% A% \begin{pmatrix} y \\ 1-y% \end{pmatrix}%\] On appelle point critique de \(g\) tout couple \((u,v)\in \mathbb{R}^{2}\) tel que \(\partial_1 g(u,v)= \partial_2 g(u,v)=0\).
Montrer que \(g\) admet un unique point critique \((x_{0},y_{0})\) si et seulement si \(a+d-b-c\not=0\). Déterminer dans ce cas \((x_{0},y_{0})\).
On suppose que \(a-b\) et \(d-c\) sont tous deux non nuls, de même signe et on suppose également que \(a-c\) et \(d-b\) sont tous deux non nuls et de même signe.
Montrer que dans ce cas \(g\) admet un unique point critique \(% (x_{0},y_{0})\) et que \((x_{0},y_{0})\in \lbrack 0,1]^{2}\).
Montrer que : \(\forall (x,y)\in
\mathbb{R}^{2},%
\;g(x,y)=g(x_{0},y_{0})+(x-x_{0})(y-y_{0})(a+d-b-c)\).
On pourra introduire les notations suivantes : \[X=%
\begin{pmatrix}
x \\
1-x%
\end{pmatrix}%
,\quad Y=%
\begin{pmatrix}
y \\
1-y%
\end{pmatrix}%
,\quad X_{0}=%
\begin{pmatrix}
x_{0} \\
1-x_{0}%
\end{pmatrix}%
,\quad Y_{0}=%
\begin{pmatrix}
y_{0} \\
1-y_{0}%
\end{pmatrix}%
,\quad U=X-X_{0},\quad V=Y-Y_{0}\]
En déduire que \(\left( \begin{pmatrix} x_{0} \\ 1-x_{0}% \end{pmatrix}% ,% \begin{pmatrix} y_{0} \\ 1-y_{0}% \end{pmatrix}% \right)\) est un point-selle pour l’application \(f\) définie sur \(K_{2}\times K_{2}\) par: \[\forall (X,Y)\in K_{2}\times K_{2},\quad f(X,Y)={}^t\!XAY\]
Quelle est la valeur de \(\alpha (A)\) ?
Deux entrepreneurs Primus et Secundus se partagent le marché d’un
produit sur un territoire commun, de sorte qu’au cours d’un trimestre,
si l’un voit sa part de marché varier de \(\Delta\) unités (nombre réel positif ou né
gatif) l’autre voit la sienne varier de \(-\Delta\) unités. Cette variation dé pend à
chaque trimestre des stratégies choisies par l’un et l’autre.
Primus a le choix entre deux stratégies notées \(P_{1}\) et \(P_{2}\), Secundus a le choix entre deux
stratégies \(S_{1}\) et \(S_{2}\). Lorsque Primus et Secundus
choisissent chacun l’une de leurs deux stratégies, leurs parts de marché
sont modifiées et le tableau suivant donne les variations trimestrielles
de la part de marché de Secundus, celles de Primus étant oppos ées.
\[
Variation trimestrielle de part de
marché de Secundus lorsque :Secundus choisit $S_{1}$ Secundus choisit $S_{2}$ Primus choisit $P_{1}$ $-2$ $3$ Primus choisit $P_{2}$ $1$ $-1$
Dans une négociation entre Primus et Secundus, si Secundus propose
par exemple \(S_{2}\), Primus propose
alors \(P_{2}\), mais dans ce cas
Secundus préfère \(S_{1}\) et Primus
souhaite alors \(P_{1}\) , ce qui
pousse Secundus à choisir de nouveau \(S_{2}\); finalement toute entente semble
être impossible.
Primus et Secundus décident alors de s’en remettre air hasard de la
manière suivante: les deux concurrents choisissent simultanément et
aléatoirement l’une des deux stratégies dont chacun dispose ; Primus
choisit la stratégie \(%
P_{1}\) avec la probabilité \(x\) (\(x\in
\lbrack 0,1]\)) et la stratégie \(P_{2}\) avec la probabilité \(1-x\), tandis que Secundus, indépendamment
du choix de Primus, choisit la stratégie \(S_{1}\) avec la probabilité \(y\), (\(y\in
\lbrack 0,1]\)) et la stratégie \(S_{2}\) avec la probabilité \(1-y\). On note, dans ces conditions, \(V_{x,y}\) la variable aléatoire égale à la
variation trimestrielle de la part de marché de Secundus.
Déterminer l’espérance de \(V_{x,y}\).
Établir qu’il existe des probabilités \(x_{0}\) et \(y_{0}\) telles que Primus (respectivement
Secundus) ne trouve aucun avantage à prendre \(x\) diffé rent de \(x_{0}\) (respectivement \(y\) différent de \(y_{0}\)), lorsque Secundus (respectivement
Primus) s’en tient à \(y_{0}\)
(respectivement à \(x_{0}\)).
Déterminer les valeurs de \(x_{0}\) et
\(y_{0}\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.