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Le but de ce problème est l’étude du modèle démographique « Proies et prédateurs » de Vito Volterra.
Dans tout le problème, \(\ln\) désigne la fonction logarithme népérien, \(\alpha, \beta, a, b\) désignent des réels strictement positifs, fixés une fois pour toutes, et on définit les fonctions \(f\) et \(g\) sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) par: \begin{align*} & \forall x \in \mathbb{R}_{+}^{*}, \ f(x)=-\alpha \ln(x) +\beta x \\ & \forall y \in \mathbb{R}_{+}^{*} ,\ g(y)=-a \ln (y) +b y \end{align*}
Enfin, on appelle \(F\) la fonction définie sur \(\left(\mathbb{R}_{+}^{*}\right)^{2}\) par: \[\forall(x, y) \in\left(\mathbb{R}_{+}^{*}\right)^{2}, \ F(x, y)=f(x)+g(y)\]
Étudier les variations de la fonction \(f\) et vérifier qu’elle admet un minimum que l’on note \(m_{f}\); on définit \(m_{g}\), mutato nomine, celui de la fonction \(g\).
On note \(f_{1}\) et \(f_{2}\) les restrictions respectives de \(f\) à \(\left.] 0, \alpha / \beta\right]\) et à \([\alpha / \beta,+\infty[\).
On note \(g_{1}\) et \(g_{2}\) les restrictions respectives de \(g\) à \(\left.] 0, a / b\right]\) et à \([a / b,+\infty[\).
Montrer que \(f_{1}\) définit une bijection de \(\left.] 0, \alpha / \beta\right]\) dans un ensemble que lon précisera. Énoncer des résultats analogues pour \(f_{2}, g_{1}\) et \(g_{2}\).
Montrer que \(F\) possède un minimum et préciser l’ensemble des points en lesquels celui-ci est atteint. On notera \(m_{F}\) le minimum de \(F\).
On définit pour tout réel \(c\), l’ensemble \(\Gamma_{c}=\left\{(x, y) \in\left(\mathbb{R}_{+}^{*}\right)^{2}, \ F(x, y)=c\right\}\). On se propose d’étudier, dans cette partie, la forme de la représentation graphique de \(\Gamma_{c}\) dans le plan muni d’un repère orthonormé.
Préciser \(\Gamma_{c}\) lorsque \(c<m_{F}\) et lorsque \(c=m_{F}\).
On suppose désormais \(c>m_{F}\).
Montrer qu’il existe deux réels strictement positifs \(u_{c}\) et \(v_{c}\) tels que : \[u_{c}<\frac{\alpha}{\beta}<v_{c} \quad \text{et} \quad m_{g}=c-f(u_{c})=c-f(v_{c})\]
On note \(K_{c}\) l’ensemble des réels strictement positifs \(x\) pour lesquels il existe au moins un réel strictement positif \(y\) tel que \(F(x, y)=c\). Montrer que \(K_{c}=\left[u_{c}, v_{c}\right]\).
Montrer que, dans le cas où \(x\) appartient à \(] u_{c}, v_{c}[\), il existe deux réels strictement positifs \(y\) tels que \(F(x, y)=c\) et exprimer ces nombres \(y\) à l’aide de \(f\), \(g_{1}^{-1}\) et \(g_{2}^{-1}\).
Préciser l’ensemble \(\left\{y \in \mathbb{R}_{+}^{*}, F(x, y)=c\right\}\) lorsque d’une part \(x=u_{c}\) et d’autre part \(x=v_{c}\).
Montrer qu’il existe deux fonctions \(h_{1}\) et \(h_{2}\) définies sur \(\left[u_{c}, v_{c}\right]\) telles que: \[\forall x \in\left[u_{c}, \ v_{\mathrm{c}}\right], \ h_{1}(x) \leqslant \frac{a}{b} \leqslant h_{2}(x)\] et : \[\Gamma_{c}=\left\{\left(x, h_{1}(x)\right), \ x \in\left[u_{c}, v_{c}\right]\right\} \cup\left\{\left(x, h_{2}(x)\right), \ x \in\left[u_{c}, v_{c}\right]\right\}\]
Justifier la représentation de \(\Gamma_{c}\) suivante. Préciser les positions des tangentes éventuelles aux points d’abscisses \(u_{c}, \alpha / \beta\) et \(v_{c}\).
On considère dans cette partie un réel \(\Delta\) et un entier \(n\) strictement positifs; on pose \(\delta=\dfrac{\Delta}{n}\). On considère également deux suites de nombres réels strictement positifs \(\left(S_{k}\right)_{0 \leqslant k \leqslant n}\) et \(\left(R_{k}\right)_{0 \leqslant k \leqslant n}\) telles que : \[\forall k \in\{0, \ldots, n-1\}, \ \begin{cases} \displaystyle \frac{S_{k+1}-S_{k}}{S_{k}}=\delta\left(a-b R_{k}\right) \\ \displaystyle \frac{R_{k+1}-R_{k}}{R_{k}}=\delta\left(-\alpha+\beta S_{k}\right) \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]
On pose: \[m=\min_{0 \leqslant k \leqslant n} S_{k}, \quad M=\max_{0 \leqslant k \leqslant n} S_{k}, \quad \ell=\min_{0 \leqslant k \leqslant n} R_{k}, \quad L=\max_{0 \leqslant k \leqslant n} R_{k}\]
Dans les premières lignes d’un programme écrit
Python, on a défini les constantes \(\alpha, \beta, a, b, n\), et \(\Delta\) précédemment introduites.
Écrire une fonction en langage Python,
d’en-tête def calcul(S0,R0): qui doit
retourner les valeurs de \(S_{n}\) et
\(R_{n}\) conformément aux relations
décrites au début de cette partie, sachant que \(\mathrm{S} 0=S_{0}\) et \(\mathrm{R} 0=R_{0}\).
Pour tout entier \(k\) appartenant à \(\{0, \ldots, n-1\}\), calculer \(\beta\left(S_{k+1}-S_{k}\right)+b\left(R_{k+1}-R_{k}\right)\) en fonction de \(S_{k}\) et \(R_{k}\).
Déterminer, pour tout \(p \in\{1, \ldots n\}\), \(\displaystyle \delta a \beta \sum_{k=0}^{p-1} S_{k}-\delta \alpha b \sum_{k=0}^{p-1} R_{k}\) en fonction de \(S_{p}, S_{0}, R_{p}\) et \(R_{0}\).
Montrer que, pour tout \(p \in\{1, \ldots, n\}\) : \[\alpha \sum_{k=0}^{p-1} \frac{S_{k+1}-S_{k}}{S_{k}}+a \sum_{k=0}^{p-1} \frac{R_{k+1}-R_{k}}{R_{k}}=\beta\left(S_{p}-S_{0}\right)+b\left(R_{p}-R_{0}\right)\]
Montrer que: \(\forall k \in\{0, \ldots, n-1\}\), \(\displaystyle \left|\ln( S_{k+1}) -\ln (S_{k}) -\frac{S_{k+1}-S_{k}}{S_{k}}\right| \leqslant \frac{\left(S_{k+1}-S_{k}\right)^{2}}{2 m^{2}}\).
En déduire que : \[\forall k \in\{0, \ldots, n-1\},\ \left|\ln (S_{k+1}) -\ln (S_{k}) -\frac{S_{k+1}-S_{k}}{S_{k}}\right| \leqslant \frac{\Delta^{2} M^{2} \left( a+b L \right)^{2}}{2 m^{2} n^{2}}\]
Montrer que pour tout \(p \in\{1, \ldots, n\}\) : \[\left|\ln (S_{p}) -\ln (S_{0})-\sum_{k=0}^{p-1} \frac{S_{k+1}-S_{k}}{S_{k}}\right| \leqslant \frac{\Delta^{2} M^{2} \left( a+b L \right)^{2}}{2 m^{2} n}\]
On pose \(c=-\alpha \ln (S_{0}) +\beta S_{0}-a \ln (R_{0}) +b R_{0}\). Déterminer un réel \(A\) s’exprimant à l’aide de \(\alpha, \beta, a, b, m\), \(M, \ell\) et \(L\) tel que pour tout \(p\) appartenant à \(\{0, \ldots, n\}\), on ait :
\[\left|-\alpha \ln (S_{p}) +\beta S_{p}-a \ln (R_{p}) +b R_{p}-c\right| \leqslant \frac{A}{n}\]
Dans cette partie on considère deux fonctions \(S\) et \(R\) définies sur \(\mathbb{R}_{+}\), de classe \(\mathcal C^{1}\) sur \(\mathbb{R}_{+}\), et à valeurs dans \(\mathbb{R}_{+}^{*}\). On suppose que \(S\) et \(R\) vérifient les relations suivantes: \[\forall t \in \mathbb{R}_{+}, \ \begin{cases} \displaystyle \frac{S^{\prime}(t)}{S(t)}=a-b R(t) \\ \displaystyle \frac{R^{\prime}(t)}{R(t)}=-\alpha+\beta S(t) \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases} \tag{$\mathscr E$}\]
Dans ces relations, \(S^{\prime}\) et \(R^{\prime}\) désignent respectivement les fonctions dérivées de \(S\) et \(R\).
Le plan est toujours muni d’un repère orthonormé.
Montrer qu’il existe un réel \(c\) tel que pour tout réel \(t\) positif le point de coordonnées \((S(t), R(t))\) appartient à \(\Gamma_{c}\), ensemble introduit dans la partie II.
En déduire que les fonctions \(S\) et \(R\) sont bornées.
Que peut-on dire des fonctions \(S\) et \(R\) si \(c=m_{F}\) ?
On suppose désormais, et ce jusqu’à la fin du problème, que \(c>m_{F}\).
Soit \(\theta\) un réel positif. On suppose que \(S^{\prime}\) ne s’annule pas sur \([\theta,+\infty[\).
Montrer que \(S\) admet une limite finie en \(+\infty\).
Montrer que cette limite est strictement positive.
Montrer qu’il existe un réel \(\lambda\) tel que \(R^{\prime}\) ne s’annule pas sur \([\lambda,+\infty[\). Que peut-on en déduire pour \(R\) ?
Montrer que \(S^{\prime}\) admet une limite en \(+\infty\).
Montrer que cette limite est nulle en considérant la nature de l’intégrale \(\displaystyle \int_{\theta}^{+\infty} S^{\prime}(t)\, \mathrm{d} t\).
Montrer également que : \(\displaystyle \lim _{t \rightarrow+\infty} R^{\prime}(t)=0\).
En considérant les limites de \(S\) et \(R\) en \(+\infty\), montrer qu’on arrive à une contradiction. En déduire que \(S^{\prime}\) s’annule en une infinité de points.
On considère dans cette question deux réels positifs \(\tau_{1}\) et \(\tau_{2}\) distincts tels que \(S^{\prime}(\tau_{1})=S^{\prime}(\tau_{2})=0\), et on suppose : \(\tau_{1}<\tau_{2}\).
Montrer qu’il existe \(\theta\) appartenant à \(\left] \tau_{1}, \tau_{2}\right[\) tel que \(R^{\prime}(\theta)=0\).
En considérant les valeurs de \(S\) en \(\theta\) et \(\tau_{1}\), montrer qu’il existe un réel \(\mu\) strictement positif et indépendant de \(\tau_{1}\) et \(\tau_{2}\) tel que \(\left|S(\theta)-S(\tau_{1})\right| \geqslant \mu\).
Montrer que \(S^{\prime}\) est bornée sur \(\mathbb{R}_{+}\).
Montrer qu’il existe un réel \(\eta\) strictement positif et indépendant de \(\tau_{1}\) et \(\tau_{2}\) tel que \(\left|\tau_{2}-\tau_{1}\right|>\eta\).
Montrer qu’on peut trouver trois réels positifs \(\theta_{1}, \theta_{2}, \theta_{3}\) tels que: \[\theta_{1}<\theta_{2}<\theta_{3} \quad \text{et} \quad S^{\prime}(\theta_{1})=S^{\prime}(\theta_{2})=S^{\prime}(\theta_{3})=0\]
Montrer que \(S^{\prime}\) ne s’annule qu’un nombre fini de fois sur \(\left[0, \theta_{3}\right]\).
En déduire qu’il existe trois réels positifs \(t_{1}, t_{2}, t_{3}\) tels que \(t_{1}<t_{2}<t_{3}\) tels que: \[\begin{cases} 0 \leqslant t_{1}<t_{2}<t_{3} \\ \forall t \in\left[t_{1}, t_{3}\right] ,\ S^{\prime}(t)=0 \Leftrightarrow t \in\left\{t_{1}, t_{2}, t_{3}\right\} \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]
Montrer que \(S^{\prime}\) est de signe constant sur \(] t_{1}, t_{2}[\) et sur \(] t_{2}, t_{3} [\) et que les signes respectifs de \(S^{\prime}\) sur ces deux intervalles sont opposés. On pourra considérer les valeurs de \(R\) en \(t_{1}, t_{2}, t_{3}\).
Dans la suite on supposera que \(S^{\prime}\) est positif sur \(] t_{1}, t_{2}[\) et donc négatif sur \(] t_{2}, t_{3}[\).
Montrer que \(S(t_{1})=S(t_{3})=u_{c}\) et \(S(t_{2})=v_{c}\).
Déterminer les valeurs de \(R(t_{1})\) et \(R(t_{3})\).
Sur un même tableau de variation faire apparaitre les variations de \(S\) et de \(R\) sur \(\left[t_{1}, t_{3}\right]\).
En déduire le sens de déplacement du point \(M_{t}\) de coordonnées \((S(t), R(t))\) sur la représentation graphique de \(\Gamma_{c}\) lorsque \(t\) décrit \(\left[t_{1}, t_{3}\right]\).
On admet que si \(\left(S_{1}, R_{1}\right)\) et \(\left(S_{2}, R_{2}\right)\) sont deux couples de fonctions définies sur \(\mathbb{R}_{+}\), de classe \(\mathcal C^{1}\) sur \(\mathbb{R}_{+}\), à valeurs dans \(\mathbb{R}_{+}^{*}\), vérifiant les relations \((\mathscr{E})\) et s’il existe un réel \(t_{0} \in \mathbb{R}_{+}\)tel que \(S_{1}\left(t_{0}\right)=S_{2}\left(t_{0}\right)\) et \(R_{1}\left(t_{0}\right)=R_{2}\left(t_{0}\right)\), alors : \[\forall t \in \mathbb{R}_{+}, \ S_{1}(t)=S_{2}(t) \quad \text{et} \quad R_{1}(t)=R_{2}(t)\]
Montrer que les fonctions \(S\) et \(R\) sont périodiques de période \(T=t_{3}-t_{1}\).
On considère un réel \(u\) positif.
Calculer \(\displaystyle \int_{u}^{u+T} \frac{S^{\prime}(t)}{S(t)} \, \mathrm{d} t\).
En déduire la valeur moyenne de \(R\) sur le segment \([u, u+T]\), c’est-à-dire \(\displaystyle \frac{1}{T} \int_{u}^{u+T} R(t) \, \mathrm{d} t\).
Déterminer de même la valeur moyenne de \(S\) sur le segment \([u, u+T]\).
On considère dans cette question deux fonctions \(K\) et \(H\) définies sur \(\mathbb{R}_{+}\), de classe \(C^{1}\) sur \(\mathbb{R}_{+}\)et à valeurs dans \(\mathbb{R}_{+}^{*}\). On considère également un réel \(\varepsilon\) appartenant à \(] 0, a[\). On suppose que \(K\) et \(H\) vérifient les relations suivantes: \[\forall t \in \mathbb{R}_{+}, \ \begin{cases} \displaystyle \frac{K^{\prime}(t)}{K(t)}=a-\varepsilon-b H(t) \\ \displaystyle \frac{H^{\prime}(t)}{H(t)}=-\alpha-\varepsilon+\beta K(t) \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases} \tag{$ \mathscr{E}^{\prime} $}\]
Dans ces relations, \(K^{\prime}\) et \(H^{\prime}\) désignent respectivement les fonctions dérivées de \(K\) et \(H\). Montrer qu’il existe un réel \(\Theta\) strictement positif tel que les fonctions \(K\) et \(H\) sont périodiques de période \(\Theta\) et déterminer la valeur moyenne de ces fonctions sur un segment de longueur égale à \(\Theta\).
On peut voir dans les calculs qui précèdent une représentation de l’évolution d’une population d’individus de deux types: les proies et les prédateurs. Ceux-ci se nourrissent uniquement de celles-là, et celles-là d’une autre nourriture disponible en abondance. Les proies, en l’absence de prédateurs, se développeraient de façon exponentielle, mais cette croissance est en fait réduite par la présence des prédateurs. En revanche, le nombre de prédateurs, en l’absence de proies, décroîtrait de manière exponentielle, (sans proies ils finiraient par disparaître), laquelle décroissance est compensée par la présence des proies.
Supposons alors que cette population soit une population de poissons constituée de proies et de prédateurs d’effectifs relatifs \(K(t)\) et \(H(t)\) à l’instant \(t\), (les fonctions \(K\) et \(H\) ontété introduites à la question 10) de la partie IV); la constante \(\varepsilon\) apparaissant dans les relations \(\left(\mathscr{G}^{\prime}\right)\) représente un taux de pêche identique pour les proies et les prédateurs.
Au cours de la première guerre mondiale, on a pu constater, dans l’Adriatique, qu’une diminution de la pêche était défavorable aux proies.
Montrer que les calculs de la question IV. 10 expliquent directement le phénomène observé.
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
