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Montrer que, pour tout nombre réel \(x>0\) et tout entier naturel \(k,\) l’intégrale \[\int_{1}^{{+\infty}}\dfrac{t^{k} \,\mathrm{e}^{-xt}}{1+t^{5}}\,\mathrm{d}t\] est convergente.
Pour quelles valeurs de l’entier \(k\) cette intégrale est-elle aussi convergente pour \(x=0\) ?
On se propose d’étudier la fonction \(F\) définie, pour \(x\geqslant 0,\) par \(\displaystyle F(x) =\int_{1}^{{+\infty}}\dfrac{ \,\mathrm{e}^{-xt}}{1+t^{5}}\,\mathrm{d}t.\)
Montrer que \(F\) est une fonction strictement positive, décroissante et que \[\lim_{x\longrightarrow +\infty }F(x) =0\]
Soit \(a\) un réel positif. Prouver que : \[\int_0^a \mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t= a + \int_0^a \left( t-a \right) \mathrm{e}^{-t}\,\mathrm{d}t\]
puis en déduire que : \[\left| \mathrm{e}^{-a} - 1 + a \right| \leqslant \frac{a^2}{2}\]
Montrer que, pour tout réel \(t\geqslant 0,\) tout réel \(x\geqslant 0\) et tout ré el \(h\geqslant 0,\) on a : \[\left\vert \,\mathrm{e}^{-t \left( x+h \right)}- \,\mathrm{e}^{-tx}+ th \,\mathrm{e}^{-tx}\right\vert \leqslant \dfrac{t^{2}h^{2}}{2} \,\mathrm{e}^{-tx}\]
On admet que l’on montrerait par un raisonnement analogue que, pour tout réel \(t\geqslant 0,\) tout réel \(x\geqslant 0\) et tout réel \(h\leqslant 0,\) on a : \[\left\vert \,\mathrm{e}^{-t \left( x+h \right)}- \mathrm{e}^{-tx}+ th \,\mathrm{e}^{-tx}\right\vert \leqslant \dfrac{t^{2}h^{2}}{2} \,\mathrm{e}^{-t \left( x+h \right)}\]
En déduire que pour tout réel \(x\geqslant 0\) et tout réel \(h\) tel que \(% x+h\geqslant 0,\) on a : \[\left\vert F(x+h)-F(x)+h\int_{1}^{{+\infty}}\dfrac{t \,\mathrm{e}^{-xt}}{1+t^{5}}% \,\mathrm{d}t\right\vert \leqslant \dfrac{h^{2}}{2}\int_{1}^{{+\infty}}\dfrac{t^{2}}{% 1+t^{5}}\,\mathrm{d}t\]
Montrer enfin que la fonction \(F\) est dérivable sur \(\left[ 0,+\infty % \right[\) et donner une expression de sa fonction dérivée \(F^{\prime }.\)
Montrer de même que \(F^{\prime }\) est dérivable sur \(\left[ 0,+\infty % \right[\) et que \(\displaystyle F''(x)=\int_{1}^{{+\infty}}\dfrac{t^{2} \,\mathrm{e}^{-xt}}{1+t^{5}% }\,\mathrm{d}t\).
On montrerait de même, et on admettra, que \(F''\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+\).
On se propose de montrer que la fonction \(\ln (F)\) est convexe.
Montrer que si \(a\), \(b\) et \(c\) sont trois nombres réels tels que, pour tout réel \(\lambda ,\) on ait l’inégalité : \(a\lambda ^{2}+2b\lambda +c\geqslant 0,\) alors, nécessairement, \(ac-b^{2}\geqslant 0.\)
En déduire que la fonction \(\ln (F)\) est une fonction convexe.
On dispose de deux jetons \(A\) et \(B\) que l’on peut placer dans deux cases \(% C_{0}\) et \(C_{1},\) et d’un dispositif permettant de tirer au hasard et de manière équiprobable, l’une des lettre \(a\), \(b\) ou \(c\).
Au début de l’expé rience, les deux jetons sont placés dans \(C_{0}.\) On procède alors à une sé rie de tirages indépendants de l’une des trois lettres \(a\), \(b\) ou \(c\).
À la suite de chaque tirage, on effectue l’opération suivante :
si la lettre \(a\) est tirée, on change le jeton \(A\) de case,
si la lettre \(b\) est tirée, on change le jeton \(B\) de case,
si la lettre \(c\) est tirée, on ne change pas le placement des jetons.
On suppose qu’il existe un espace probabilisé dont la probabilité est notée \(p\), qui modélise cette expérience et que l’on définit deux suites de variables aléatoires sur cet espace, \(\left( X_{n}\right) _{n\geqslant 0}\) et \(% \left( Y_{n}\right) _{n\geqslant 0}\), décrivant les positions respectives de \(A\) et \(B\), en posant \(X_{0}=Y_{0}=0\), et pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(X_{n}=0\) si à l’issue de la \(n^{i\grave{e}me}\) opération, le jeton \(A\) se trouve dans \(C_{0}\) et \(X_{n}=1\) s’il se trouve dans \(C_{1}\); de même, \(% Y_{n}=0\) si à l’issue de la \(n^{i\grave{e}me}\) opération, le jeton \(B\) se trouve dans \(C_{0}\) et \(Y_{n}=1\) s’il se trouve dans \(C_{1}.\)
Écrire un programme Python permettant
de simuler l’expérience, qui lira un entier \(N\) entré au clavier, représentant le
nombre de tirages à effectuer, et qui affichera à l’écran la liste des
couples observés \(\left(
X_{n},Y_{n}\right)\) pour \(1\leqslant
n\leqslant N.\)
Ce programme utilisera la fonction rd.randint qui
renvoie, pour un argument \(m\) de type
integer, un nombre entier de l’intervalle \(%
\left[\kern-0.15em\left[ {0,m-1}
\right]\kern-0.15em\right]\), tiré au hasard et de manière
équiprobable.
Cette fonction doit être initialisée par la commande
import numpy.random as rd.
Soit \(n\) un entier strictement positif. Déterminer la probabilité que, à l’issue de la \(n^{i\grave{e}me}\) opération, le jeton \(A\) n’ait jamais quitté \(C_{0}.\)
Pour tout entier naturel \(k\) supérieur ou égal à 2, on s’intéresse à l’événement \(D_{k}\ :\) à l’issue de la \(k^{i\grave{e}me}\) opération, le jeton \(A\) revient pour la première fois dans \(C_{0}.\) Déterminer la probabilité \(\mathbb{P}( D_{k})\).
Soit \(M\) la matrice \[M= \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2% \end{pmatrix}\]
Déterminer les valeurs propres de \(M\) et donner une base de vecteurs propres.
En déduire l’expression de \(M^{n}\), pour tout entier \(n\) strictement positif.
Calculer les probabilités \(\mathbb{P}( X_{1}=0)\) et \(\mathbb{P}( X_{1}=1) .\)
Déterminer une matrice \(Q\) telle que, pour tout entier naturel \(n,\) on ait l’égalité matricielle : \[\begin{pmatrix} \mathbb{P}(X_{n+1}=0) \\ \mathbb{P}(X_{n+1}=1)% \end{pmatrix} =Q \begin{pmatrix} \mathbb{P}(X_{n}=0) \\ \mathbb{P}(X_{n}=1)% \end{pmatrix}\]
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, calculer la matrice \(Q^{n}\) et en déduire la loi de la variable \(X_{n}.\)
On suppose que l’on définit sur le même espace probabilisé une suite de variables aléatoires \(\left( W_{n}\right) _{n\geqslant 0}\), à valeurs dans \(% \left\{ 0,1,2,3\right\}\), décrivant les positions des deux jetons \(A\) et \(B,\) en posant \(W_{0}=0,\) et pour tout entier naturel \(n\) non nul :
\(W_{n}=0,\) si à l’issue de la \(n^{i\grave{e}me}\) opération, \(A\) et \(B\) se trouvent tous les deux dans \(C_{0},\)
\(W_{n}=1,\) si à l’issue de la \(n^{i\grave{e}me}\) opération, \(A\) se trouve dans \(C_{0},\) et \(B\) dans \(C_{1},\)
\(W_{n}=2,\) si à l’issue de la \(n^{i\grave{e}me}\) opération, \(A\) se trouve dans \(C_{1},\) et \(B\) dans \(C_{0},\)
\(W_{n}=3,\) si à l’issue de la \(n^{i\grave{e}me}\) opération, les deux jetons \(% A\) et \(B\) se trouvent dans \(C_{1}.\)
Calculer la probabilité \(\mathbb{P}(W_{1}=i)\) pour \(i\) égal à 0, 1, 2 et 3.
Déterminer la matrice \(R\) telle que, pour tout entier naturel \(n,\) on ait l’égalité matricielle : \[\begin{pmatrix} \mathbb{P}( W_{n+1}=0) \\ \mathbb{P}( W_{n+1}=1) \\ \mathbb{P}( W_{n+1}=2) \\ \mathbb{P}( W_{n+1}=3) \end{pmatrix} =R \begin{pmatrix} \mathbb{P}( W_{n}=0) \\ \mathbb{P}( W_{n}=1) \\ \mathbb{P}( W_{n}=2) \\ \mathbb{P}( W_{n}=3) \end{pmatrix}\]
On considère les matrices :
\[I=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0% \end{pmatrix} ,U=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1% \end{pmatrix} ,V= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0% \end{pmatrix}\]
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, calculer \(U^{n}\) et \(V^{n}.\)
Établir, pour tout entier naturel non nul \(n,\) l’égalité \[\left( U-V\right) ^{n}=\sum_{k=0}^{n}\left( -1\right) ^{k} \binom nk U^{n-k}V^{k}\]
où par convention on pose : \(U^{0}=V^{0}=I.\)
En déduire, pour tout entier naturel non nul \(n,\) l’égalité \[\left( U-V\right) ^{n}=\dfrac{1}{4}\left[ 3^{n}-\left( -1\right) ^{n}\right] U+(-1)^{n}V^{n}\]
Pour tout entier naturel \(n\) non nul, calculer \(R^{n}\) et donner la loi de la variable \(W_{n}\) (on distinguera les cas \(n\) pair et \(n\) impair).
Déterminer, pour tout entier naturel \(n\) non nul, la covariance de \(% X_{n}\) et \(Y_{n}\) et calculer la limite de cette covariance quand \(n\) tend vers \(+\infty .\)
On suppose que chaque tirage, avec l’opération qui le suit, dure une minute. Ainsi, à l’issue de la \(n^{i\grave{e}me}\) opération, \(n\) minutes se sont écoulées depuis le début de l’expérience.
Soit \(n\) un entier naturel non nul. On suppose que le nombre de minutes écoulées pendant lesquelles le jeton \(A\) a séjourné dans \(C_{1}\), entre le début de l’expérience et l’issue de la \(% n^{i\grave{e}me}\) opération, est une variable aléatoire que l’on note \(% T_{n}.\)
Exprimer \(T_{n}\) à l’aide des variables \(X_{k}\), pour \(k\) compris entre 1 et \(n.\)
En déduire l’espérance \(\mathbb{E}( T_{n})\).
Calculer la limite de \(\dfrac{1}{n} \, \mathbb{E}( T_{n})\) quand \(n\) tend vers l’infini.
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
