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On considère les matrices : \[L=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad M= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]
Montrer que \(L\) et \(M\) sont inversibles et déterminer leurs inverses réciproques.
Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres associés de la matrice \(L\).
Déterminer de même les valeurs propres et les sous-espaces propres associés de \(M\).
Montrer qu’on peut trouver un vecteur \(X_{1}\) non nul de \(\mathcal{M}_{4,1}(\mathbb{R})\) vérifiant \(LX_1= MX_1=X_1\).
Déterminer, plus généralement, une base \(\mathcal{C}=\left(X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}\right)\) de \(\mathcal{M}_{4,1}(\mathbb{R})\) formée de vecteurs propres communs à \(L\) et \(M\).
On note alors \(P\) la matrice de passage de la base canonique à la base \(\mathcal{C}=\left(X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}\right)\) de \(\mathcal{M}_{4,1}(\mathbb{R})\). Expliciter les matrices \(L^{\prime} = P^{-1}LP\) et \(M'=P^{-1}MP\).
On se propose d’étudier l’ensemble \(\mathcal{F}\) des matrices \(N\) de \(\mathcal{M}_4(\mathbb{R})\) qui commutent avec \(L\) et \(M\), c’est-à-dire vérifiant \(LN=NL\) et \(MN=NM\).
Montrer que \(\mathcal{F}\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{M}_4(\mathbb{R})\) qui contient \(L\) et \(M\).
Montrer que si \(N \in \mathcal{F}\) et \(N'\in \mathcal{F}\), alors \(NN' \in \mathcal{F}\).
Soit \(N \in \mathcal{M}_4(\mathbb{R})\) et soit \(\Delta = P^{-1}NP\). Montrer que \(N \in \mathcal{F}\) si et seulement si \(\Delta\) est une matrice diagonale.
En déduire que \(\mathcal{F}\) est un sous-espace vectoriel de dimension 4 de \(\mathcal{M}_4(\mathbb{R})\) et que \((\mathrm{I}_4,L,M,LM)\) est une base de \(\mathcal{F}\).
On considère un entier naturel \(N\) supérieur ou égal à 3 et on note \(\{1,2, \ldots, N\}\) l’ensemble des entiers strictement positifs, inférieurs ou égaux à \(N\).
Une urne contient \(N\) boules numérotées de 1 à \(N\). On y effectue des tirages successifs d’une boule avec remise de la boule tirée après chaque tirage, jusqu’à obtenir pour la première fois un numéro déjà tiré. On note alors \(T_{N}\) le rang aléatoire de ce dernier tirage.
C’est ainsi, par exemple, que si on a obtenu successivement les numéros -1-5-4-7-3-5-, la variable \(T_{N}\) prend la valeur 6, alors que si on a obtenu -5-4-2-2- la variable \(T_{N}\) prend la valeur 4.
On admet qu’on définit ainsi une variable aléatoire sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\). Toutes les variables aléatoires introduites dans le problème seront supposées définies sur cet espace. Si \(Z\) est une telle variable, son espérance sera notée \(\mathbb{E}(Z)\) et sa variance \(\mathbb{V}(Z)\).
Les parties II et III sont indépendantes.
Dans cette question, on se place dans le cas particulier où l’entier \(N\) est égal à 3.
Déterminer la loi de \(T_{3}\) et calculer son espérance et sa variance.
On revient désormais au cas général où \(N\) est supérieur ou égal à 3.
Déterminer l’ensemble des valeurs que peut prendre \(T_{N}\).
Calculer \(\mathbb{P}( T_{N}=2), \mathbb{P}( T_{N}=3)\) et \(\mathbb{P}( T_{N}=N+1)\).
Prouver, pour tout entier \(k\) de \(\{1,2, \ldots, N\}\), les égalités \[\mathbb{P}( T_{N}>k)=\frac{N!}{(N-k)! \, N^{k}}=\prod_{i=0}^{k-1}\left(1-\frac{i}{N}\right)\]
En déduire la loi de la variable aléatoire \(T_{N}\).
Déterminer, pour tout entier \(k\) fixé, la limite \(\displaystyle \lim _{N \rightarrow+\infty} \mathbb{P}( T_{N}>k)\). Pouvait-on prévoir ce résultat?
On considère le programme Python
suivant.
import numpy.random as rd
import numpy as np
T=rd.randint(1,20001,20001)
U=0
coincide=False
while not coincide:
U=U+1
S=0
while S<U-1 and not coincide:
if T[S]==T[U]:
coincide=True
S=S+1
print("T=",T)
print("U=",U+1)
print("S=",S+1)
Que contient la variable T ?
Que représentent les valeurs affichées à la fin du programme?
Pourquoi est-il certain que le nombre de passages dans les
boucles while est fini ?
Une formule pour l’espérance de \(T_{N}\).
Justifier l’égalité suivante: \[\mathbb{E}(T_N)=\sum_{k=0}^{N} \mathbb{P}( T_{N}>k)\]
En déduire l’égalité : \[\mathbb{E}(T_N)=\frac{N!}{N^{N}} \sum_{h=0}^{N} \frac{N^{h}}{h!}\]
Un résultat utile sur les lois de Poisson.
Soit \(\left(X_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) une suite de variables aléatoires de Poisson indépendantes, de paramètre \(\lambda=1\) et soit, pour tout entier \(N \geqslant 1, \ Y_{N}=X_{1}+X_{2}+\cdots X_{N}\).
Quelle est la loi de \(Y_{N}\) ? Donner l’espérance et la variance de \(Y_{N}\).
Justifier l’égalité : \[\lim _{N \rightarrow+\infty} \mathbb{P}\! \left( \frac{Y_{N}-N}{\sqrt{N}} \leqslant 0 \right)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{0} \mathrm{e}^{-\frac{t^{2}}{2}} \mathrm{~d} t\]
En déduire l’égalité : \[\lim _{N \rightarrow+\infty} \mathbb{P}( Y_{N} \leqslant N)=\frac{1}{2}\]
En appliquant ce résultat, montrer que \(\mathbb{E}(T_N)\) est équivalent à \(\displaystyle \frac{N!\,\mathrm{e}^{N}}{2N^{N}}\) quand \(N\) tend vers l’infini.
Une expression de la variance de \(T_{N}\).
Montrer l’égalité : \[\mathbb{E}(T_{N}^{2})=\sum_{k=0}^{N} \left( 2 k+1 \right) \mathbb{P}( T_{N}>k)\]
Établir la relation \[\sum_{k=0}^{N} k \, \mathbb{P}( T_{N}>k)=\frac{N!}{N^{N}} \sum_{h=0}^{N} \left( N-h \right) \frac{N^{h}}{h!}\]
Montrer l’égalité : \[\sum_{h=0}^{N}(N-h) \frac{N^{h}}{h!}=\frac{N^{N+1}}{N!}\]
En déduire que la variance \(\mathbb{V}(T_N)\) de \(T_{N}\) et son espérance vérifient la relation \[\mathrm{V}(T_N)=2 N+\mathbb{E}(T_N)-\left(\mathbb{E}(T_N)\right)^{2}\]
En admettant le résultat classique : \(N!\sim N^{N} \,\mathrm{e}^{-N} \sqrt{2 \pi N}\) quand \(N\) tend vers l’infini, donner, en conclusion, des équivalents simples de \(\mathbb{E}(T_N)\) et \(\mathbb{V}(T_N)\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.