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On désigne par \(\mathbb{R}\) l’ensemble des nombres réels. On dit qu’une fonction \(f: \mathbb{R}\to \mathbb{R}\) est concave si, pour tout \((x, y) \in \mathbb{R}^{2}\) et tout réel \(\lambda \in[0,1]\), on a: \[f(\lambda x+\left( 1-\lambda \right) y) \geqslant \lambda f(x)+\left( 1-\lambda \right) f(y)\]
Dans la partie I on établit quelques propriétés très classiques des fonctions concaves utilisées dans la suite du problème. Les parties II et III sont consacrées à un modèle traitant de problèmes financiers.
On note \(\mathcal{E}\) l’ensemble des fonctions \(f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) de classe \(\mathcal C^{2}\) sur \(\mathbb{R}\).
Soit \(n \geqslant 1\) un entier naturel et \(f\) une fonction de \(\mathbb{R}^{n}\) vers \(\mathbb{R}\). On dit que \(f\) présente un maximum en un point \(x_{0}\) de \(\mathbb{R}^{n}\) si, pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}^{n}\), on a \(f(x) \leqslant f\left(x_{0}\right)\).
Soit \(f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) une fonction concave. En s’appuyant sur un dessin, donner une interprétation graphique de la concavité de \(f\). Que peut-on dire de la fonction \(-f: x \rightarrow-f(x)\) ?
On considère dans cette question une fonction \(f \in \mathcal{E}\). Le but de cette question est de prouver que \(f\) est concave si et seulement si, pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(f^{\prime \prime}(x) \leqslant 0\).
On suppose que, pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(f^{\prime \prime}(x) \leqslant 0\). Établir que \(f\) est concave.
Réciproquement, on suppose que \(f\) est concave. Soit \(x \in \mathbb{R}\). Déterminer la valeur de la limite suivante: \[\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)+f(x-h)-2 f(x)}{h^{2}}\]
En déduire que \(f^{\prime \prime}(x) \leqslant 0\).
Soit \(f \in \mathcal{E}\) une fonction concave et \(x_{0}\) un réel tel que \(f^{\prime}(x_{0})=0\). Montrer que \(f\) présente un maximum en \(x_{0}\).
Soit \(g \in \mathcal{E}\). On suppose qu’il existe un réel \(\alpha\) strictement positif tel que, pour tout réel \(x\), on a: \(g^{\prime \prime}(x) \leqslant -\alpha\). Prouver que \(g\) présente un maximum sur \(\mathbb{R}\). Est-il unique en général ?
Exemple.
Déterminer toutes les fonctions \(f \in \mathcal{E}\) telles que, pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(f^{\prime \prime}(x)=-x^{2} \, \mathrm{e}^{-x}\) (on pourra intégrer par parties).
Parmi les fonctions de la question 5a, déterminer toutes celles présentant un maximum sur \(\mathbb{R}\).
Soit \(f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) une fonction concave, et \(p\) un entier naturel supérieur ou égal à 1. Soit \(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{p}\) des réels positifs ou nuls tels que \(\displaystyle \sum_{i=1}^{i=p} \lambda_{i}=1\), et \(x_{1}, \ldots, x_{p}\) des nombres réels. Établir que: \[f \! \left(\sum_{i=1}^{i=p} \lambda_{i} x_{i}\right) \geqslant \sum_{i=1}^{i=p} \lambda_{i} f\left(x_{i}\right)\]
Soit \(\Omega=\left\{\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}\right\}\) l’ensemble fini des résultats possibles susceptibles de se produire à la Bourse. On considère un investisseur \(\mathcal{S}\) se donnant, d’une part un espace probabilisé fini \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\) où \(\mathcal{A}\) désigne l’ensemble des parties de \(\Omega\), et d’autre part une fonction concave \(u \in \mathcal{E}\), dite « fonction d’utilité ». On suppose qu’entre deux variables (ou revenus) aléatoires définies sur \(\Omega\) et à valeurs réelles, \(W_{1}\) et \(W_{2}: \Omega \rightarrow \mathbb{R}\), \(\mathcal{S}\) préfère \(W_{1}\) à \(W_{2}\) si \(\mathbb{E}\!\left(u(W_{1}\right)) \geqslant \mathbb{E}\!\left(u(W_{2})\right)\), où \(\mathbb{E}\!\left(u(W_{1}\right))\) désigne l’espérance de la variable aléatoire \(u (W_{1})\).
Soit \(W: \Omega \rightarrow \mathbb{R}\) une variable aléatoire. Établir une inégalité entre \(\mathbb{E}(u(W))\) et \(u(\mathbb{E}(W))\). En déduire le choix de l’investisseur \(\mathcal{S}\) entre \(W\) et la variable aléatoire égale à la constante \(\mathbb{E}(W)\).
On considère maintenant un réel positif \(R_{0}\) et une variable aléatoire \(R_{1}: \Omega \rightarrow \mathbb{R}\). À chaque réel \(x\) on associe la variable aléatoire \(W(x): \Omega \rightarrow \mathbb{R}\) définie par \[W(x)= \left( 1-x \right) R_{0}+x R_{1}\]
L’investisseur \(\mathcal{S}\) se place en tant qu’acheteur ou vendeur de titres de deux natures, engageant globalement une somme unité. La décision \(x\) de l’investisseur \(\mathcal{S}\) consiste à engager cette somme unité, en négociant pour \(1-x\) des titres à revenu fixe \(R_{0}\) et pour \(x\) des titres à revenu aléatoire \(R_{1}\) (\(x\) étant quelconque, les sommes \(x\) ou \(1-x\) correspondent à un achat si elles sont positives, à une vente si elles sont négatives). La variable aléatoire \(W(x)\) représente donc le revenu associé à la décision \(x\).
L’investisseur suppose, dans cette partie II seulement, que la variable aléatoire \(R_{1}\) ne prend que deux valeurs: \(R_{0}+a\) avec probabilité \(\frac{1}{2}\) et \(R_{0}-b\) avec probabilité \(\frac{1}{2}\), où \(a\) et \(b\) sont deux réels strictement positifs fixés.
Donner, pour chaque réel \(x\), une expression simple de \(f(x)= \mathbb{E}(u(W(x)))\). La fonction \(f\) ainsi définie est-elle concave?
On suppose que la fonction dérivée \(u^{\prime}\) possède en \(+\infty\) (resp. \(-\infty\)) une limite finie strictement positive notée \(k_{1}\) (resp. \(k_{2}\)). Vérifier que \(k_{1} \leqslant k_{2}\).
On suppose que: \[\frac{k_{1}}{k_{2}}<\frac{a}{b}<\frac{k_{2}}{k_{1}}\]
Montrer que \(f\) présente un maximum sur \(\mathbb{R}\).
On suppose que \(f\) présente un maximum sur \(\mathbb{R}\). Montrer que: \[\frac{k_{1}}{k_{2}} \leqslant \frac{a}{b} \leqslant \frac{k_{2}}{k_{1}}\]
L’espace vectoriel \(\mathbb{R}^{3}\) est muni du produit scalaire usuel défini par: \(\langle x, y\rangle= \sum\limits_{i=1}^{i=3} x_{i} y_{i}\) pour tous vecteurs \(x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)\) et \(y=\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)\) de \(\mathbb{R}^{3}\). On note \(\mathcal{F}\) l’ensemble des fonctions de classe \(\mathcal C^{2}\) de \(\mathbb{R}^{3}\) vers \(\mathbb{R}\). Enfin, on dit qu’une fonction \(f: \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}\) est concave si, pour tout \(x, y\) de \(\mathbb{R}^{3}\) et tout réel \(\lambda \in[0,1]\), on a: \[f(\lambda x+\left( 1-\lambda \right) y) \geqslant \lambda f(x)+\left( 1-\lambda \right) f(y)\]
Prouver qu’une fonction \(f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}\) est concave si et seulement si, pour tous vecteurs \(x\) et \(h\) de \(\mathbb{R}^{3}\), la fonction \(\phi_{x, h}: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\), définie par \(\phi_{x, h}(t)=f(x+t h)\), est concave.
On reprend les notations de la question précédente et on suppose que \(f \in \mathcal{F}\). Les dérivées partielles du premier ordre de \(f\) sont notées \(\partial_1 f\), \(\partial_2 f\) et \(\partial_3 f\). De même, les dérivées partielles du second ordre de \(f\) sont notées \(\partial_{i,j}^2 f\), où \(i, j \in\{1,2,3\}\).
Soit \((x, h) \in \mathbb{R}^{3} \times \mathbb{R}^{3}\). Exprimer pour chaque réel \(t\), les dérivées première et seconde \(\phi_{x, h}^{\prime}(t)\) et \(\phi_{x, h}^{\prime \prime}(t)\), de l’application \(\phi_{x, h}\), en fonction des dérivées partielles de \(f\).
Soit \(x\) un vecteur de \(\mathbb{R}^{3}\), on note \(A_{x}\) la matrice carrée d’ordre trois à coefficients réels:
\[A_{x}=\left( \partial_{i,j}^2 f(x) \right)_{1 \leqslant i, j \leqslant 3}\]
Par abus d’écriture \(A_{x}\) désignera également l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\) de matrice \(A_{x}\) dans la base canonique de \(\mathbb{R}^{3}\). Montrer que si les valeurs propres de \(A_{x}\) sont négatives ou nulles alors, pour tout \(h\) de \(\mathbb{R}^{3}\), \(\left \langle A_{x}(h), h \right \rangle \leqslant 0\). La réciproque est-elle vraie ou fausse?
Montrer que \(f\) est concave si et seulement si, pour tout \(x \in \mathbb{R}^{3}\), les valeurs propres de \(A_{x}\) sont négatives ou nulles.
Déterminer les réels \(\lambda\) tels que la fonction \(f\) de \(\mathcal{F}\) définie par la relation: \[f(x_{1}, x_{2}, x_{3})=-x_{1}^{2}+2 \lambda x_{1} x_{3}-x_{2}^{2}+2 \lambda x_{2} x_{3}-x_{3}^{2}\]
soit concave.
Soit \(f\) une fonction concave de \(\mathcal{F}\) et \(y_{0} \in \mathbb{R}^{3}\), tels que \(\nabla f(y_0)=0\). Prouver que \(f\) présente un maximum en \(y_{0}\).
On considère dans cette question une fonction concave \(f\) de \(\mathcal{F}\) et \(c\) un nombre réel.
Montrer que si les trois conditions suivantes sont vérifiées: \[\partial_1 f (0,1, c) \leqslant 0, \quad \partial_2 f (0,1, c) \geqslant 0, \quad \partial_3 f(0,1, c)=0\]
alors \((0,1, c)\) maximise \(f\) sur l’ensemble \(\Lambda = \left[ 0,+\infty \right[ \times \left] -\infty, 1 \right] \times \mathbb{R}\), c’est-à-dire que pour tout \(\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in \Lambda, f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \leqslant f(0,1, c)\) (pour chaque \(\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in \Lambda\), on pourra considérer la fonction de la variable réelle \(t\), \(t \mapsto f(t x_{1}, 1+t\left(x_{2}-1\right), c+t\left(x_{3}-c\right))\)).
On suppose au contraire que l’une des trois conditions du a n’est pas vérifiée. Établir que \((0,1, c)\) ne maximise pas \(f\) sur \(\Lambda\).
Étude d’un autre modèle financier simplifié.
On considère un investisseur \(\mathcal{S}\), travaillant dans un univers boursier comme dans la partie II. Il se donne une fonction d’utilité concave \(u \in \mathcal{E}\) et un espace probabilisé fini \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\) où \(\mathcal{A}\) désigne l’ensemble des parties de l’ensemble fini \(\Omega=\left\{\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}\right\}\). On considère maintenant un réel positif \(R_{0}\) et trois variables aléatoires définies sur \(\Omega\), à valeurs réelles, \(R_{1}, R_{2}, R_{3}\).
Pour chaque \(y=\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3}\) on définit une nouvelle variable aléatoire sur \(\Omega\) en posant: \[W(y)=R_{0}+\sum_{k=1}^{3}\left(R_{k}-R_{0}\right) y_{k}\]
L’investisseur \(\mathcal{S}\) se place en tant qu’acheteur ou vendeur de titres de quatre natures, engageant globalement une somme unité. La décision \(y=\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)\) de l’investisseur \(\mathcal{S}\) consiste à engager cette somme unité, en négociant pour \(1-y_{1}-y_{2}-y_{3}\) des titres à revenu fixe \(R_{0}\) et pour \(y_{k}(k\) variant de 1 à 3) des titres à revenu aléatoire \(R_{k}\). La variable aléatoire \(W(y)\) représente donc le revenu associé à la décision \(y\). Les sommes \(y_{1}, y_{2}, y_{3}\) et \(1-y_{1}-y_{2}-y_{3}\) correspondent à un achat si elles sont positives, à une vente si elles sont négatives.
Exprimer \(f(y)= \mathbb{E}(u(W(y)))\) en fonction des valeurs de \(R_{1}, R_{2}\) et de \(R_{3}\) sur \(\Omega\). Établir que \(f\) est concave. Est-ce que \(f \in \mathcal{F}\) ?
On suppose que \(\mathcal{S}\) adopte les contraintes: \(y_{1} \geqslant 0, y_{2} \leqslant 1\).
Donner une condition nécessaire et suffisante sur le réel \(c\), pour que \((0,1, c)\) maximise \(f\) sur l’ensemble \(\Lambda\) défini à la question 13a.
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
