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Cet exercice a pour objet l’étude d’un espace vectoriel de matrices.
On note \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) l’ensemble des matrices carrées d’ordre 3 à coefficients réels et on considère les matrices : \[I=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad J=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad K=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]
On note \(i,j,k\), les endomorphismes de \(\mathbb{R}^{3}\) représentés respectivement par ces matrices dans la base canonique de \(\mathbb{R}^{3}\).
Déterminer les valeurs propres des matrices \(J\) et \(K\).
Montrer qu’on peut trouver une base de \(\mathbb{R}^{3}\) dans laquelle les endomorphismes \(j\) et \(k\) soient tous les deux diagonales.
Montrer que \(( I, J, K )\) est une famille libre de l’espace vectoriel \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\).
Dans toute la suite, on note \(E\) le sous-espace de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\) engendré par les éléments \(I\), \(J\) et \(K\).
Montrer que si \(A\) et \(B\) sont deux éléments de \(E\), leur produit est aussi dans \(E\).
Étant donnés trois réels \(x, y\) et \(z\), déterminer les valeurs propres de la matrice \[T=x I+y J+z K\]
Montrer qu’il existe trois suites \(\left(a_{n}\right)_{n \geqslant 1},\left(b_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) et \(\left(c_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) de réels telles que : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ J^{n}=a_{n} I+b_{n} J+c_{n} K\]
Donner l’expression du terme général de chacune de ces suites en fonction de \(n\).
On note \(( e_{1}, e_{2}, e_{3} )\) la base canonique de l’espace \(\mathbb{R}^{3}\). On définit une application \(\Phi\) de \(\mathbb{R}^{3}\) dans \(E\) en posant, pour \(V=x e_{1}+y e_{2}+z e_{3}\),
\[\Phi(V)=x I+y J+z K\]
Montrer que \(\Phi\) est un isomorphisme de \(\mathbb{R}^{3}\) sur \(E\).
Déterminer l’ensemble \(H\) des vecteurs \(V\) de \(\mathbb{R}^{3}\) tels que \(\Phi(V)\) soit une matrice non inversible. L’ensemble \(H\) est-il un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^{3}\) ?
On désigne par \(a\) un paramètre réel.
On note \(\mathcal{D}_{a}\) l’ensemble des nombres réels \(x\) vérifiant les conditions \(x>0\) et \(a \sqrt{x} \neq 3\) et on pose, pour tout \(x \in \mathcal{D}_{a}\) : \[f_{a}(x)=\frac{3-a}{3-a \sqrt{x}}\]
Montrer que la fonction \(x \mapsto f_{a}(x)\) est dérivable sur \(\mathcal{D}_{a}\) et calculer sa dérivée.
Étudier, en discutant suivant les valeurs du paramètre \(a\), les variations de la fonction \(f_{a}\). On donnera, dans chacun des cas \(a<0\), \(0<a<3\) et \(a>3\), le tableau de variations et l’allure de la courbe représentative de \(f_{a}\).
À l’aide des résultats précédents, montrer que, quand \(a<0\) et quand \(a>3\), l’équation \(f_{a}(x)=x\) admet une racine unique dans \(\mathcal{D}_{a}\).
On fixe, dans cette partie, \(a=1\).
Montrer que l’équation \(f_{1}(x)=x\) admet deux racines: la racine 1 et une racine \(\lambda_{1}>1\).
Préciser la position relative, dans le plan rapporté à un repère d’axes \((O x, O y)\), de la courbe représentative de la fonction \(f_{1}\) et de la droite d’équation \(y=x\).
Montrer que, pour tout réel \(\alpha\) vérifiant \(0<\alpha \leqslant \lambda_{1}\), la suite \(( \left.u_{n}\right)_{n \geqslant 0}\) définie par :
\[u_{0}=\alpha \quad \text{et} \quad \forall n \in \mathbb{N},\ u_{n+1}=f_{1}(u_{n})\]
est bien définie.
Pour chaque valeur de \(\alpha\) \((0<\alpha \leqslant \lambda_{1}\)) montrer que la suite obtenue est monotone et déterminer sa limite.
On revient maintenant au cas plus général où \(0<a<3\).
Résoudre l’équation d’inconnue \(z\) : \[a z^{3}-3 z^{2}+3-a=0 \tag{$*$}\] On admettra que les solutions de cette équation sont toutes différentes de \(\frac{9}{a^2}\).
Montrer que si \(x\) est racine de l’équation \(f_{a}(x)=x\), alors \(\sqrt{x}\) est racine de l’équation \((*)\).
En déduire les racines de l’équation \(f_{a}(x)=x\). Discuter, suivant les valeurs de \(a\), la position de ces racines l’une par rapport à l’autre.
On désigne par \(m\) un entier fixé supérieur ou égal à 2.
Une urne contient \(m\) boules numérotées de 1 à \(m\). On note \(E\) l’ensemble de ces boules et \(\mathcal{P}(E)\) l’ensemble des parties de \(E\).
Un dispositif permet d’effectuer le tirage au hasard d’une partie de ces boules, de telle manière que chacune des parties de \(E\) (c’est à dire chacun des éléments de \(\mathcal{P}(E)\), y compris la partie vide ou l’ensemble de toutes les boules) ait la même probabilité d’être tirée.
On effectue un tirage.
Quelle est la probabilité que la boule portant le numéro 1 appartienne à l’ensemble de boules tirées.
Pour tout entier \(i\) vérifiant \(1 \leqslant i \leqslant m\) on note \(A_{i}\) l’événement: « la boule portant le numéro \(i\) appartient à l’ensemble de boules tirées ». Les événements \(A_{i}\) sont-ils indépendants?
Quelle est l’espérance de la variable aléatoire égale au nombre de boules qui ont été tirées? Quelle est sa variance?
La probabilité de tirer un nombre pair de boules est-elle supérieure à la probabilité d’en tirer un nombre impair?
On effectue maintenant une suite de tirages de la forme précédente, en remettant dans l’urne l’ensemble des boules tirées, après chaque tirage.
Déterminer, pour tout entier \(k \geqslant 1\), la probabilité que la boule numéro \(i\) soit tirée pour la première fois au \(k^{\text {ième }}\) tirage.
On note \(T_{i}\) la variable aléatoire qui prend la valeur \(k\) \(( k\) entier supérieur ou égal à \(1\)) si la boule numéro \(i\) est tirée pour la première fois au \(k^{\text {ième }}\) tirage. Déterminer l’espérance de \(T_{i}\).
On admet, sans que la justification en soit demandée, que les variables aléatoires \(T_{1}, T_{2}, \ldots, T_{m}\) sont indépendantes. On note \(T\) le nombre minimum de tirages qu’il faut effectuer pour que chacune des \(m\) boules ait été tirée au moins une fois. Déterminer, pour tout entier \(k \geqslant 1\), la probabilité que \(T\) soit inférieure ou égale à \(k\). En déduire la loi de probabilité de la variable aléatoire \(T\).
On effectue maintenant une suite de tirages, sans remettre dans l’urne, après chaque tirage, les boules tirées. Chaque tirage consiste encore à prendre au hasard une partie des boules qui restent dans l’urne, chacune des parties de l’ensemble des boules restantes ayant la même probabilité d’être tirée.
Calculer la probabilité pour que les \(m\) boules soient toutes tirées en au plus deux tirages. Calculer la probabilité pour que les \(m\) boules soient toutes tirées en exactement deux tirages.
Pour tout entier \(k \geqslant 1\), déterminer plus généralement la probabilité pour que les \(m\) boules soient toutes tirées en au plus \(k\) tirages (on pourra raisonner par récurrence).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
