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Dans tout le problème, on désigne par \(n\) un entier naturel donné supérieur ou égal à 2 et par \(f\) une application de classe \(\mathcal{C}^{2 n}\) du segment \([-1,1]\) dans \(\mathbb{R}\).
On se propose d’établir une méthode de calcul approché de l’intégrale \(\displaystyle \mathcal{J}(f)=\int_{-1}^{1} f(t) \, \mathrm{d} t\).
Dans la partie I, on étudie le polynôme \(P_{n}(x)=\left(x^{2}-1\right)^{n}\), ses dérivées successives \(P_{n}^{(j)}\) et notamment sa dérivée \(n^{\text {eme }}\) : \(P_{n}^{(n)}\).
La partie II propose l’étude de deux procédés d’interpolation polynomiale de la fonction \(f\). Le premier permet de définir la méthode utilisée pour le calcul d’une valeur approchée de \(\mathcal{I}(f)\), le second de majorer l’erreur commise.
Étude des racines de \(P_{{n}}\) et de ses dérivées.
Établir l’existence, pour tout entier naturel \(j\) inférieur ou égal à \(n\), d’un polynôme \(Q_{j}\) tel que, pour tout nombre réel \(x\) : \[\begin{cases} P_{n}^{(j)}(x)=\left(x^{2}-1\right)^{n-j} Q_{j}(x) \\ Q_{j}(-1) \neq 0 \text { et } Q_{j}(1) \neq 0 \rule[0pt]{0pt}{15pt} \end{cases}\]
À l’aide du théorème de Rolle, dont on rappellera l’énoncé précis, montrer que le polynôme \(P_{n}^{\prime}\) admet au moins une racine dans l’intervalle \(] -1,1 [\) puis que le polynôme \(P_{n}^{\prime \prime}\) admet au moins deux racines distinctes dans l’intervalle \(]-1,1[\).
Établir que, pour tout entier naturel \(j\) compris entre 1 et \(n\), le polynôme \(P_{n}^{(j)}\) admet au moins \(j\) racines distinctes dans l’intervalle \(] -1,1[\).
En déduire que le polynôme \(P_{n}^{(n)}\) admet exactement \(n\) racines réelles distinctes et que celles-ci appartiennent à l’intervalle \(]-1,1[\).
Dans toute la suite du problème, ces racines sont notées \(r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n}\) avec : \[-1<r_{1}<r_{2}<\ldots<r_{n}<1\]
Calcul d’une intégrale auxiliaire.
On pose, pour tout couple \((p, q)\) d’entiers naturels : \[W(p, q)=\int_{-1}^{1}(t-1)^{p}(t+1)^{q} \, \mathrm{d} t\]
À l’aide d’une intégration par parties, établir une relation entre \(W(p+1, q-1)\) et \(W(p, q)\) lorsque \(q \geqslant 1\).
En déduire que : \(\displaystyle W(n, n)=(-1)^{n} \frac{2^{2 n+1}(n !)^{2}}{(2 n+1) !}\).
Calcul d’intégrales associées au polynôme \(P_{n}\) et à ses dérivées.
Dans cette question, on désigne par \(Q\) un polynôme à coefficients réels.
Établir, à l’aide d’intégrations par parties successives, l’égalité suivante : \[\int_{-1}^{1} Q(t) P_{n}^{(n)}(t)\, \mathrm{d} t=(-1)^{n} \int_{-1}^{1} Q^{(n)}(t) P_{n}(t)\, \mathrm{d} t\]
Quelle est la valeur de l’intégrale \(\displaystyle \int_{-1}^{1} Q(t) P_{n}^{(n)}(t) \, \mathrm{d} t\) lorsque \(Q\) est de degré strictement inférieur à \(n\) ?
Expliciter \(P_{n}^{(2 n)}\) puis exprimer \(\displaystyle \int_{-1}^{1}\left(P_{n}^{(n)}(t)\right)^{2} \, \mathrm{d} t\) en fonction de \(W(n, n)\) et obtenir ainsi sa valeur.
Polynôme d’interpolation de Lagrange de \(f\).
On pose désormais pour tout entier \(j\) compris entre 1 et \(n\) et pour tout nombre réel \(x\) : \[L_{j}(x)=\prod_{\substack{i=1 \\ i \neq j}}^{n} \frac{x-r_{i}}{r_{j}-r_{i}} \quad \text{et} \quad \lambda_{j}=\int_{-1}^{1} L_{j}(t) \, \mathrm{d} t\]
Calculer \(L_{j}(r_{i})\) en distinguant suivant que \(i\) est, ou non, égal à \(j\).
En déduire que \(\left(L_{1}, L_{2}, \ldots, L_{n}\right)\) est une base de l’espace vectoriel \(\mathbb{R}_{n-1}[X]\) des polynômes de degré strictement inférieur à \(n\).
Expliciter, dans la base précédente, un polynôme \(A_{n}\) de degré strictement inférieur à \(n\) tel que \(A_{n}(r_{j})=f(r_{j})\) pour tout entier \(j\) compris entre 1 et \(n\) et prouver qu’un tel polynôme est unique.
Établir l’égalité \(\displaystyle \int_{-1}^{1} A_{n}(t) \, \mathrm{d} t=\sum_{j=1}^{n} \lambda_{j} f(r_{j})\).
On se propose désormais de prendre pour valeur approchée de \(\displaystyle \mathcal{J}(f)=\int_{-1}^{1} f(t) \, \mathrm{d} t\) l’intégrale \(\displaystyle \mathcal{J}(A_{n})=\int_{-1}^{1} A_{n}(t) \, \mathrm{d} t\) que l’on notera \(\mathcal{J}_{n}(f)\) dans toute la suite du problème.
En d’autres termes, on prend pour valeur approchée de l’intégrale \(\mathcal{J}(f)\) le nombre réel \[\displaystyle \mathcal{J}_{n}(f)=\sum_{j=1}^{n} \lambda_{j} f(r_j)\]
Comparaison de \(\mathcal{J}(P)\) et de \(\mathcal{J}_{{n}}(P)\) lorsque \(P\) est un polynôme.
Dans cette question, on suppose que \(P\) est un polynôme dont le degré est noté \(\operatorname{deg}(P)\).
Par convention le degré du polynôme nul sera posé égal à \(-\infty\).
On suppose que \(\operatorname{deg}(P)<n\).
Comparer \(\mathcal{J}(P)\) et \(\mathcal{J}_{n}(P)\).
On suppose que \(\operatorname{deg}(P)<2 n\).
Justifier l’existence d’un couple \((Q, R)\) de polynômes tel que l’on ait : \[P=Q P_{n}^{(n)}+R \quad \text { et } \quad \operatorname{deg}(R)<n\]
Montrer que \(\operatorname{deg}(Q)<n\).
Déduire des résultats de la partie I que \(\mathcal{J}(P)=\mathcal{J}(R)\).
Comparer \(\mathcal{I}_{n}(R)\) et \(\mathcal{J}_{n}(P)\) puis \(\mathcal{J}(P)\) et \(\mathcal{I}_{n}(P)\).
Polynôme d’interpolation de Hermite de \(f\).
À tout polynôme \(H\) de l’espace vectoriel \(\mathbb{R}_{2 n-1}[X]\) des polynômes de degré strictement inférieur à \(2 n\), on associe l’élément \(\varphi(H)=\left(H(r_1), H^{\prime}(r_1), H(r_2), H^{\prime}(r_2), \ldots, H(r_n), H^{\prime}(r_n)\right)\) de \(\mathbb{R}^{2 n}\).
Établir que \(\varphi\) est une application linéaire de \(\mathbb{R}_{2 n-1}[X]\) dans \(\mathbb{R}^{2 n}\) et déterminer son noyau.
On rappelle qu’un polynôme non nul de degré \(d\) admet au plus \(d\) racines comptées avec leur ordre de multiplicité.
En déduire qu’il existe un polynôme \(B_{n}\) de degré strictement inférieur à \(2 n\) et un seul tel que \(B_{n}(r_j)=f(r_j)\) et \(B_{n}^{\prime}(r_j)=f^{\prime}(r_j)\) pour tout entier \(j\) compris entre 1 et \(n\).
Déduire des résultats précédents que \(\mathcal{J}(B_{n})=\mathcal{J}_{n}(B_{n})\) puis enfin que \(\mathcal{J}(B_{n})=\mathcal{J}_{n}(f)\).
Majoration de \(\left|\mathcal{J}(f)-\mathcal{J}_{n}(f)\right|\).
Soit \(M_{2 n}(f)\) le maximum (dont on justifiera l’existence) de \(\left|f^{(2 n)}(t)\right|\) lorsque \(t\) décrit le segment \([-1,1]\).
Dans cette question, on désigne par \(x\) un nombre réel donné appartenant au segment \([-1,1]\) et distinct des nombres \(r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n}\).
On envisage alors l’application \(g_{x}\) définie sur \([-1,1]\) par \[g_{x}(t)=f(t)-B_{n}(t)-\alpha\left(P_{n}^{(n)}(t)\right)^{2}\]
où \(\alpha\) est le nombre réel (dont on justifiera l’existence) tel que \(g_{x}(x)=0\).
Calculer \(g_{x}^{\prime}(r_1), g_{x}^{\prime}(r_2), \ldots, g_{x}^{\prime}(r_n)\).
En appliquant le théorème de Rolle à l’application \(g_{x}\) sur des intervalles convenables, prouver que \(g_{x}^{\prime}\) s’annule en au moins \(n\) points de \(]-1,1\left[\right.\) distincts de \(r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n}\).
Établir que \(g_{x}^{(2 n)}\) s’annule en au moins un point \(c\) appartenant au segment \([-1,1]\).
Expliciter \(g_{x}^{(2 n)}(t)\) et en déduire une expression de \(\alpha\) en fonction de \(f^{(2 n)}(c)\) et de \(n\).
À l’aide de l’égalité \(g_{x}(x)=0\), établir que \(\displaystyle f(x)-B_{n}(x)=\frac{(n !)^{2}}{((2 n) !)^{3}} \, f^{(2 n)}(c)\left(P_{n}^{(n)}(x)\right)^{2}\).
Prouver que, pour tout réel \(x\) de \([-1,1]\) : \[\left|f(x)-B_{n}(x)\right| \leqslant \frac{(n !)^{2}}{((2 n) !)^{3}} \, M_{2 n}(f)\left(P_{n}^{(n)}(x)\right)^{2}\]
On distinguera deux cas suivant que \(x\) est, ou non, égal à l’un des nombres réels \(r_{1}, r_{2}, \ldots, r_{n}\).
Déduire alors des résultats des parties I et II que : \[\left|\mathcal{J}(f)-\mathcal{J}_{n}(f)\right| \leqslant \frac{M_{2 n}(f)}{ \binom{2n}n ^{2}} \times \frac{2^{2 n+1}}{(2 n+1) !}\]
On considère dans cette question une application \(g\) à valeurs dans \(\mathbb{R}\) définie et de classe \(\mathcal{C}^{2 n}\) sur un segment \([a, b]\). On désigne par \(M_{2 n}(g)\) le maximum de \(\left|g^{(2 n)}(u)\right|\) lorsque \(u\) décrit le segment \([a, b]\).
En envisageant l’application \(f\) définie sur \([-1,1]\) par \(\displaystyle f(t)=g\! \left(\frac{a+b}{2}+t \frac{b-a}{2}\right)\), donner en fonction de \(a, b, n\) et \(M_{2 n}(g)\) un majorant de l’expression suivante : \[\left|\int_{a}^{b} g(u)\, \mathrm{d} u-\frac{b-a}{2} \sum_{j=1}^{n} \lambda_{j} \, g\! \left(\frac{a+b}{2}+r_{j}\, \frac{a-b}{2}\right)\right|\]
Étude d’un cas particulier.
Dans cette question, on suppose que \(n=2\).
Déterminer le polynôme \(P_{2}^{\prime \prime}\), ses racines \(r_{1}\) et \(r_{2}\), les polynômes \(L_{1}, L_{2}\) ainsi que les intégrales \(\lambda_{1}=\mathcal{I}(L_{1})\) et \(\lambda_{2}=\mathcal{J}(L_{2})\).
En appliquant la majoration obtenue au II.7.c., montrer que : \[\left|\int_{a}^{b} g(u) \, \mathrm{d} u-\frac{b-a}{2}\left(g\! \left(\frac{a+b}{2}-\frac{b-a}{2 \sqrt{3}}\right)+g\!\left(\frac{a+b}{2}+\frac{b-a}{2 \sqrt{3}}\right)\right)\right| \leqslant \frac{M_{4}(g)(b-a)^{5}}{4320}\]
On considère un entier \(p \geqslant 1\) et on subdivise le segment \([a, b]\) en \(p\) sous-segments de même longueur, dont on note les milieux \(c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{p}\).
En appliquant l’inégalité précédente à chacun de ces \(p\) sous-segments, majorer en fonction de \(p\) et \(M_{4}(g)\) l’expression suivante : \[\left|\int_{a}^{b} g(u)\, \mathrm{d} u-\frac{b-a}{2 p} \sum_{k=1}^{p}\left(g \! \left(c_{k}-\frac{b-a}{2 p \sqrt{3}}\right)+g \!\left(c_{k}+\frac{b-a}{2 p \sqrt{3}}\right)\right)\right|\]
Écrire un programme Python de calcul de
la somme précédente, les réels \(a\) et
\(b\), la fonction \(g\) ainsi que l’entier \(p\) étant supposés donnés.
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
