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Rappels, définitions et notations
Dans tout le problème, \(n\) désigne un entier naturel supérieur ou égal à \(2\) et on note \(\mathcal{B}=(e_1,e_2,\dots,e_n)\) la base canonique de l’espace vectoriel \(\mathbb{R}^n\).
On note \(\mathrm{I}_n\) la matrice identité de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et \(\mathrm{id}_n\) l’endomorphisme identité de \(\mathbb{R}^n\).
On note \(v\) le vecteur de \(\mathbb{R}^n\) défini par \(v=e_1+e_2+\cdots + e_n\) et \(V\) la matrice colonne de ses coordonnées dans la base \(\mathcal{B}\), c’est-à-dire la matrice de \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) dont les coefficients sont tous égaux à \(1\).
On rappelle que deux sous-espaces vectoriels \(F\) et \(G\) de \(\mathbb{R}^n\) sont dits supplémentaires dans \(\mathbb{R}^n\) (et on note \(\mathbb{R}^n=F \oplus G\)) si tout vecteur \(x\) de \(\mathbb{R}^n\) peut s’écrire de manière unique sous la forme \(x=x_F+x_G\) où \(x_F\) est un vecteur de \(F\) et \(x_G\) un vecteur de \(G\) ; avec ces notations, on rappelle que le projecteur sur \(F\) parallèlement à \(G\) est l’application \(p:x\mapsto x_F\).
On dit qu’une matrice \(M=(m_{i,j})_{1\leqslant i,j \leqslant n}\) de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) est stochastique si : \[\forall (i,j)\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]^2,\ m_{i,j} \geqslant 0 \quad \text{et} \quad \forall i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right],\ \sum_{j=1}^n m_{i,j} = 1\] On note \(\mathcal{S}_n\) l’ensemble des matrices stochastiques appartenant à \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).
Soit \((M_k)_{k\in\mathbb{N}}\) une suite d’éléments de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). Pour tout \(k\in\mathbb{N}\), on note \(M_k = (m_{i,j}(k))_{1\leqslant i,j \leqslant n}\). On dit que la suite \((M_k)_{k\in\mathbb{N}}\) converge vers la matrice \(M=(m_{i,j})_{1\leqslant i,j \leqslant n}\) de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) si : \[\forall (i,j)\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]^2,\ \lim_{k\to {+\infty}} m_{i,j}(k) =m_{i,j}\]
Dans ce cas, on note : \(\displaystyle \lim_{k\to {+\infty}} M_k =M\).
Dans tout le problème, on considère une matrice stochastique \(M\) appartenant à \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et on note \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^n\) associé à la matrice \(M\) dans la base \(\mathcal{B}\). Le but de ce problème est d’étudier la convergence de suites \((M^k)_{k \in\mathbb{N}}\) où \(M\) est une matrice stochastique.
On suppose, dans cette partie uniquement, que \(n=2\).
On suppose dans cette question uniquement que : \[M = \begin{pmatrix} 1/3 & 2/3\\ 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}\]
Déterminer deux réels \(a\) et \(b\) tels que \(M^2= aM+b \,\mathrm{I}_2\).
Prouver plus généralement que, pour tout \(k\in\mathbb{N}\), il existe deux réels \(a_k\) et \(b_k\) tels que \(M^k = a_k M + b_k \mathrm{I}_2\) et donner une expression de \(a_{k+1}\) et \(b_{k+1}\) en fonction de \(a_k\) et de \(b_k\).
Vérifier que la suite \((a_k)_{k\in\mathbb{N}}\) est une suite récurrente linéaire d’ordre \(2\) puis en déduire une expression de \(a_k\) et \(b_k\) en fonction de \(k\).
Prouver finalement que : \[\lim_{k\to {+\infty}} M^k = \begin{pmatrix} 3/7 & 4/7 \\ 3/7 & 4/7 \end{pmatrix}\]
On revient au cas général.
Justifier l’existence de deux réels \(a\) et \(b\) appartenant à \([0,1]\) et tels que : \[M= \begin{pmatrix} a & 1-a\\ 1-b & b \end{pmatrix}\]
Étudier la convergence de la suite \((M^k)_{k\in\mathbb{N}}\) lorsque \(a\) et \(b\) appartiennent à \(\{ 0,1\}\).
Dans la suite, on suppose désormais que \(a\) et \(b\) appartiennent à \(]0,1[\) et on note \(P\) le polynôme défini par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ P(x) = (x-1)(x-a-b+1)\]
Vérifier que \(P\) est un polynôme annulateur de \(M\).
Soit \(k\in\mathbb{N}\). Justifier l’existence d’un unique couple \((Q_k,R_k)\) de polynômes tels que : \[\forall x\in\mathbb{R},\ x^k = P(x) \, Q_k(x) + R_k(x) \quad \text{et} \quad \deg(R_k) \leqslant 1\] Déterminer explicitement le polynôme \(R_k\).
En déduire, pour tout \(k\in\mathbb{N}\), une expression de \(M^k\) puis prouver que la suite \((M^k)_{k\in\mathbb{N}}\) converge vers une limite que l’on précisera.
Dans cette partie uniquement, on considère des nombres réels \(a\) et \(b\) appartenant à \(]0,1[\) et tels que \(a+b=1\) et on suppose que : \[M=% \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ b & a & 0 \\ 0 & b & a% \end{pmatrix}%\]
On s’intéresse au programme Python suivant :
import numpy as np
import numpy.linalg as al
import numpy.random as rd
for i in range(1,4):
a=rd.random()
M=np.array([[1,0,0],[1-a,a,0],[0,1-a,a]])
print(al.matrix_power(M,100))
Une exécution de ce programme a renvoyé l’affichage suivant :
Quelle conjecture peut-on faire ?
Déterminer une base de \(\mathrm{Ker}(f -\mathrm{id}_3 )\).
Montrer que \((e_{2},e_{3})\) est une base de \(\mathrm{Im}(f - \mathrm{id}_3)\).
Établir que : \[\mathbb{R}^{3}=\mathrm{Ker}(f- \mathrm{id}_3 )\oplus \mathrm{Im}(f- \mathrm{id}_3 )\]
On note alors \(p\) le projecteur sur \(\mathrm{Ker}(f- \mathrm{id}_3 )\) parallèlement à \(\mathrm{Im}(f- \mathrm{id}_3 )\).
Que valent \(p(v), p(e_2)\) et \(p(e_3)\) ?
Déterminer la matrice \(P\) associée à \(p\) dans la base \(\mathcal{B}\).
Déterminer les valeurs propres de \(f\) et les sous-espaces propres associés.
L’endomorphisme \(f\) est-il diagonalisable ?
On considère la base \(\mathcal{B}^{\prime }=(v,e_{2},e_{3})\) de \(% \mathbb{R}^{3}\).
Déterminer la matrice \(T\) associée à \(f\) dans la base \(% \mathcal{B}^{\prime }\).
Calculer \(T^2\) et \(T^3\) puis déterminer plus généralement \(T^k\) pour tout \(k\in\mathbb{N}\).
Déterminer la matrice de passage \(Q\) de la base \(\mathcal{B}\) à la base \(\mathcal{B}^{\prime }\) et la matrice de passe \(R\) de la base \(\mathcal{B}'\) à la base \(\mathcal{B}\).
Déduire de ces résultats une expression de la matrice \(M^{k}\) pour tout \(k\in\mathbb{N}\).
Prouver finalement que la suite \((M^k)_{k\in\mathbb{N}}\) converge et préciser sa limite.
Dans cette partie, on suppose que \(n\) est supérieur ou égal à \(3\) et on suppose que les coefficients de \(M\) sont tous égaux à \(\frac{1}{n-1}\), sauf ses coefficients diagonaux qui sont égaux à \(0\) : \[M=% \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{n-1} & \dots & \frac{1}{n-1} \\ \frac{1}{n-1} & 0 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \frac{1}{n-1} \\ \frac{1}{n-1} & \dots & \frac{1}{n-1} & 0% \end{pmatrix}%\]
Déterminer une base de \(\mathrm{Ker}(f- \mathrm{id}_n)\).
Montrer que \((e_{1}-e_{2},e_{1}-e_{3},\dots ,e_{1}-e_{n})\) est une base de \(\mathrm{Im}(f- \mathrm{id}_n)\).
Établir que : \[\mathbb{R}^{n}=\mathrm{Ker}(f-\mathrm{id}_n)\oplus \mathrm{Im}(f-\mathrm{id}_n)\]
On note alors \(p\) le projecteur sur le sous-espace vectoriel \(\mathrm{Ker}(f-\mathrm{id}_n)\) parallèlement à \(\mathrm{Im}(f-\mathrm{id}_n)\) et \(q\) le projecteur sur le sous-espace vectoriel \(\mathrm{Im}(f-\mathrm{id}_n)\) parallèlement à \(\mathrm{Ker}(f-\mathrm{id}_n)\).
Prouver que : \[p+q=\mathrm{id}_n \quad \text{et} \quad p\circ q=q\circ p=0\]
Déterminer \(p(v)\), puis expliciter les matrices \(P\) et \(Q\) respectivement associées à \(p\) et \(q\) dans la base \(\mathcal{B}\).
Déterminer les valeurs propres de \(f\) et leurs sous-espaces propres associés.
L’endomorphisme \(f\) est-il diagonalisable?
Exprimer \(M\) comme combinaison linéaire de \(P\) et \(Q\).
En déduire une expression de la matrice \(M^{k}\) puis sa limite lorsque \(% k\) tend vers \(+\infty\).
Dans cette partie, \(n\) désigne un entier naturel supérieur ou égal à \(3\) et \(M\) une matrice stochastique appartenant à \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). On note encore \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^n\) canoniquement associé à la matrice \(M\) et on suppose que \(f\) est diagonalisable.
Montrer qu’une matrice \(M\) de \(M_{n}(\mathbb{R})\) à coefficients réels positifs ou nuls est stochastique si et seulement si \(MV=V\).
En déduire que, pour tout couple \((A,B)\) d’éléments de \(\mathcal{S}_{n}\), le produit \(AB\) appartient encore à \(\mathcal{S}_{n}\), de même que les puissances positives de \(A\).
Pour tout vecteur \(x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\) appartenant à \(\mathbb{R}^{n}\), on note : : \[\left| x \right| =\max (\left\vert x_{1}\right\vert ,\left\vert x_{2}\right\vert ,\dots ,\left\vert x_{n}\right\vert )\]
Justifier que : \[\forall (x,x') \in (\mathbb{R}^n)^2,\ \left| x + x' \right| \leqslant \left| x \right| + \left| x' \right|\]
Justifier que : \[\forall x\in\mathbb{R}^n,\ \forall \alpha \in\mathbb{R},\ \left| \alpha x \right| = \left| \alpha \right| \times \left| x \right|\]
Démontrer que : \[\forall x\in\mathbb{R}^n,\ \left| f(x) \right| \leqslant \left| x \right|\]
Prouver alors que : \[\forall k\in\mathbb{N},\ \forall x\in\mathbb{R}^n,\ \left| f^k(x) - x \right| \leqslant 2\left| x \right|\]
Soit \(y\) un élément de \(\mathrm{Im}(f-\mathrm{id}_n)\cap \mathrm{Ker}(f-\mathrm{id}_n)\).
Justifier l’existence d’un vecteur \(x\) de \(\mathbb{R}^n\) tel que \(y=f(x)-x\).
Pour tout \(k\in\mathbb{N}\), exprimer \(f^{k}(x)\) en fonction de \(k,x\) et \(y\).
En déduire que \(y\) est nul.
Justifier que : \[\mathrm{Ker}(f-\mathrm{id}_n)\oplus \mathrm{Im}% (f-\mathrm{id}_n)=\mathbb{R}^{n}\]
Démontrer que : \[\mathrm{Sp}(f) \subset [-1,1]\]
Justifier que \(1\) est valeur propre de \(f\).
Que peut-on dire de \(f\) si \(1\) est son unique valeur propre ?
Dans la suite, on suppose que \(f\) possède au moins une valeur propre différente de \(1\) et on note \(\lambda_{1}, \lambda_2,\dots,\) \(\lambda_p\) ses valeurs propres distinctes, avec la convention \(\lambda_{1} = 1\).
Prouver que : \[\forall i\in\left[\kern-0.15em\left[ {2,p} \right]\kern-0.15em\right],\ \mathrm{Ker}(f- \lambda_i \, \mathrm{id}_n) \subset \mathrm{Im}(f-\mathrm{id}_n)\]
Démontrer alors que : \[\mathrm{Ker}(f- \lambda_2 \, \mathrm{id}_n) \oplus \mathrm{Ker}(f- \lambda_3\, \mathrm{id}_n) \oplus \cdots \oplus \mathrm{Ker}(f- \lambda_p\, \mathrm{id}_n) = \mathrm{Im}(f-\mathrm{id}_n)\]
On complète une base \((v_{1},v_{2},\dots ,v_{q})\) de \(\mathrm{Ker}(f-\mathrm{id}_n)\) en une base \(\mathcal{B}^{\prime }=(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n})\) de vecteurs propres de \(f\). On note \(\mu _{1},\mu _{2},\dots ,\mu _{n}\) les valeurs propres de \(f\) (non nécessairement distinctes) respectivement associées à \(v_1,v_2,\dots,v_n\) et on suppose que : \[1=\left\vert \mu _{1}\right\vert \geqslant \cdots \geqslant \left\vert \mu _{r}\right\vert \geqslant \left\vert \mu _{r+1}\right\vert \geqslant \cdots \geqslant \left\vert \mu _{n}\right\vert\]
Enfin on note \(D\) la matrice associée à \(f\) dans la base \(\mathcal{B}^{\prime }\).
Prouver que la suite \((M^{k})_{k \in\mathbb{N}}\) converge si et seulement si la suite \((D^{k})_{k \in\mathbb{N}}\) converge.
En déduire que la suite \((M^{k})_{k \in\mathbb{N}}\) converge si et seulement si \(-1\) n’est pas valeur propre de \(M\).
Dans ces conditions, montrer que la limite de la suite \((M^{k})_{k \in\mathbb{N}}\) est la matrice associée dans la base \(\mathcal{B}\) au projecteur sur \(\mathrm{Ker}(f-\mathrm{id}_n)\) parallèlement à \(\mathrm{Im}(f-\mathrm{id}_n)\).
On suppose dans cette question que les coefficients de \(M\) sont tous strictement positifs.
Soit \(a\) et \(b\) deux réels. Montrer que \(\left| a+b \right|=\left| a \right|+ \left| b \right|\) si et seulement si \(a\) et \(b\) sont de même signe.
Plus généralement, soit \(p\) un entier supérieur ou égal à \(2\) et \(a_1,\dots,a_p\) des réels.
Prouver que \(\left| a_1+a_2 + \cdots + a_p \right| = \left| a_1 \right| + \left| a_2 \right| + \cdots + \left| a_p \right|\) si et seulement si \(a_1,\dots,a_p\) sont tous de même signe.
Établir que la suite \((M^{k})_{k \in\mathbb{N}}\) converge.
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.