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Soit \(a\) un nombre réel strictement supérieur à \(-1\). Pour tout nombre réel strictement positif \(x\), établir la convergence de l’intégrale : \[\int_{x}^{+\infty} t^{a} \,\mathrm{e}^{-t^{2} / 2} \,\mathrm{d}t\] puis celle de l’intégrale : \[\int_{0}^{+\infty} t^{a}\,\mathrm{e}^{-t^{2} / 2} \,\mathrm{d}t\]
L’objet de la partie I est l’étude de la fonction \(f_{a}\) définie sur \([0,+\infty[\) par la relation : \[f_{a}(x)=\int_{x}^{+\infty} t^{a}\, \mathrm{e}^{-t^{2} / 2} \,\mathrm{d}t\]
L’objet de la partie II est l’étude d’une méthode de calcul de valeurs approchées de la fonction \(\varphi\) définie pour \(a>-1\) par la relation : \[\varphi(a)=f_{a}(0)=\int_{0}^{+\infty} t^{a} \,\mathrm{e}^{-t^{2} / 2} \,\mathrm{d}t\]
Cas particulier \(a=0\).
Montrer que la fonction \(f_{0}\) est en fait définie sur \(\mathbb{R}\).
Interpréter la fonction \(\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} f_{0}\) en termes de probabilités.
En déduire la valeur de \(f_{0}(0)\), ainsi que les limites de \(f_{0}\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
Propriétés générales de \(f_{a}\).
Montrer que la fonction \(f_{a}\) est de classe \(\mathcal C^{\infty}\) sur l’intervalle \(] 0,+\infty[\).
Calculer les dérivées première et seconde de \(f_{a}\).
Déterminer le sens de variation de \(f_{a}\) sur \(] 0,+\infty[\).
Étudier la limite de \(f_{a}\) en \(+\infty\).
Étude du cas \(a>0\).
Montrer que \(f_{a}\) est de classe \(\mathcal C^{1}\) sur \([0, +\infty\left[\right.\). Calculer \(f_{a}^{\prime}(0)\).
Étudier la variation de la fonction \(f_{a}^{\prime}\).
Donner l’allure de la courbe représentative de \(f_{a}\).
Étude du cas \(-1<a<0\).
Montrer que la fonction \(f_{a}\) est continue sur \([0,+\infty[\). Cette fonction est-elle dérivable en 0 ?
Montrer que la fonction \(f_{a}\) est convexe.
Donner l’allure de la courbe représentative de \(f_{a}\).
Étude de \(f_{a}\) au voisinage de \(+\infty\) \((a>-1)\).
À l’aide d’une intégration par parties, montrer que, pour tout nombre réel strictement positif \(x\) : \[f_{a}(x)=x^{a-1}\, \mathrm{e}^{-x^{2} / 2}+(a-1) \int_{x}^{+\infty} t^{a-2} \, \mathrm{e}^{-t^{2} / 2} \,\mathrm{d}t\]
cette dernière intégrale étant convergente.
En déduire le signe de : \[f_{a}(x)-x^{a-1}\, \mathrm{e}^{-x^{2} / 2}\]
selon les valeurs de \(a\).
Établir que pour \(x>0\) et pour \(a>-1\) : \[\left|f_{a}(x)-x^{a-1} \, \mathrm{e}^{-x^{2} / 2}\right| \leqslant \frac{|a-1|}{x^{2}} \, f_{a}(x)\]
On pourra utiliser la décroissance de la fonction \(\displaystyle t \mapsto \frac{1}{t^{2}}\) sur l’intervalle \([x,+\infty[\).
En déduire qu’au voisinage de \(+\infty\) : \[f_{a}(x) \sim x^{a-1} \, \mathrm{e}^{-x^{2} / 2}\]
Établir la convergence de l’intégrale \(\displaystyle \int_{0}^{+\infty} f_{a}(x) \, \mathrm{d} x\).
À l’aide d’une intégration par partie, justifier l’égalité : \[f_{a+1}(0)=\int_{0}^{+\infty} f_{a}(x) \, \mathrm{d} x\]
Déduire également de la question c que si \(-1<a \leqslant 1\) et \(x>0\) : \[\left|f_{a}(x)-x^{a-1}\, \mathrm{e}^{-x^{2} / 2}\right| \leqslant 2 x^{a-3} \, \mathrm{e}^{-x^{2} / 2} \tag{1}\]
Pour tout nombre réel \(a>-1\), on pose : \[\varphi(a)=\int_{0}^{+\infty} t^{a} \, \mathrm{e}^{-t^{2} / 2} \,\mathrm{d}t\]
Pour tout nombre réel strictement positif \(x\), on écrit \(\varphi(a)\) sous la forme : \[\varphi(a)=g_{a}(x)+f_{a}(x) \quad \text { avec } \quad g_{a}(x)=\int_{0}^{x} t^{a} \, \mathrm{e}^{-t^{2} / 2} \,\mathrm{d}t\]
Relation fonctionnelle vérifiée par \(\varphi\).
Établir l’égalité : \[\varphi(a+2)= \left( a+1 \right) \varphi(a) \tag{2}\]
Pour tout nombre entier naturel \(n\), exprimer \(\varphi(a+2 n)\) en fonction de \(\varphi(a)\). Calculer \(\varphi(0)\) et \(\varphi(1)\). En déduire la valeur de \(\varphi(n)\) pour tout nombre entier naturel \(n\).
Développement en série de \(g_{a}(x)\).
Pour tout nombre entier naturel \(n\) et pour tout nombre réel \(t\) positif ou nul, on pose : \[S_{n}(t)=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k} \frac{t^{2 k+a}}{2^{k} k !}\]
Écrire la formule de Taylor avec reste intégral pour la fonction \(u \mapsto \mathrm{e}^{-u}\) sur l’intervalle \(\left[0, \frac{t^{2}}{2}\right]\) à l’ordre \(n\), où \(n \in \mathbb{N}\).
En déduire le signe de \(t^{a} \, \mathrm{e}^{-t^{2} / 2}-S_{n}(t)\) selon les valeurs de \(n\). En conclure que, pour tout nombre réel strictement positif \(t\) et pour tout couple \((p, q)\) de nombres entiers naturels : \[S_{2 p+1}(t) \leqslant t^{a} \, \mathrm{e}^{-t^{2} / 2} \leqslant S_{2 q}(t)\]
Montrer alors que, pour tout nombre entier naturel non nul \(n\) : \[\left|t^{a} \mathrm{e}^{-t^{2} / 2}-S_{n}(t)\right| \leqslant \frac{t^{2 n+a}}{2^{n} n !}\]
En conclure que, pour tout nombre entier naturel \(n\) et pour tout nombre réel strictement positif \(x\) : \[\left|g_{a}(x)-\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k} \frac{x^{2 k+a+1}}{2^{k} k ! \left( 2 k+a+1 \right)}\right| \leqslant \frac{x^{2 n+a+1}}{2^{n} n ! \left( 2 n+a+1 \right)} \tag{3}\]
Justifier l’écriture : \[g_{a}(x)=\sum_{k=0}^{+\infty}(-1)^{k} \frac{x^{2 k+a+1}}{2^{k} k ! \left( 2 k+a+1 \right)} \tag{4}\]
Méthode d’approximation de \(\varphi(a)\).
On suppose désormais que \(-1<a \leqslant 1\) (on remarque que, grâce à l’égalité (2), on peut toujours se ramener à ce cas).
On écrit : \[\varphi(a)=g_{a}(x)+f_{a}(x)\]
Grâce à l’inégalité (1), on choisit une valeur de \(x\) pour laquelle \(f_{a}(x)\) est suffisamment petit. Le nombre \(x\) étant ainsi fixé, on approche \(g_{a}(x)\) par une somme partielle de la série (4) : \[s_{n}(x)=x^{a+1} \sum_{k=0}^{n}(-1)^{k} \frac{x^{2 k}}{2^{k} k ! \left( 2 k+a+1 \right)}\]
On considère le programme Python
suivant :
import numpy as np
p=1
while 2*p**(-2)*np.exp(-p**2/2)>10**(-5):
p+=1
print(p)
n=1
f=1
while (25/2)**(n+1)/(n*f)>10**(-5):
n+=1
f*=n
print(n)
Son exécution renvoie les valeurs \(5\) et \(41\) (dans cet ordre). Que signifie ce résultat ?
En utilisant l’inégalité (1), montrer que pour \(x=5\) et pour tout élément \(a\) de \(] -1, 1]\) : \[\left|f_{a}(x)-x^{a-1} \mathrm{e}^{-x^{2} / 2}\right| \leqslant 10^{-5}\]
On prend donc désormais \(x=5\). Pour \(a \in \left]-1,1 \right]\) et pour tout nombre entier naturel \(k\), on pose : \[u_{k}=\frac{5^{2 k}}{2^{k} k ! \left( 2 k+a+1 \right)}\]
Exprimer \(u_{k+1}\) en fonction de
\(k\) et de \(u_{k}\) puis écrire un programme
Python calculant et affichant la valeur de
\(u_{n}\) pour des valeurs données de
\(n\) et de \(a\) entrées par l’utilisateur.
Grâce à l’inégalité (3), déterminer un nombre entier naturel \(n\) non nul tel que, pour tout élément \(a\) de \(]-1, 1]\) : \[\left|g_{a}(5)-s_{n}(5)\right| \leqslant 10^{-5}\]
La méthode proposée permet-elle, avec les choix effectués pour \(x\) et \(n\), d’obtenir des valeurs approchées de \(\varphi(a)\) à \(2 \times 10^{-5}\) près lorsque \(a\) est donné dans l’intervalle \(\left]-1,1\right]\) ?
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.