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Soit \(k\) un nombre entier naturel non nul.
L’objet du problème est l’étude de la série de terme général \(\frac{1}{p^{2k}}\), où \(p \geqslant 1\).
À l’aide de l’inégalité des accroissements finis, montrer que, pour tout nombre entier naturel non nul \(p\) : \[\frac{1}{(p+1)^{2 k}} \leqslant \frac{1}{2 k-1}\left(\frac{1}{p^{2 k-1}}-\frac{1}{(p+1)^{2 k-1}}\right) \leqslant \frac{1}{p^{2 k}} \tag{0}\]
En déduire la convergence de la série de terme général \(\frac{1}{p^{2k}}\) et un majorant simple de sa somme.
Dans la suite, pour tout nombre entier naturel non nul \(n\), on pose : \[S_{2 k}(n)=\sum_{p=1}^{n} \frac{1}{p^{2 k}}, \quad R_{2 k}(n)=\sum_{p=n+1}^{+\infty} \frac{1}{p^{2 k}} \quad \text { et } \quad S_{2 k}=\sum_{p=1}^{+\infty} \frac{1}{p^{2 k}}=S_{2 k}(n)+R_{2 k}(n)\]
Dans la partie I, on traite le cas particulier où \(k=1\) et l’on détermine \(S_{2}\).
Dans la partie II, on étudie d’abord une suite de polynômes et l’on généralise la méthode de la partie I pour déterminer \(S_{2 k}\).
Dans cette partie, on désigne par \(n\) un nombre entier naturel non nul.
On considère la fonction numérique définie sur l’intervalle \(]0, 1[\) par la relation : \[f_1(x) = \left(\frac{x^{2}}{2}-\frac{x}{2}\right) \cot( \pi x)\] où \(\cot\) désigne la fonction \(t\mapsto \frac{\cos(t)}{\sin(t)}\), bien définie sur \(]0,\pi[\).
Comparer \(f_{1}(x)\) et \(f_{1}(1-x)\). Interpréter graphiquement le résultat.
Déterminer les limites de \(f_{1}\) aux bornes de son ensemble de définition.
On prolonge désormais \(f_{1}\) par continuité en 0 et en 1.
Pour tout élément \(x\) de \(] 0,1[\), calculer \(f_{1}^{\prime}(x)\). Montrer que \(f_{1}\) est de classe \(\mathcal C^{1}\) sur l’intervalle \([0,1]\).
À l’aide d’une intégration par parties, montrer que, pour toute fonction \(f\) de classe \(\mathcal C^{1}\) sur \([0,1]\), il existe un nombre réel strictement positif \(a\) tel que : \[\forall n \in \mathbb{N}^{*}, \ \left|\int_{0}^{1} f(x) \sin (2 \pi n x)\,\mathrm{d}x\right| \leqslant \frac{a}{n}\]
En déduire la limite de \(\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \sin (2 \pi n x)\,\mathrm{d}x\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\).
Pour tout nombre entier naturel non nul \(p\), calculer l’intégrale : \[I_{p}=\int_{0}^{1}\left(\frac{x^{2}}{2}-\frac{x}{2}\right) \cos (2 \pi p x)\,\mathrm{d}x\]
Vérifier que, pour tout élément \(x\) de l’intervalle \(] 0,1[\) : \[2 \sum_{p=1}^{n} \cos (2 \pi p x) =\cot( \pi x)\, \sin( 2 \pi n x) +\cos (2 \pi n x)-1\]
On pourra multiplier chacun des deux membres par \(\sin (\pi x)\).
À l’aide des résultats précédents, établir que : \[\sum_{p=1}^{n} I_{p}=\frac{1}{2} \int_{0}^{1} f_{1}(x) \sin (2 \pi n x)\,\mathrm{d}x+\frac{1}{2} \int_{0}^{1}\left(\frac{x^{2}}{2}-\frac{x}{2}\right) \cos (2 \pi n x) \,\mathrm{d}x-\frac{1}{2} \int_{0}^{1}\left(\frac{x^{2}}{2}-\frac{x}{2}\right) \mathrm{d}x\]
En faisant tendre \(n\) vers \(+\infty\), déduire de l’égalité précédente que : \[S_{2}=\frac{\pi^{2}}{6}\]
On se propose dans cette question de comparer \(S_{2}(n), S_{2}(n)+\frac{1}{n}\) et \(\frac{\pi^2}{6}\).
Écrire un programme Python de calcul de
\(S_{2}(n)\) lorsque l’entier \(n\) est donné.
À l’aide de l’inégalité (0), prouver que : \[0 \leqslant \frac{\pi^{2}}{6}-S_{2}(n) \leqslant \frac{1}{n} \quad \text { et } \quad 0 \leqslant S_{2}(n)+\frac{1}{n}-\frac{\pi^{2}}{6} \leqslant \frac{1}{n^{2}}\]
Écrire un programme Python renvoyant
une valeur approchée de \(\frac{\pi^2}{6}\) à \(10^{-4}\) près.
On se propose d’étudier les suites \(\left(Q_{n}\right)\) de polynômes à coefficients réels satisfaisant aux trois propriétés suivantes : \begin{align*} Q_{0} & =1 \\ \forall n \geqslant 1, \ Q_{n}^{\prime} & =Q_{n-1} \\ \forall n \geqslant 2, \ Q_{n}(1) & =Q_{n}(0) \end{align*}
Établir qu’il existe une suite \(\left(r_{n}\right)\) de nombres rationnels et une seule telle que: \[r_{0}=1 \quad \text { et pour } n \geqslant 2: \quad \sum_{j=0}^{n-1} \frac{r_{j}}{(n-j) !}=0\]
Expliciter \(r_{1}, r_{2}, r_{3}\) et \(r_{4}\) sous forme de fractions irréductibles.
On considère désormais la suite \(\left(P_{n}\right)\) de polynômes définie par \[P_{n}(X)=\sum_{j=0}^{n} \frac{r_{j}}{(n-j) !} \, X^{n-j}\]
Montrer que la suite \(\left(P_{n}\right)\) vérifie les propriétés (1), (2) et (3). Expliciter \(P_{1}, P_{2}, P_{3}\) et \(P_{4}\).
On considère une suite \(\left(Q_{n}\right)\) de polynômes vérifiant les propriétés (1), (2) et (3).
Prouver que, pour tout nombre entier naturel \(n\) : \[Q_{n}(X)=\sum_{j=0}^{n} \frac{Q_{j}(0)}{(n-j) !} X^{n-j}\]
Montrer que la suite \(\left(Q_{n}(0)\right)\) vérifie :
\[Q_{0}(0)=1 \quad \text { et pour } n \geqslant 2: \quad \sum_{j=0}^{n-1} \frac{Q_{j}(0)}{(n-j) !}=0\]
En déduire que, pour tout nombre entier naturel \(n\), \(Q_{n}=P_{n}\).
En considérant la suite de polynômes \(\left((-1)^{n} P_{n}(1-X) \right)\), établir que, pour tout nombre entier naturel \(n\) : \[P_{n}(X)=(-1)^{n} P_{n}(1-X)\]
En déduire que, pour tout nombre entier naturel non nul \(k\), \(r_{2 k+1}=0\). Calculer \(r_{6}\).
Pour tout nombre entier naturel \(k \geqslant 2\), on considère la fonction \(f_{k}\) définie sur l’intervalle \(] 0 , 1[\) par la relation: \[f_{k}(x)=\left(P_{2 k}(x)-r_{2 k}\right) \cot( \pi x )\]
Comparer \(f_{k}(x)\) et \(f_{k}(1-x)\).
Déterminer les limites de \(f_{k}\) aux bornes de son ensemble de définition.
On prolonge désormais \(f_{k}\) par continuité en 0 et en 1.
Prouver que \(f_{k}\) est de classe \(\mathcal C^{1}\) sur l’intervalle \([0,1]\).
Pour tout nombre entier naturel non nul \(p\), on considère les intégrales : \[J_{p}(k)=\int_{0}^{1} P_{2 k}(x) \cos (2 \pi p x)\,\mathrm{d}x\quad \text{et} \quad I_{p}(k)=\int_{0}^{1}\left(P_{2 k}(x)-r_{2 k}\right) \cos (2 \pi p x)\,\mathrm{d}x\]
Calculer \(J_{p}(1)\).
Exprimer \(J_{p}(k+1)\) en fonction de \(J_{p}(k)\). En déduire \(J_{p}(k)\) puis \(I_{p}(k)\).
En calculant de deux façons la somme : \[I_{1}(k)+I_{2}(k)+\cdots+I_{n}(k)\]
puis en faisant tendre \(n\) vers \(+\infty\), exprimer \(S_{2 k}\) en fonction de \(r_{2 k}\).
Retrouver ainsi l’expression de \(S_{2}\); calculer \(S_{4}\) et \(S_{6}\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
