G2E 2024 MathsBCPST

Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il en fait mention dans sa copie et poursuit sa composition. Dans ce cas, il indique clairement la raison des initiatives qu’il est amené à prendre. Les candidats doivent respecter les notations de l’énoncé et préciser, dans chaque cas, la numérotation de la question posée. Une grande attention sera apportée à la clarté de la rédaction et à la présentation des différents schémas.

PROBLÈME 1

Dans tout le problème, \(n\) désigne un entier naturel non nul.

On se place dans \(\mathbb{R}^n\) muni du produit scalaire canonique, on rappelle que si \(x=(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{R}^n\) et \(y=(y_1,\dots,y_n)\in\mathbb{R}^n\) sont deux vecteurs de \(\mathbb{R}^n\) alors leur produit scalaire canonique noté \((x|y)\) est défini par : \[(x|y)=\sum_{i=1}^nx_iy_i\]

On confondra les vecteurs de \(\mathbb{R}^n\) et les matrices colonnes de \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\) ainsi que les réels et les matrices carrées de \(\mathcal{M}_{1,1}(\mathbb{R})\).

Si \(A\) est une matrice, sa transposée est notée \(A^\top\). Si \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^n\), son supplémentaire orthogonal est noté \(E^\perp\).

On note \(S_n^+(\mathbb{R})\) l’ensemble des matrices réelles symétriques dont le spectre est inclus dans \(\mathbb{R}_+\), autrement dit : \[S_n^+(\mathbb{R})=\left\lbrace A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R}),\quad A^\top=A\ \text{ et }\ \mathrm{sp}(A)\subset\mathbb{R}_+\right\rbrace\]

L’objectif de ce problème est de démontrer l’appartenance à \(S_n^+(\mathbb{R})\) de certaines matrices.

La partie A est consacrée à l’étude d’exemples en petites dimensions. Dans la partie B, on fait le lien avec la notion de produit scalaire dans \(\mathbb{R}^n\), et dans la partie \(C\), on fait le lien avec la notion de covariance. Ces deux dernières parties ne sont pas indépendantes.

Partie A : Quelques exemples

1. Préciser, en justifiant, parmi les matrices ci-dessous lesquelles appartiennent à \(S_2^+(\mathbb{R})\) : \[A=\begin{pmatrix}0 & 2\\ -3 & 5\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}0 & -1\\ -1 & 0\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix},\quad D=\begin{pmatrix}2 & \sqrt{3}\\ \sqrt{3} & 4\end{pmatrix}\]

2. On se place dans \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) et on considère l’ensemble \(\mathcal{M}\) des matrices \(M(a,b)\) qui s’écrivent comme ci-dessous : \[\mathcal{M}=\left\lbrace M(a,b),\quad (a,b)\in\mathbb{R}^2\right\rbrace\quad\text{où } M(a,b)=\begin{pmatrix}a & b & 0\\ b & a & b\\ 0 & b & a\end{pmatrix}\]

   1. Montrer que \(\mathcal{M}\) est un sous-espace vectoriel engendré par une famille judicieusement choisie. Justifier que cette famille est libre et en déduire la dimension de \(\mathcal{M}\).

   2. Soit \((a,b)\in\mathbb{R}^2\). Déterminer deux vecteurs propres de \(M(a,b)\) sous la forme \((1,y,1)\) (avec \(y\in\mathbb{R}\)) puis un troisième vecteur propre orthogonal aux deux précédents.

   3. En déduire un réel \(r\geqslant0\) et une matrice \(P\) inversible telle que \(P^\top=P^{-1}\) et : \[\forall(a,b)\in\mathbb{R}^2,\ M(a,b)=P\begin{pmatrix}a & 0 & 0\\ 0 & a+br & 0\\ 0 & 0 & a-br\end{pmatrix}P^\top\]

   4. Déterminer une condition nécessaire et suffisante simple portant sur \(a\) et \(b\) pour que \(M(a,b)\) appartienne à \(S_3^+(\mathbb{R})\).

Partie B : Matrice de Gram

Soit une famille \((e_1,\dots,e_n)\) de \(n\) vecteurs de \(\mathbb{R}^n\), on note \(E=\mathrm{Vect}(e_1,\dots,e_n)\) et on appelle matrice de Gram de cette famille la matrice \(G\) définie par : \[G=\begin{pmatrix}(e_1|e_1) & (e_1|e_2) & \dots & (e_1|e_n)\\ (e_2|e_1) & (e_2|e_2) & \dots & (e_2|e_n)\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ (e_n|e_1) & (e_n|e_2) & \dots & (e_n|e_n)\end{pmatrix}\]

3. 1. Démontrer que pour tout \(x\in\mathbb{R}^n\) : \[x\in E^\perp\iff\big(\forall i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right],\ (x|e_i)=0\big)\]

   2. En déduire que pour tout \((x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{R}^n\) : \[(x_1,\dots,x_n)\in\mathrm{Ker}(G)\iff\sum_{i=1}^nx_ie_i\in E^\perp\]

   3. En déduire enfin que la famille \((e_1,\dots,e_n)\) est libre si et seulement si \(G\) est une matrice inversible.

4. Dans cette question, on cherche à prouver que \(G\in S_n^+(\mathbb{R})\) et on pose \(X=\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots\\ x_n\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\).

   1. Calculer le produit matriciel \(GX\) et démontrer que \(X^\top GX=(x'|x')\) où \(x'\) est un vecteur de \(\mathbb{R}^n\) à préciser.

   2. Soit \(\lambda\in\mathrm{sp}(G)\) et \(X\) un vecteur propre de \(G\) associé à cette valeur propre. En calculant de deux façons \(X^\top GX\), démontrer que \(\lambda\in\mathbb{R}_+\) et conclure.

Partie C : Matrice de covariance

Soient \((X_1,\dots,X_n)\) \(n\) variables aléatoires réelles définies sur un même espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{T},\mathbb{P})\) telles que pour tout \((i,j)\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]^2\), la covariance de \(X_i\) et \(X_j\), notée \(\mathrm{Cov}(X_i,X_j)\), existe. On rappelle que cette covariance vérifie : \[\mathrm{Cov}(X_i,X_j)=\mathbb{E}(X_iX_j)-\mathbb{E}(X_i)\,\mathbb{E}(X_j)\]

On appelle matrice de covariance de \((X_1,\dots,X_n)\) la matrice \(\Sigma\) définie par : \[\Sigma=\begin{pmatrix}\mathrm{Cov}(X_1,X_1) & \mathrm{Cov}(X_1,X_2) & \dots & \mathrm{Cov}(X_1,X_n)\\ \mathrm{Cov}(X_2,X_1) & \mathrm{Cov}(X_2,X_2) & \dots & \mathrm{Cov}(X_2,X_n)\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ \mathrm{Cov}(X_n,X_1) & \mathrm{Cov}(X_n,X_2) & \dots & \mathrm{Cov}(X_n,X_n)\end{pmatrix}\]

5. 1. Démontrer que : \[\forall(i,j,k)\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]^3,\ \forall x\in\mathbb{R},\ \mathrm{Cov}(X_i,X_j+xX_k)=\mathrm{Cov}(X_i,X_j)+x\,\mathrm{Cov}(X_i,X_k)\]

   2. En déduire que : \[\forall i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right],\ \forall x=(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{R}^n,\ \mathrm{Cov}\!\left(X_i,\sum_{j=1}^nx_jX_j\right)=\sum_{j=1}^nx_j\,\mathrm{Cov}(X_i,X_j)\]

6. 1. Justifier que \(\Sigma\) est une matrice symétrique réelle.

   2. En s’inspirant de la question 4 de la partie précédente, démontrer que \(\Sigma\in S_n^+(\mathbb{R})\).

PROBLÈME 2

L’objectif de la partie A de ce second problème est de calculer une intégrale généralisée, par des outils d’analyse (équivalent d’une suite, encadrement...).

Le résultat obtenu en partie A est utilisé en partie B pour calculer l’espérance et la variance du maximum et du minimum de deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois normales.

Partie A : Calcul d’une intégrale généralisée

Dans cette partie, on souhaite calculer (indépendamment de toute notion probabiliste) la valeur de l’intégrale ci-dessous : \[I=\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-x^2}\,\mathrm{d}x\]

1. En justifiant que \(\mathrm{e}^{-x^2}\leqslant\mathrm{e}^{-x}\) pour tout \(x\geqslant1\), prouver la convergence de l’intégrale précédente.

2. On pose, pour tout \(n\in\mathbb{N}\) : \[W_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^n t\,\mathrm{d}t\]

   1. Démontrer que : \[\forall n\in\mathbb{N},\ 0<W_{n+1}<W_n\]

   2. Par intégration par parties, démontrer que : \[\forall n\in\mathbb{N},\ W_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}W_n\]

   3. À l’aide d’une démonstration par récurrence, en déduire que : \[\forall n\in\mathbb{N}^\ast,\ nW_nW_{n-1}=\frac{\pi}{2}\]

   4. En utilisant 2.(a) et 2.(b), démontrer que \(W_n\underset{n\to+\infty}{\sim}W_{n-1}\) et en déduire que : \[W_n\underset{n\to+\infty}{\sim}\sqrt{\frac{\pi}{2n}}\]

3. 1. Démontrer que \(\ln(1+x)\leqslant x\) pour tout \(x\in\left]-1,{+\infty}\right[\).

   2. En déduire que : \[\forall n\in\mathbb{N}^\ast,\ \int_0^{\sqrt{n}}\left(1-\frac{x^2}{n}\right)^n\mathrm{d}x\leqslant\int_0^{\sqrt{n}}\mathrm{e}^{-x^2}\,\mathrm{d}x\leqslant\int_0^{\sqrt{n}}\left(1+\frac{x^2}{n}\right)^{-n}\mathrm{d}x\]

   3. En utilisant dans la première intégrale le changement de variable \(x=\sqrt{n}\sin t\) et dans la troisième intégrale le changement de variable \(x=\sqrt{n}\tan t\), en déduire que : \[\forall n\in\mathbb{N}^\ast,\ \sqrt{n}\,W_{2n+1}\leqslant\int_0^{\sqrt{n}}\mathrm{e}^{-x^2}\,\mathrm{d}x\leqslant\sqrt{n}\,W_{2n-2}\]

   4. En déduire enfin que \(I=\sqrt{\pi}\).

Partie B : Maximum et minimum

Dans cette partie, on se donne deux variables aléatoires \(X_1\) et \(X_2\) indépendantes suivant toutes les deux la même loi normale \(\mathcal{N}(0,1)\) et on note \(\varphi\) une densité de \(X_1\) et \(X_2\) et \(\Phi\) leur fonction de répartition.

On note par ailleurs \(Y=\max(X_1,X_2)\) et \(Z=\min(X_1,X_2)\).

4. Soit \(x\in\mathbb{R}\).

   1. Expliciter \(\varphi(x)\) et vérifier que \(\varphi'(x)=-x\varphi(x)\).

   2. Exprimer \(\Phi(x)\) à l’aide de \(\varphi\).

5. 1. Expliciter les fonctions de répartition de \(Y\) et de \(Z\) à l’aide de \(\Phi\).

   2. En déduire que \(Y\) et \(Z\) admettent des densités que l’on exprimera à l’aide de \(\Phi\) et \(\varphi\).

6. 1. Démontrer que \(Y\) admet une espérance si, et seulement si, l’intégrale ci-dessous est convergente : \[\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi'(x)\Phi(x)\,\mathrm{d}x\]

   2. À l’aide d’une intégration par parties et de \(I\) (définie en partie A), calculer cette dernière intégrale.

   3. En déduire que \(Y\) admet pour espérance : \[\mathbb{E}(Y)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\]

   4. En justifiant que \(Y+Z=X_1+X_2\), en déduire également l’espérance de \(Z\).

7. 1. À l’aide d’une intégration par parties, démontrer que \(Y^2\) admet une espérance égale à \(1\).

   2. En déduire que \(Y\) admet une variance que l’on déterminera.

8. 1. À nouveau par intégration par parties, démontrer que \(Z^2\) admet une espérance égale à \(1\).

   2. En déduire que \(Z\) admet une variance que l’on déterminera.

   3. \(Y\) et \(Z\) sont-elles indépendantes ?