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Durée : 4 heures. Les calculatrices sont interdites pour cette épreuve.
Sujet du concours G2E 2019.
Si, au cours de l’épreuve, le candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il en fait mention dans sa copie et poursuit sa composition. Dans ce cas, il indique clairement la raison des initiatives qu’il est amené à prendre. Les candidats doivent respecter les notations de l’énoncé et préciser, dans chaque cas, la numérotation de la question posée. Une grande attention sera apportée à la clarté de la rédaction et à la présentation des différents schémas. Les deux problèmes sont indépendants.
Dans tout le problème, \(\sigma\) désigne un réel strictement positif.
La partie A est consacrée à l’étude de trois fonctions, l’une d’entre elles étant une densité de probabilité. Cette dernière est une densité d’une variable aléatoire réelle construite dans la partie B en utilisant deux variables aléatoires réelles indépendantes suivant la même loi normale. On démontre dans la partie C que cette variable aléatoire réelle admet des moments de tous ordres. Après avoir donné une expression de ces moments, et à l’aide de deux autres suites, on obtient dans la partie D un équivalent du coefficient binomial \(\binom{2p}{p}\) lorsque \(p\) tend vers \({+\infty}\).
Les parties A, B, C et D sont largement indépendantes bien que la partie D utilise certains résultats (donnés dans l’énoncé) de la partie C.
On considère les trois fonctions définies respectivement sur \(\mathbb{R}\), \(\mathbb{R}\) et \(\mathbb{R}^\ast\) par : \[f_\sigma(x)=\begin{cases}0 & \text{si } x\leqslant0\\ \frac{x}{\sigma^2}\,\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} & \text{si } x>0\end{cases},\qquad g(x)=x\mathrm{e}^{-x},\qquad h(x)=\frac{2}{\mathrm{e} x}\]
\(\mathscr{C}_\sigma\) désigne la courbe représentative de \(f_\sigma\) et \(\mathscr{H}\) la courbe représentative de \(h\).
Démontrer que \(f_\sigma\) est une fonction de densité.
Démontrer que \(g\) admet un maximum que l’on déterminera.
En déduire que : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ f_\sigma(x)\leqslant h(x)\]
Étudier le cas d’égalité dans l’inégalité précédente puis montrer que pour tout \(\sigma\in\mathbb{R}_+^\ast\), les courbes \(\mathscr{C}_\sigma\) et \(\mathscr{H}\) ont une tangente commune dont on donnera une équation cartésienne.
Soit \(N_1\) une variable aléatoire réelle suivant la loi normale de paramètres \(0\) et \(\sigma^2\). On note \(M\) la variable aléatoire réelle définie par : \[M=N_1^2\]
En notant \(F_{N_1}\) la fonction de répartition de \(N_1\), démontrer que \(M\) est une variable aléatoire réelle à densité dont la fonction de répartition est définie par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ F_M(x)=\begin{cases}0 & \text{si } x\leqslant0\\ F_{N_1}\!\left(\sqrt{x}\right)-F_{N_1}\!\left(-\sqrt{x}\right) & \text{si } x>0\end{cases}\]
En déduire une densité de \(M\).
À l’aide du changement de variable \(t=\frac{\lambda}{2}\left(1+\sin\theta\right)\) (et en vérifiant avec soin les hypothèses du théorème utilisé) démontrer que : \[\forall\lambda>0,\ \int_0^\lambda\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t(\lambda-t)}}=\pi\]
Soit \(N_2\) une variable aléatoire réelle de même loi que \(N_1\) et indépendante de cette dernière. On note \(S\) et \(Z\) les variables aléatoires réelles définies par : \[S=M+N_2^2\quad\text{et}\quad Z=\sqrt{S}\]
On rappelle qu’une densité de la somme de deux variables aléatoires réelles indépendantes, chacune ayant pour densité \(f_X\) et \(f_Y\) est donnée par le produit de convolution : \[\forall x\in\mathbb{R},\ f_{X+Y}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(t)f_Y(x-t)\,\mathrm{d}t\]
Démontrer que \(S\) est une variable aléatoire réelle à densité dont une densité est donnée par la fonction : \[\forall x\in\mathbb{R},\ f_S(x)=\begin{cases}0 & \text{si } x\leqslant0\\ \frac{1}{2\sigma^2}\,\mathrm{e}^{-\frac{x}{2\sigma^2}} & \text{si } x>0\end{cases}\]
En déduire que \(Z\) est une variable aléatoire à densité dont une densité est \(f_\sigma\) (cf. partie A).
On considère dorénavant que \(\sigma=1\). Soit \(Z\) une variable aléatoire réelle dont \(f_1\) est une densité. Pour tout \(k\in\mathbb{N}\), on note \(u_k\) le nombre réel (s’il existe) : \[u_k=\mathbb{E}\!\left(Z^k\right)\]
Démontrer que \(u_0=1\) puis, à l’aide d’intégrations par parties, que \(u_1=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\) et \(u_2=2\).
En déduire que \(Z\) admet une espérance et une variance que l’on calculera.
Démontrer que \(u_k\) existe pour tout \(k\in\mathbb{N}\) en établissant la relation ci-dessous : \[\forall k\in\mathbb{N}^\ast,\ u_{k+1}=(k+1)u_{k-1}\]
En déduire que : \[\forall p\in\mathbb{N},\ u_{2p}=2^p\,p!\quad\text{et}\quad u_{2p+1}=\frac{(2p+1)!}{2^p\,p!}\sqrt{\frac{\pi}{2}}\]
En déduire enfin que : \[\forall k\in\mathbb{N},\ u_k\,u_{k+1}=(k+1)!\sqrt{\frac{\pi}{2}}\]
On considère enfin les suites définies par : \[\forall k\in\mathbb{N},\ v_k=\frac{k!}{u_k^2}\quad\text{et}\quad w_k=\frac{2}{\pi}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^k(t)\,\mathrm{d}t\]
Donner un équivalent simple de \(v_k\,v_{k+1}\) lorsque \(k\) tend vers \({+\infty}\).
Établir une relation de récurrence liant, pour tout \(k\in\mathbb{N}^\ast\), \(v_{k+1}\) et \(v_{k-1}\).
Calculer \(w_0\), \(w_1\) puis démontrer que la suite \(w\) vérifie la même relation de récurrence que \(v\).
En déduire que les suites \(v\) et \(w\) sont égales.
Démontrer que la suite \(w\) est décroissante.
En déduire que : \[\forall k\in\mathbb{N},\ \frac{k}{k+1}\leqslant\frac{v_{k+1}}{v_k}\leqslant1\]
En déduire également que \(v_{k+1}\underset{k\to+\infty}{\sim}v_k\) puis établir que : \[\forall p\in\mathbb{N},\ \binom{2p}{p}\underset{p\to+\infty}{\sim}\frac{4^p}{\sqrt{p\pi}}\]
Dans tout le problème \(n\) désigne un entier naturel.
Dans la partie A du problème, on s’intéresse à quelques propriétés d’un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\). On en cherche en particulier deux bases et on écrit la matrice de passage de l’une vers l’autre. Ces matrices de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) sont utilisées dans la partie B pour construire « par blocs » une matrice de \(\mathcal{M}_4(\mathbb{R})\) dont on calcule les puissances \(n\)-ièmes et dont on détermine la diagonalisabilité. Enfin, dans la partie C, on utilise une telle matrice de \(\mathcal{M}_4(\mathbb{R})\) pour étudier le déplacement d’un soldat dans un fort et en donner une interprétation géométrique.
Les parties A et B sont largement indépendantes mais la partie C utilise un résultat de la partie B.
On se place dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) et on considère l’ensemble de matrices défini par : \[\mathcal{E}=\left\lbrace M_{a,b}=\begin{pmatrix}a & b\\ b & a\end{pmatrix},\ (a,b)\in\mathbb{R}^2\right\rbrace\]
Justifier que toute matrice appartenant à \(\mathcal{E}\) est diagonalisable.
Démontrer que \(\mathcal{E}\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\).
Démontrer enfin que toutes les matrices de \(\mathcal{E}\) commutent entre elles.
Soient les quatre matrices : \[I=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix},\qquad J=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}\qquad U=\begin{pmatrix}\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{pmatrix},\qquad V=\begin{pmatrix}\frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{pmatrix}\]
Vérifier que \(\mathcal{B}=(I,J)\) est une base de \(\mathcal{E}\). Quelle est la dimension de \(\mathcal{E}\) ?
Quelles sont les coordonnées de \(M_{a,b}\) dans cette base \(\mathcal{B}\) ?
Démontrer que \(\mathcal{B}'=(U,V)\) est également une base de \(\mathcal{E}\) et déterminer la matrice de passage de \(\mathcal{B}\) vers \(\mathcal{B}'\).
Calculer \(U^n\) et \(V^n\) (pour \(n\neq0\)) et le produit \(UV\).
Déterminer enfin les coordonnées de \(M_{a,b}^n\) dans la base \(\mathcal{B}'\).
On considère la matrice \(A\in\mathcal{M}_4(\mathbb{R})\) définie par quatre « blocs » qui sont des matrices de \(\mathcal{E}\) (cf. partie A) : \[A=\begin{pmatrix}M_{c,0} & M_{a,b}\\ M_{0,0} & M_{d,0}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}c & 0 & a & b\\ 0 & c & b & a\\ 0 & 0 & d & 0\\ 0 & 0 & 0 & d\end{pmatrix}\]
On suppose que \(c=d\).
Quel est le spectre de \(A\) ?
Déterminer à quelle condition nécessaire et suffisante, \(A\) est diagonalisable.
On suppose que \(c\neq d\).
Démontrer que : \[\forall n\in\mathbb{N},\ A^n=\begin{pmatrix}M_{c^n,0} & \frac{d^n-c^n}{d-c}\,M_{a,b}\\ M_{0,0} & M_{d^n,0}\end{pmatrix}\]
Déterminer les deux sous-espaces propres de \(A\).
En déduire qu’il existe une matrice \(Q\in\mathcal{M}_4(\mathbb{R})\), que l’on écrira à l’aide de quatre « blocs » de \(\mathcal{E}\), et une matrice diagonale \(D\in\mathcal{M}_4(\mathbb{R})\) telles que : \[A=QDQ^{-1}\]
Un fort est constitué de quatre tours notées \(T_1\), \(T_2\), \(T_3\) et \(T_4\). Ce fort est gardé en permanence par un soldat et à chaque relève, le successeur remplace le soldat relevé à la tour où ce dernier se trouvait. Des passages permettent de se déplacer d’une tour à l’autre. On admet que, à chaque heure :
si le soldat de garde est en \(T_1\) alors il reste toujours en \(T_1\).
si le soldat de garde est en \(T_2\) alors il reste toujours en \(T_2\).
si le soldat de garde est en \(T_3\), alors il se rend en \(T_1\) avec une probabilité de \(\frac{3}{20}\).
si le soldat de garde est en \(T_3\), alors il se rend en \(T_2\) avec une probabilité de \(\frac{1}{20}\).
si le soldat de garde est en \(T_3\), alors il ne se rend jamais en \(T_4\).
si le soldat de garde est en \(T_4\), alors il se rend en \(T_1\) avec une probabilité de \(\frac{1}{20}\).
si le soldat de garde est en \(T_4\), alors il se rend en \(T_2\) avec une probabilité de \(\frac{3}{20}\).
si le soldat de garde est en \(T_4\), alors il ne se rend jamais en \(T3\).
On note \(X_n\in\mathcal{M}_{4,1}(\mathbb{R})\) la matrice colonne dont le \(i\)-ième coefficient (pour \(i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,4} \right]\kern-0.15em\right]\)) est la probabilité que le soldat de garde se trouve à l’heure \(n\) à la tour \(T_i\).
On note enfin \(\alpha_n\) le premier coefficient de \(X_n\), \(\beta_n\) son second coefficient et \(\gamma_n\) son troisième coefficient. En particulier, à l’instant initial, la position du soldat est donnée par \((\alpha_0,\beta_0,\gamma_0)\in[0,1]^3\) tel que \(0\leqslant\alpha_0+\beta_0+\gamma_0\leqslant1\).
Déterminer le quatrième coefficient de \(X_n\), noté \(\delta_n\), en fonction de \(\alpha_n\), \(\beta_n\) et \(\gamma_n\)..
Démontrer qu’il existe une matrice \(A\in\mathcal{M}_4(\mathbb{R})\) (à écrire à l’aide de quatre « blocs » de \(\mathcal{E}\)) telle que : \[\forall n\in\mathbb{N},\ X_{n+1}=AX_n\]
Expliciter \(A^n\) et en déduire une expression de \(X_n\) en fonction de \(\alpha_0\), \(\beta_0\), \(\gamma_0\) et \(n\).
On munit l’espace usuel d’un repère orthonormal \((O,\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k})\) et, pour tout \(n\in\mathbb{N}\) on note \(M_n\) le point de coordonnées \((\alpha_n,\beta_n,\gamma_n)\).
On rappelle que, si \(P_1\), \(P_2\), \(P_3\), \(P_4\) sont des points de l’espace et \(\lambda_1\), \(\lambda_2\), \(\lambda_3\), \(\lambda_4\) des réels de somme non nulle, le barycentre des points \(P_1\), \(P_2\), \(P_3\), \(P_4\) affectés des coefficients \(\lambda_1\), \(\lambda_2\), \(\lambda_3\), \(\lambda_4\) est l’unique point \(G\) tel que : \[\overrightarrow{OG}=\frac{1}{\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4}\left(\lambda_1\overrightarrow{OP_1}+\lambda_2\overrightarrow{OP_2}+\lambda_3\overrightarrow{OP_3}+\lambda_4\overrightarrow{OP_4}\right)\] Le point moyen des points \(P_1\), \(P_2\), \(P_3\), \(P_4\) est leur barycentre affecté de coefficients tous égaux.
Démontrer que \(M_n\) est situé à l’intérieur d’un tétraèdre \(\mathcal{T}\) dont on précisera les sommets.
Démontrer que \(M_n\) est barycentre des quatre sommets de \(\mathcal{T}\) et en préciser des coefficients.
Démontrer que si \(M_0\) est le point moyen des quatre sommets de \(\mathcal{T}\) alors : \[\lim_{n\to+\infty}\alpha_n=\frac{1}{2},\qquad\lim_{n\to+\infty}\beta_n=\frac{1}{2},\qquad\lim_{n\to+\infty}\gamma_n=0\] Interpréter ces limites en termes de position limite du point \(M_n\) et en termes probabilistes.
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
La loi de Rayleigh mène à un équivalent du coefficient binomial central par les intégrales de Wallis, puis des matrices par blocs modélisent les déplacements d'un soldat.
Le barycentre, absent du programme actuel, est défini dans l'énoncé de la partie C.