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Durée : 4 heures. Les calculatrices sont interdites pour cette épreuve.
Sujet du concours G2E 2016.
Si, au cours de l’épreuve, le candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il en fait mention dans sa copie et poursuit sa composition. Dans ce cas, il indique clairement la raison des initiatives qu’il est amené à prendre. Les candidats doivent respecter les notations de l’énoncé et préciser, dans chaque cas, la numérotation de la question posée. Une grande attention sera apportée à la clarté de la rédaction et à la présentation des différents schémas. Les deux problèmes sont indépendants.
\(n\) désigne un entier naturel supérieur ou égal à \(2\).
Dans tout le problème on munit \(\mathbb{R}^n\) de sa base canonique notée \((e_1,\dots,e_n)\) et de son produit scalaire usuel. On rappelle que \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) désigne l’ensemble des matrices de taille \(n\times n\) à coefficients dans \(\mathbb{K}\) (avec \(\mathbb{K}=\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\)) et \(\mathcal{GL}_n(\mathbb{K})\) désigne l’ensemble des matrices inversibles de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\).
Pour tout \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), \({}^t\! A\) désigne la matrice transposée de \(A\) et si \(\mathbb{K}=\mathbb{C}\) alors \(\overline{A}\) est la matrice conjuguée de \(A\) (c’est-à-dire celle dont les coefficients complexes sont les conjugués des coefficients de \(A\)).
On confond les vecteurs de \(\mathbb{K}^n\) et les matrices colonnes correspondantes.
Enfin on note \(E=\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\) et \(\mathcal{P}(E)\) désigne l’ensemble des parties de \(E\).
La partie A est consacrée à l’étude de certaines matrices réelles diagonalisables dans \(\mathbb{C}\). Les puissances de ces matrices sont utilisées dans la partie B pour modéliser des probabilités. Dans la partie C on étudie une variable aléatoire liée au choix aléatoire d’une partie d’un ensemble. Cette étude est complétée dans la partie D et permet de calculer une somme.
On considère la matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) ci-dessous : \[J_n=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots\\ \vdots & & \ddots & \ddots & 0\\ 0 & & & \ddots & 1\\ 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \end{pmatrix}\]
Calculer le rang de \(J_n\). Quel est son noyau ?
Démontrer que \((J_ne_1,\dots,J_ne_n)\) est une base orthonormale de \(\mathbb{R}^n\).
En déduire \({}^t\! J_n\,J_n\) et \(J_n^{-1}\).
Démontrer que \(1\) est valeur propre de \(J_n\) et préciser l’espace propre associé.
On cherche à diagonaliser \(J_n\) dans \(\mathbb{C}\) et pour tout \(k\in E\), on considère le vecteur de \(\mathbb{C}^n\) ci-dessous : \[u_k=\left(\mathrm{e}^{\frac{2ik\pi}{n}\times0},\ \mathrm{e}^{\frac{2ik\pi}{n}\times1},\ \dots,\ \mathrm{e}^{\frac{2ik\pi}{n}\times(n-1)}\right)\]
Calculer \(u_n\). \(u_n\) est-il vecteur propre de \(J_n\) ?
Démontrer que pour tout \(k\in E\), \(u_k\) est vecteur propre de \(J_n\) pour la valeur propre \(\mathrm{e}^{\frac{2ik\pi}{n}}\). En déduire que \(J_n\) est diagonalisable dans \(\mathbb{C}\).
Dans cette partie on suppose que \(n=4\) et \(k\) désigne un entier naturel.
Déterminer une matrice diagonale \(D\in\mathcal{M}_4(\mathbb{C})\) et une matrice \(P\in\mathcal{GL}_4(\mathbb{C})\) telles que la matrice \(J_4\) (cf. partie A) soit égale à \(PDP^{-1}\) puis calculer \({}^t\!\overline{P}\) et en déduire \(P^{-1}\).
Calculer \(J_4^2\) (\(J_4\) au carré), \(J_4^3\) (\(J_4\) au cube) et \(J_4^4\) (\(J_4\) à la puissance \(4\)).
On considère l’ensemble : \[\mathcal{E}=\left\lbrace \begin{pmatrix}a & b & c & d\\ d & a & b & c\\ c & d & a & b\\ b & c & d & s\end{pmatrix},\ (a,b,c,d)\in\mathbb{R}^4\right\rbrace\]
Démontrer que \(\mathcal{E}\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathcal{M}_4(\mathbb{R})\) dont \(\left(I,J_4,J_4^2,J_4^3\right)\) est une base (\(I\) désignant la matrice identité de \(\mathcal{M}_4(\mathbb{R})\)). Quelle est la dimension de \(\mathcal{E}\) ?
Soit \(A\in\mathcal{E}\). Déduire des questions précédentes qu’il existe une matrice diagonale \(\Delta\) telle que \(A=P\Delta P^{-1}\) et préciser les valeurs propres \(\lambda_1\), \(\lambda_2\), \(\lambda_3\) et \(\lambda_4\) de \(A\).
Une usine de traitement des déchets industriels procède chaque semaine au prélévement de \(4\) échantillons le long du cycle de traitement. Si le contenu d’un échantillon de numéro \(i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,4} \right]\kern-0.15em\right]\) est contaminé alors on peut modéliser la propagation de la contamination grâce à une matrice \(A\in\mathcal{E}\). En effet si un problème est décelé à l’échantillon \(i\) alors la probabilité de retrouver cette contamination à un échantillon \(j\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,4} \right]\kern-0.15em\right]\) la semaine suivante est la \(j\)-ième coordonnée de \(Ae_i\) et plus généralement au bout de \(k\) semaines cette probabilité est la \(j\)-ième coordonnée de \(A^ke_i\)
Exprimer \(A^k\) à l’aide de \(P\), \(\lambda_1\), \(\lambda_2\), \(\lambda_3\) et \(\lambda_4\).
Des relevés statistiques ont montré qu’on a toujours \(a+b+c+d=1\) et \((a,b,c,d)\in\left[0,\frac{1}{2\sqrt{2}}\right[^4\). Étudier la convergence des suites \(\left(\lambda_1^k\right)\), \(\left(\lambda_2^k\right)\), \(\left(\lambda_3^k\right)\) et \(\left(\lambda_4^k\right)\) (on dit qu’une suite \((z_k)\) de nombres complexes converge vers \(\ell\in\mathbb{C}\) lorsque les suites réelles \(\big(\mathrm{Re}(z_k)\big)\) et \(\big(\mathrm{Im}(z_k)\big)\) convergent respectivement vers \(\mathrm{Re}(\ell)\) et \(\mathrm{Im}(\ell)\)).
En déduire que \(\left(\Delta^k\right)\) converge (c’est-à-dire que tous les coefficients de \(\Delta^k\) convergent) vers une matrice \(\delta\) et calculer \(P\delta P^{-1}\). Comment interpréter ce dernier résultat ?
On revient au cas général et on suppose dorénavant que \(n\) est un entier naturel supérieur ou égal à \(2\).
Les \(n\) échantillons de l’usine de traitement sont relevés par un laboratoire qui choisit d’analyser une partie de ces échantillons (partie choisie de façon équiprobable, éventuellement réduite à l’ensemble vide ou égale à l’ensemble des \(n\) échantillons).
Pour une semaine donnée, on considère \(X\) la variable aléatoire correspondant au nombre d’échantillons analysés.
Rappeler \(\mathrm{Card}\mathcal{P}(E)\) puis démontrer que : \[\forall k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right],\ \mathbb{P}(X=k)=\frac{\binom{n}{k}}{2^n}\]
Quelle est la loi suivie par \(X\) ? Quels sont les paramètres de cette loi ?
Quel est le nombre moyen d’échantillons analysés par ce laboratoire ?
Calculer le plus petit entier naturel \(n\) non nul tel qu’on est certain à strictement plus de \(99\,\%\) qu’au moins un échantillon a été analysé.
On suppose dorénavant que deux laboratoires \(L_1\) et \(L_2\) choisissent chacun de manière indépendante et équiprobable une partie quelconque des \(n\) échantillons. La partie des échantillons analysés par \(L_1\) est notée \(\mathcal{P}_1\) et la partie des échantillons analysés par \(L_2\) est notée \(\mathcal{P}_2\).
On note \(X_1\) la variable aléatoire correspondant au nombre d’échantillons analysés par \(L_1\) et \(B\) désigne l’événement \(\mathcal{P}_1\subset\mathcal{P}_2\).
Démontrer que : \[\forall k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right],\ \mathbb{P}(B|X_1=k)=\frac{1}{2^k}\]
En déduire \(\mathbb{P}(B)\).
On note \(Y\) la variable aléatoire correspondant au cardinal de \(\mathcal{P}_1\cap\mathcal{P}_2\).
Les variables aléatoires \(X_1\) et \(Y\) sont-elles indépendantes ?
Calculer \(\mathbb{P}(Y=i|X_1=k)\) pour tout \((i,k)\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]^2\).
En déduire la loi de \(Y\).
Démontrer que : \[\forall k\in E,\ k\binom{n}{k}=n\binom{n-1}{k-1}\]
Déduire enfin des questions précédentes que : \[\sum_{(\mathcal{P}_1,\mathcal{P}_2)\in\mathcal{P}(E)^2}\mathrm{Card}(\mathcal{P}_1\cap\mathcal{P}_2)=n4^{n-1}\]
Dans tout le problème \(n\) désigne un entier naturel non nul et \(a\), \(\lambda\) et \(\lambda'\) sont des réels strictement positifs.
On rappelle que \(n!\) désigne la factorielle de \(n\).
Dans la partie A, on détermine l’ensemble de définition d’une fonction définie par une intégrale. Dans la partie B, on établit quelques propriétés remarquables de cette fonction et on en calcule des valeurs. Cette fonction est utilisée dans la partie C pour construire une densité de probabilité dont on constate qu’elle est en lien avec les lois de Poisson.
Soit \(\Gamma\) la fonction définie sur une partie de \(\mathbb{R}\) par : \[\Gamma : x\mapsto\int_0^{+\infty}\mathrm{e}^{-t}t^{x-1}\,\mathrm{d}t\]
Calculer \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}\mathrm{e}^{-t}t^{x+1}\) et en déduire qu’il existe \(T\in\left[1,{+\infty}\right[\) tel que : \[\forall t\in\left[1,{+\infty}\right[,\ t\geqslant T\Rightarrow\mathrm{e}^{-t}t^{x-1}\leqslant\frac{1}{t^2}\]
Pour quelles valeurs de \(x\), \(\displaystyle\int_1^{+\infty}\mathrm{e}^{-t}t^{x-1}\,\mathrm{d}t\) est-elle convergente ?
Démontrer que \(\displaystyle\int_0^1t^{x-1}\,\mathrm{d}t\) converge si et seulement si \(x>0\) et donner dans ce cas la valeur de cette intégrale.
En déduire que \(\displaystyle\int_0^1\mathrm{e}^{-t}t^{x-1}\,\mathrm{d}t\) converge si et seulement si \(x>0\).
Déduire des questions précédentes l’ensemble de définition de \(\Gamma\).
Démontrer que : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \Gamma(x)>0\]
Démontrer que : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \Gamma(x+1)=x\Gamma(x)\]
Calculer \(\Gamma(1)\) puis démontrer par récurrence que pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), \(\Gamma(n)=(n-1)!\)
On admet que \(\Gamma\) a une limite en \(1\), en \(0^+\) et en \({+\infty}\).
Déterminer ces trois limites.
Déterminer également \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\Gamma(x)}{x}\).
Rappeler la valeur de \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}\,\mathrm{d}x\) et en déduire \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}\,\mathrm{d}x\).
À l’aide d’un changement de variable que l’on justifiera avec soin, démontrer que : \[\Gamma\!\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}\]
En déduire enfin, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), une expression de \(\Gamma\!\left(n+\frac{1}{2}\right)\) à l’aide de factorielles.
On rappelle que \((a,\lambda,\lambda')\in\left(\mathbb{R}_+^\ast\right)^3\) et on considère la fonction \(f_{a,\lambda}\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[f_{a,\lambda}(x)=\begin{cases}\frac{\lambda^a}{\Gamma(a)}\mathrm{e}^{-\lambda x}x^{a-1} & \text{si } x>0\\ 0 & \text{si } x\leqslant0\end{cases}\]
Étudier la continuité de \(f_{a,\lambda}\) sur \(\mathbb{R}^\ast\) et déterminer à quelle condition nécessaire et suffisante, \(f_{a,\lambda}\) est continue sur \(\mathbb{R}\).
Étudier les variations de \(f_{a,\lambda}\) sur \(\mathbb{R}_+^\ast\).
Justifier que \(f_{1,\lambda}\) est une densité de probabilité d’une variable aléatoire suivant une loi que l’on précisera.
Plus généralement, montrer que \(f_{a,\lambda}\) est une densité de probabilité d’une variable aléatoire \(X\).
Quelle est alors une densité de la variable aléatoire \(Y=\frac{\lambda}{\lambda'}X\) ?
Démontrer que : \[\mathbb{E}(X)=\frac{a}{\lambda}\]
On suppose dans cette dernière question que \(a\) est un entier naturel non nul et on note \(t\) un réel strictement positif. \(Z\) désigne une variable aléatoire suivant une loi de Poisson.
Démontrer que la fonction ci-dessous est une primitive de \(f_{a,\lambda}\) sur \(\mathbb{R}^\ast\) : \[\forall x\in\mathbb{R}^\ast,\ F_{a,\lambda}(x)=\begin{cases}-\displaystyle\sum_{k=0}^{a-1}\frac{(\lambda x)^k\mathrm{e}^{-\lambda x}}{k!} & \text{si } x>0\\ 0 & \text{si } x<0\end{cases}\]
En déduire \(\mathbb{P}(X>t)\).
En déduire enfin que \(\mathbb{P}(X>t)=\mathbb{P}(Z<a)\) en précisant le paramètre de la variable aléatoire \(Z\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Algèbre linéaire dans C avec les matrices circulantes et probabilités sur les parties d'un ensemble, puis la fonction Gamma et la loi gamma.
Deux retouches d'énoncé pour le programme actuel : l'ensemble des matrices circulantes est vu dans M_4(R) et la convergence d'une suite de nombres complexes est définie dans l'énoncé.