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Durée : 4 heures. Les calculatrices sont interdites pour cette épreuve.
Sujet du concours G2E 2015.
Si, au cours de l’épreuve, le candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il en fait mention dans sa copie et poursuit sa composition. Dans ce cas, il indique clairement la raison des initiatives qu’il est amené à prendre. Les candidats doivent respecter les notations de l’énoncé et préciser, dans chaque cas, la numérotation de la question posée. Une grande attention sera apportée à la clarté de la rédaction et à la présentation des différents schémas. Les deux problèmes sont indépendants.
Dans tout le problème on se place dans \(\mathbb{R}^3\) muni de sa base canonique notée \((e_1,e_2,e_3)\) et de son produit scalaire usuel (classiquement noté \(\cdot\)). On identifie les vecteurs de \(\mathbb{R}^3\) et les matrices de \(\mathcal{M}_{3,1}(\mathbb{R})\).
On rappelle que pour tout \(A\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\), \(A^0\) désigne, par convention, la matrice identité.
Soit \((A_k)_{k\in\mathbb{N}}\) une suite de matrices de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\). Pour tout \(k\in\mathbb{N}\), on note \(A_k=\left(a_{i,j}(k)\right)_{1\leqslant i,j\leqslant3}\). On dit que la suite \((A_k)_{k\in\mathbb{N}}\) est convergente si pour tout \((i,j)\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,3} \right]\kern-0.15em\right]^2\) la suite réelle \(\left(a_{i,j}(k)\right)_{k\in\mathbb{N}}\) converge vers un réel noté \(\ell_{i,j}\). La matrice \(L=\left(\ell_{i,j}\right)_{1\leqslant i,j\leqslant3}\) est alors appelée limite de \((A_k)_{k\in\mathbb{N}}\).
Dans la partie A du problème, on étudie une situation probabiliste faisant intervenir une matrice \(A\) de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\). On étudie dans la partie B, quelques propriétés de matrices dont les colonnes satisfont une certaine relation puis on détermine les puissances successives de \(A\). Dans la partie C, on considère des matrices que l’on diagonalise et on retrouve les puissances successives de \(A\). Enfin, dans la dernière partie, on calcule une espérance d’une variable aléatoire discrète. Ces parties peuvent être abordées indépendamment les unes des autres.
En cas d’incident et sans intervention d’un technicien, un système électrique se trouve dans un des trois états suivants :
état \(E_1\) : premier type d’incident non critique.
état \(E_2\) : second type d’incident non critique.
état \(E_3\) : incident critique. Le système est définitivement à l’arrêt.
Dans une telle situation, son état est, à chaque heure, susceptible d’évoluer et de passer d’un état à un autre. Pour tout \((i,j)\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,3} \right]\kern-0.15em\right]\), on note \(a_{i,j}(1)\) la probabilité de passer de l’état \(E_j\) à l’état \(E_i\) au bout d’une heure. \(p\) désignant un réel de \(\left]0,1\right[\) et \(q=1-p\), on a les probabilités suivantes : \[a_{1,1}(1)=a_{2,2}(1)=p\qquad a_{2,1}(1)=a_{3,2}(1)=q\]
On appelle instant initial l’instant où le système subit un premier incident. On suppose dans cette question qu’à l’instant initial le système est dans l’état \(E_1\).
Quelle est la probabilité qu’il soit encore à l’état \(E_1\) au bout de trois heures ?
Quelle est la probabilité qu’il soit à l’état \(E_3\) au bout de trois heures ?
Quelle est la probabilité qu’il soit à l’état \(E_3\) en exactement trois heures ?
Soit \(k\in\mathbb{N}\). On note \(u_k\) (respectivement \(v_k\) et \(w_k\)) la probabilité que le système soit dans l’état \(E_1\) (respectivement \(E_2\) et \(E_3\)) au bout de \(k\) heures.
Démontrer qu’il existe \(x_1\in\mathbb{R}^3\) tel que \(u_{k+1}=\begin{pmatrix}u_k\\ v_k\\ w_k\end{pmatrix}\cdot x_1\).
En tenant le même raisonnement pour \(v_{k+1}\) et \(w_{k+1}\), en déduire que : \[\begin{pmatrix}u_{k+1}\\ v_{k+1}\\ w_{k+1}\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}u_k\\ v_k\\ w_k\end{pmatrix}\quad\text{avec}\quad A=\begin{pmatrix}p & 0 & 0\\ q & p & 0\\ 0 & q & 1\end{pmatrix}\]
On note \(A^k=\left(a_{i,j}(k)\right)_{1\leqslant i,j\leqslant3}\). Interpréter alors le coefficient \(a_{i,j}(k)\) (pour \((i,j)\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,3} \right]\kern-0.15em\right]^2\)).
On note \(v=e_1+e_2+e_3\) et \(\mathcal{E}_3\) l’ensemble des matrices de \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) dont les sommes des coefficients sur chaque colonne est égal à \(1\) : par exemple la matrice \(A\) introduite dans la partie A est une telle matrice.
Démontrer par récurrence que si \(M\in\mathcal{E}_3\) alors pour tout \(k\in\mathbb{N}\), \(M^k\in\mathcal{E}_3\).
En calculant \({}^t\! M v\), démontrer que si \(M\in\mathcal{E}_3\) alors \(1\) est valeur propre de \(M\).
Démontrer que \(1\) et \(p\) sont les seules valeurs propres de la matrice \(A\) et déterminer des vecteurs propres associés.
\(A\) est-elle inversible ? diagonalisable ?
Démontrer que : \[\forall k\in\mathbb{N},\ A^k=\begin{pmatrix}p^k & 0 & 0\\ kqp^{k-1} & p^k & 0\\ a_k & 1-p^k & 1\end{pmatrix}\] où \(a_k\) est un coefficient à déterminer.
Déduire de la question précédente la convergence de la suite \(\left(A^k\right)_{k\in\mathbb{N}}\) et en préciser la limite.
Soit \(u\in\mathcal{L}\!\left(\mathbb{R}^3\right)\) l’application canoniquement associée à la matrice ci-dessous : \[L=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}\]
Démontrer que \(\mathrm{Ker} u\) est l’ensemble des vecteurs orthogonaux à \(v\) (cf. partie B). En déduire \(\dim\mathrm{Ker} u\) puis \(\mathrm{rg}\,u\).
Justifier que \(1\) est valeur propre de \(u\) et donner un vecteur propre associé à cette valeur.
Déduire des questions précédentes que \(u\) est diagonalisable dans une base \(\mathcal{B}\) et écrire \(L=PDP^{-1}\) où \(D\) est une matrice diagonale à préciser, \(P\) la matrice de passage de la base canonique vers \(\mathcal{B}\). Calculer \(P^{-1}\).
On pose \(B\) et \(C\) les matrices ci-dessous et on admet que \(B\) et \(C\) commutent : \[B=\begin{pmatrix}p & 0 & 0\\ 0 & p & 0\\ q & q & 1\end{pmatrix}\qquad C=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0\\ q & 0 & 0\\ -q & 0 & 0\end{pmatrix}\]
En utilisant la base \(\mathcal{B}\) précédente, vérifier que \(B\) est diagonalisable.
En déduire \(B^k\) pour tout \(k\in\mathbb{N}\).
Calculer \(C^2\) et, \(A\) désignant toujours la matrice introduite en partie A, en déduire que : \[\forall k\in\mathbb{N},\ A^k=B^k+kB^{k-1}C\]
Retrouver alors l’expression donnée en 5. (a).
On rappelle que \(p\) désigne un réel de \(\left]0,1\right[\) et que \(q=1-p\).
Sans justification, rappeler la nature de la série \(\displaystyle\sum_{k\geqslant2}k(k-1)p^{k-2}\) et en donner sa somme.
On suppose à nouveau dans cette dernière question que le système est dans l’état \(E_1\) à l’instant initial et on appelle \(X\) la variable aléatoire donnant le nombre exact d’heure(s) pour que le système atteigne l’état \(E_3\).
Calculer \(\mathbb{P}(X=0)\), \(\mathbb{P}(X=1)\) et \(\mathbb{P}(X=2)\).
\(a_k\) désignant le coefficient introduit dans la partie A, justifier que : \[\forall k\in\mathbb{N}^\ast,\ \mathbb{P}(X=k)=a_k-a_{k-1}\]
En déduire \(\mathbb{E}(X)\).
Dans tout le problème \(\lambda\) désigne un réel strictement positif, \(n\) un entier naturel, \(p\) un entier naturel supérieur ou égal à \(2\) et \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,p} \right]\kern-0.15em\right]\). Si \(X\) désigne une variable aléatoire à densité alors \(F_X\) désigne la fonction de répartition de \(X\), \(f_X\) une densité de \(X\) et on note \(\overline{F}_X\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(\overline{F}_X(t)=1-F_X(t)\).
Dans la partie A, on étudie quelques propriétés classiques des lois exponentielles. La partie B est consacrée au calcul d’une limite d’une probabilité conditionnelle. Enfin, dans la partie C, on étudie la somme de certaines variables aléatoires. Ces parties peuvent être abordées indépendamment les unes des autres.
On considère \(p\) techniciens qui interviennent auprès d’une machine. Pour tout \(k\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,p} \right]\kern-0.15em\right]\), on note \(X_k\) la variable aléatoire donnant la durée (en heure(s)) de l’intervention du \(k\)-ième technicien. On admet que les variables aléatoires \((X_k)_{k\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,p} \right]\kern-0.15em\right]}\) sont mutuellement indépendantes et suivent la même loi exponentielle de paramètre \(\lambda\).
Démontrer par récurrence sur \(n\) que la variable aléatoire \(X_k\) admet un moment à tout ordre \(n\) égal à : \[m_n(X_k)=\frac{n!}{\lambda^n}\]
Déterminer la nature et la somme de la série de terme général \(\frac{1}{m_n(X_k)}\) (pour \(n\in\mathbb{N}\)).
On note \(Y_p=\min(X_1,\dots,X_p)\).
Calculer \(\overline{F}_{X_1}(t)\) pour tout \(t\in\mathbb{R}\).
En considérant \(\overline{F}_{Y_p}(t)\) (pour \(t\in\mathbb{R}\)), démontrer que la variable aléatoire \(Y_p\) suit une loi exponentielle de paramètre \(p\lambda\).
Exprimer \(\mathbb{E}(Y_p)\) et \(\mathbb{V}(Y_p)\) en fonction de \(\lambda\).
On suppose, dans cette question uniquement, que \(p=2\) et que la durée moyenne de l’intervention du premier technicien est de deux heures. Calculer alors les probabilités ci-dessous.
probabilité que la durée de l’intervention du second technicien soit inférieure ou égale à \(2\) heures.
probabilité que le minimum des durées des interventions des deux techniciens soit inférieur ou égal à \(1\) heure sachant que la durée de l’intervention du second technicien est supérieure ou égale à \(2\) .
probabilité que le minimum des durées des interventions des deux techniciens soit inférieur ou égal à \(1\) heure sachant que la durée de l’intervention du second technicien est inférieure ou égale à \(2\).
On note \(Z_2=\max(X_1,X_2)\).
Démontrer que la variable aléatoire \(Z_2\) admet une densité que l’on exprimera à l’aide de densités de lois exponentielles.
Démontrer que la variable aléatoire \(Z_2\) admet une espérance et obtenir une égalité entre \(\mathbb{E}(Y_2)+\mathbb{E}(Z_2)\) et \(\mathbb{E}(X_1+X_2)\). Pouvait-on anticiper cette égalité ?
Justifier enfin l’existence de \(\mathbb{V}(Z_2)\) et la calculer.
Soient \(x\in\mathbb{R}_+\) et \(n\in\mathbb{N}\).
Calculer \(\mathbb{P}(Z_2\geqslant n+x)\) et démontrer que \(\mathbb{P}(Z_2\geqslant n+x)\) est équivalent (quand \(n\) tend vers \({+\infty}\)) au terme général d’une suite géométrique dont on précisera la raison et le terme initial
Démontrer que : \[\lim_{n\to+\infty}\mathbb{P}(Z_2\geqslant n+x\mid Z_2\geqslant n)=\mathbb{P}(X_1\geqslant x)\]
La formule précédente est-elle encore exacte si on remplace la variable aléatoire \(Z_2\) par la variable aléatoire \(X_1\) ?
Soit \((a,b)\in\mathbb{R}_+^\ast\setminus\left\lbrace 1\right\rbrace\times\mathbb{R}\).
Démontrer que la variable aléatoire \(aX_2+b\) admet une densité définie par : \[\forall t\in\mathbb{R},\ f_{aX_2+b}(t)=\begin{cases}\frac{\lambda}{a}\mathrm{e}^{-\frac{\lambda}{a}(t-b)} & \text{si } t\geqslant b\\ 0 & \text{sinon}\end{cases}\]
Démontrer que les variables aléatoires \(X_1\) et \(aX_2+b\) sont indépendantes.
On note \(T=X_1+aX_2+b\) et on rappelle que si \(X\) et \(Y\) sont deux variables aléatoires indépendantes de densités \(f_X\) et \(f_Y\) alors \(X+Y\) est une variable aléatoire dont une densité est définie par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ f_{X+Y}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x-t)f_Y(t)\,\mathrm{d}t=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(t)f_Y(x-t)\,\mathrm{d}t\]
Démontrer que \(T\) admet une densité définie par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ f_T(x)=\begin{cases}\frac{\lambda}{1-a}\left(\mathrm{e}^{-\lambda(x-b)}-\mathrm{e}^{-\frac{\lambda}{a}(x-b)}\right) & \text{si } x\geqslant b\\ 0 & \text{sinon}\end{cases}\]
Démontrer qu’il existe un unique couple \((a,b)\in\mathbb{R}_+^\ast\setminus\left\lbrace 1\right\rbrace\times\mathbb{R}\) tel que \(Z_2\) (cf. partie B) et \(T\) suivent la même loi.
On prolonge l’étude précédente et on considère la variable aléatoire : \[T_p=\sum_{k=1}^p\frac{1}{k}X_k\]
Calculer \(\mathbb{E}(T_p)\) et \(\mathbb{V}(T_p)\). En déduire la nature (convergence ou divergence) des suites \(\left(\mathbb{E}(T_p)\right)_{p\geqslant2}\) et \(\left(\mathbb{V}(T_p)\right)_{p\geqslant2}\).
Démontrer par récurrence que \(T_p\) admet une densité définie par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ f_{T_p}(x)=\begin{cases}\lambda p\mathrm{e}^{-\lambda x}\left(1-\mathrm{e}^{-\lambda x}\right)^{p-1} & \text{si } x\geqslant0\\ 0 & \text{sinon}\end{cases}\]
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Un sujet classique en deux problèmes : puissances d'une matrice de transition et temps d'atteinte, puis lois exponentielles (minimum, maximum, sommes par convolution).