ESSEC 2025 Maths 2Maths appliquées

Dans ce sujet on s’intéresse à un problème d’arrêt optimal c’est-à-dire au problème du choix d’un moment pour entreprendre une action spécifique, afin de maximiser un gain attendu ou de minimiser un coût attendu.

Des problèmes d’arrêts optimaux peuvent être trouvés dans les domaines des statistiques, de l’économie et des mathématiques financières (par exemple dans la tarification des options américaines).

On peut modéliser le problème étudié comme suit. Supposons que nous recevions une suite finie de nombres réels, un par un. Ces réels sont des réalisations de variables aléatoires indépendantes de lois connues à l’avance mais pas nécessairement identiques. Nous ne pouvons garder qu’un seul nombre de la suite. À chaque observation, nous pouvons soit sélectionner le nombre actuel, soit pousser notre chance et passer à l’observation suivante. Notre objectif est de maximiser la probabilité de sélectionner le nombre maximal de la suite.

Dans tout le sujet on considère un espace probabilisé \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\). Toutes les variables aléatoires réelles et événements qui interviennent dans cet énoncé sont définis sur cet espace.

On rappelle que si \(A\) désigne un événement, \(1\kern-0.35em1_{A}\) est la variable aléatoire qui vaut 1 sur \(A\) et 0 sur \(\overline{A}\).

La partie 2 utilise des résultats de la partie 1. La partie 3 est indépendante des deux premières et seules les deux dernières questions 19 et 20 de la partie 4 utilisent des résultats établis dans les parties précédentes.

Un aide-mémoire Python se trouve à la fin de l’énoncé. Pour les scripts et fonctions Python, on supposera que les instructions suivantes ont été exécutées:

import numpy as np,numpy.random as rd,matplotlib.pyplot as plt

Partie 1 - Des résultats généraux

1. Montrer que pour tout \(t\) réel, \(\mathrm{e}^{t} \geqslant 1+t\) et que, pour tout \(t>-1, \ \ln (1+t) \leqslant t\).

2. On définit la fonction \(f\) sur \([0,1]\) par \(f(t)=\left( 1+t \right) \mathrm{e}^{-t}-t\).

   1. Étudier les variations de \(f\) et montrer qu’il existe un unique \(\alpha \in \left] 0,1 \right[\) tel que \(f(\alpha)=0\) et que pour tout \(t \in[0,1], \ f(t)>0 \Leftrightarrow t<\alpha\).

   2. Écrire un programme Python qui renvoie une valeur approchée de \(\alpha\) à \(10^{-3}\) près.

   3. Montrer que pour tout \(t \in[0,1]\), \(\mathrm{e}^{t} \leqslant 1+2 t\).

      En déduire que \(\displaystyle \alpha \geqslant \frac{1}{\sqrt{2}}\).

3. Soit \(U\) une variable aléatoire à densité, à valeurs dans \([0,1[\), qui suit la loi uniforme et \(p \in \left] 0, \alpha \right[\). On pose \(\beta=f(p)\).

   On définit les variables aléatoires \(X\) et \(Y\) par : \[X=1\kern-0.35em1_{[\beta<U \leqslant \beta+p]} \text { et pour tout } \omega \in \Omega, \ Y(\omega)=\min \left\{k \in \mathbb{N} \ / \ U(\omega) \leqslant \sum_{i=0}^{k} \frac{p^{i}}{i!} \, \mathrm{e}^{-p}\right\}\]

   1. Écrire une fonction Python, minimum(x,p) qui renvoie le minimum de l’ensemble \[\left\{k \in \mathbb{N} \ / \ x \leqslant \sum_{i=0}^{k} \frac{p^{i}}{i!} \, \mathrm{e}^{-p}\right\}\] lorsque \(x \in[0,1[\) et \(p \in \left] 0,1 \right[\). En déduire une fonction simuly(p) qui réalise une simulation de \(Y\).

   2. Montrer que \(Y\) suit la loi de Poisson de paramètre \(p\).

   3. Soit \(k\) un entier, \(k \geqslant 2\). Montrer que si \([Y=k]\) est réalisé alors \([X=0]\) l’est. En déduire que \(\displaystyle \mathbb{P}([X=0] \cap[Y=k])=\frac{p^{k}}{k!} \,\mathrm{e}^{-p}\).

   4. Montrer que \([X=0] \cap[Y=1]=\varnothing\). En déduire que : \[\mathbb{P}([X=1] \cap[Y=1])=p\, \mathrm{e}^{-p}, \quad \mathbb{P}([X=0] \cap[Y=0])=\beta, \quad \mathbb{P}([X=1] \cap[Y=0])=p\left(1-\mathrm{e}^{-p}\right)\]

   5. Montrer que \(\mathbb{P}(X \neq Y)=1+p- \left( 1+2 p \right) \mathrm{e}^{-p}\), puis que \(\mathbb{P}(X \neq Y) \leqslant 2 p^{2}\).

4. Inégalité de Boole – Soit \(k \in \mathbb{N}^{*}, \ B_{1}, \ldots, B_{k}\) des événements. On pose \(\displaystyle T=\sum_{i=1}^{k} 1\kern-0.35em1_{B_{i}}\).

   1. Montrer que \(\displaystyle \mathbb{P}(T \geqslant 1)=\mathbb{P} \! \left(\bigcup_{i=1}^{k} B_{i}\right)\).

   2. En utilisant une inégalité du cours, que l’on énoncera précisément, en déduire que : \[\mathbb{P} \! \left(\bigcup_{i=1}^{k} B_{i}\right) \leqslant \sum_{i=1}^{k} \mathbb{P}(B_{i})\]

5. Soit \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires à valeurs dans \(\mathbb{N}\). On pose \[\delta(X, Y)=\sum_{k=0}^{+\infty}|\mathbb{P}(X=k)-\mathbb{P}(Y=k)| \quad \text{et} \quad d(X, Y)=\mathbb{P}(X \neq Y)\]

   1. Justifier que la série définissant \(\delta(X, Y)\) est bien convergente.

   2. Soit \(k \in \mathbb{N}\) tel que \(\mathbb{P}(X=k) \geqslant \mathbb{P}(Y=k)\).

      Montrer que \(|\mathbb{P}(X=k)-\mathbb{P}(Y=k)| \leqslant \mathbb{P}([X=k] \cap[Y \neq k])\).

   3. En déduire que pour tout \(k \in \mathbb{N}\),

      \[|\mathbb{P}(X=k)-\mathbb{P}(Y=k)| \leqslant \mathbb{P}([X=k] \cap[Y \neq k])+ \mathbb{P}([X \neq k] \cap[Y=k])\]

   4. En conclure que \(\delta(X, Y) \leqslant 2 \, d(X, Y) \leqslant 2\).

Partie 2 - Une inégalité d’après Hodge et Le Cam

On conserve les notations de la partie 1.

On considère une suite \(\left(U_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}^{*}}\) de variables aléatoires à densité indépendantes qui suivent la loi uniforme sur \([0,1[\).

Soit \(n \in \mathbb{N}^{*}\) et \(p_{1}, \ldots, p_{n}\) des réels appartenant à \(] 0,1[\). Pour tout \(k \in \left[\!\left[1, n\right]\!\right]\), on définit, comme \(X\) et \(Y\) dans la question 2 de la partie \(1, X_{k}\) et \(Y_{k}\) avec \(U_{k}\) et \(p_{k}\) à la place de \(U\) et \(p\).

On pose \(\displaystyle \lambda=\sum_{k=1}^{n} p_{k}, \ S_{n}=\sum_{k=1}^{n} X_{k}\) et \(\displaystyle T_{n}=\sum_{k=1}^{n} Y_{k}\).

On souhaite établir l’inégalité : \(\displaystyle \delta\left(S_{n}, T_{n}\right) \leqslant 4 \sum_{k=1}^{n} p_{k}^{2} \quad(L C)\).

6. Montrer que si l’un au moins des \(p_{k}\) est supérieur ou égal à \(\alpha\) alors \(( L C )\) est vérifiée.

• On suppose dans la suite de cette partie que pour tout \(k \in \left[\!\left[1, n\right]\!\right], p_{k}<\alpha\).

7. Justifier brièvement que \(X_{1}, \ldots, X_{n}\) (respectivement \(Y_{1}, \ldots, Y_{n}\)) sont indépendantes.

8. Quelle est la loi de \(T_{n}\) ? Si les \(p_{k}\) sont tous égaux à \(\displaystyle \frac{\lambda}{n}\), quelle est la loi de \(S_{n}\) ? Quelle est alors la limite en loi de la suite \(\left(S_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}^{*}}\) ?

9. 1. Montrer que \(\displaystyle \left[S_{n} \neq T_{n}\right] \subset \bigcup_{k=1}^{n}\left[X_{k} \neq Y_{k}\right]\).

   2. En déduire que pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}, \ \displaystyle \delta\left(S_{n}, T_{n}\right) \leqslant 4 \sum_{k=1}^{n} p_{k}^{2}\).

10. Un cas particulier – On suppose dans cette question que tous les \(p_{k}\) sont égaux à \(\displaystyle \frac{\lambda}{n}\). Montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}, \ \displaystyle \sum_{k=0}^{n}\left|\binom{n}{k}\left(\frac{\lambda}{n}\right)^{k}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}-\frac{\lambda^{k}}{k!} \, \mathrm{e}^{-\lambda}\right| \leqslant \frac{4 \lambda^{2}}{n}\).

11. Une application – Soit \(n\) un entier, \(n \geqslant 2\), on réalise \(n\) expériences de Bernoulli indépendantes avec les probabilités de succès respectives \(\displaystyle \frac{1}{n+1}, \frac{1}{n+2}, \ldots, \frac{1}{2 n}\). On note \(S_{n}\) le nombre de succès de l’expérience totale et \(\displaystyle s_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k}\).

    1. Montrer que pour tout \(k \in \mathbb{N}, \ \displaystyle \left|\mathbb{P}(S_{n}=k)-\frac{s_{n}^{k}}{k!} \,\mathrm{e}^{-s_{n}}\right| \leqslant \frac{4}{n}\).

    2. Établir que pour tout \(k \in \left[\!\left[1, n\right]\!\right]\) : \[\int_{k}^{k+1} \frac{1}{n+t} \,\mathrm{d}t\leqslant \frac{1}{n+k} \leqslant \int_{k-1}^{k} \frac{1}{n+t} \,\mathrm{d}t\]

    3. En déduire un encadrement de \(s_{n}\) puis que \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} s_{n}=\ln (2)\).

    4. En conclure que \(\left(S_{n}\right)_{n \geqslant 2}\) converge en loi vers une variable aléatoire \(S\) qui suit la loi de Poisson de paramètre \(\ln (2)\).

Partie 3 - Étude du maximum d’une fonction

Pour tout \(x \in\left[0,+\infty\right[\), on pose \(h(x)= \begin{cases} \displaystyle \frac{\mathrm{e}^{x}-1}{x} & \text { si } x>0 \\ \hfill 1 \hfill & \text { si } x=0 \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\).

12. Montrer que \(h\) est de classe \(\mathcal C^{1}\) sur \(\mathbb{R}_{+}\) et préciser la valeur de \(h^{\prime}(0)\).

    On définit alors la fonction \(g\) sur \(\mathbb{R}_+\) par \(\displaystyle g(x)=\mathrm{e}^{-x} \int_{0}^{x} h(t) \,\mathrm{d}t\).

13. 1. Montrer que pour tout \(\displaystyle x \geqslant 0, \ g^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{-x}\left(1-\int_{0}^{x}\left(h(t)-h^{\prime}(t)\right) \mathrm{d}t\right)\).

    2. Montrer que pour tout \(t>0, \ \displaystyle h(t)-h^{\prime}(t)=\frac{\mathrm{e}^{t}-1-t}{t^{2}}\).

    3. En déduire que pour tout \(t \geqslant 0, \ h(t)-h^{\prime}(t)>0\) et \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \int_{0}^{x}\left(h(t)-h^{\prime}(t)\right) \mathrm{d}t=+\infty\).

    4. Dans un même tableau, représenter le signe de \(g^{\prime}\) et les variations de \(g\) en justifiant que \(g\) possède un maximum qui est atteint en un unique réel noté \(\gamma>0\) que l’on fera apparaitre dans ce tableau.

14. 1. Montrer que pour tout \(t>0, \ \displaystyle \frac{1}{2} \leqslant \frac{\mathrm{e}^{t}-1-t}{t^{2}} \leqslant \frac{1}{2} \,\mathrm{e}^{t}\).

    2. En déduire que pour tout \(x \geqslant 0, \ \displaystyle \mathrm{e}^{-x} \, \frac{3-\mathrm{e}^{x}}{2} \leqslant g^{\prime}(x) \leqslant \mathrm{e}^{-x}\left(1-\frac{x}{2}\right)\).

    3. En conclure que \(\gamma \in[\ln (3), 2]\).

15. 1. Soit \(n \in \mathbb{N}^{*}\) et \(x \in[0, n]\), montrer que : \[\sum_{k=0}^{n} \frac{x^{k}}{k!} \leqslant \mathrm{e}^{x} \leqslant \sum_{k=0}^{n} \frac{x^{k}}{k!}+\frac{x^{n}}{n!} \sum_{k=n+1}^{+\infty}\left(\frac{x}{n+1}\right)^{k-n} \leqslant \sum_{k=0}^{n} \frac{x^{k}}{k!}+\frac{x^{n+1}}{n!}\]

       et en déduire que \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{x^{k-1}}{k!} \leqslant h(x) \leqslant \sum_{k=1}^{n} \frac{x^{k-1}}{k!}+\frac{x^{n}}{n!}\).

    2. En conclure que pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\) et \(x \in[0, n]\) : \[\mathrm{e}^{-x}\left(\sum_{k=1}^{n} \frac{x^{k}}{k! \, k}\right) \leqslant g(x) \leqslant \mathrm{e}^{-x}\left(\sum_{k=1}^{n} \frac{x^{k}}{k! \, k}\right)+\mathrm{e}^{-x} \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}\]

       puis que pour tout \(x \geqslant 0, \ \displaystyle g(x)=\mathrm{e}^{-x} \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{x^{k}}{k! \, k}\).

16. Compléter le programme suivant pour qu’il trace la partie de la courbe de \(g\) comprise entre les abscisses \(\ln (3)\) et 2, les valeurs de \(g\) étant calculées à \(10^{-4}\) près :

    X = np.linspace(np.log(3),2,100)
    Y = []
    for x in X:
        n=2;s=x + x**2/4;d= x**3/6
        while d * np.exp (-x) > 0.0001:
            n=n+1
            s=s+ ...
            d = d*x/...
        Y.append(s*...)
    plt.plot(X,Y)
    plt.grid()
    plt.show()

    On obtient le graphique suivant :

Partie 4 - Le problème du meilleur choix

On considère \(\left(X_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}^{*}}\) une suite de variables aléatoires indépendantes à densité.

Soit \(s \in \mathbb{R}\), pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\) on définit des variables aléatoires, \(a_{n, s}, Y_{n, s}, Z_{n}\) et \(K_{n, s}\) par, pour tout \(\omega \in \Omega\) : \[a_{n, s}(\omega)=\min \! \left(\left\{k \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\ / \ X_{k}(\omega)>s\right\} \cup\{n\}\right), \ Y_{n, s}(\omega)=X_{a_{n, s}(\omega)}(\omega), \ Z_{n}(\omega)=\max _{k \in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]}\left(X_{k}(\omega)\right)\]

et \(K_{n, s}(\omega)\) est égal au nombre d’indices \(k \in \left[\!\left[1, n\right]\!\right]\) tels que \(X_{k}(\omega)>s\).

On cherche à choisir \(s\) pour maximiser \(r_{n}=\mathbb{P}(Y_{n, s}=Z_{n})\).

On pose pour tout \(k \in \left[\!\left[1, n\right]\!\right], \ p_{k}=\mathbb{P}(X_{k}>s)\) et on suppose que \(p_{k} \neq 1\).

17. Une minoration dans le cas général.

    1. Montrer que \(\mathbb{P}(Y_{n, s}=Z_{n}) \geqslant \mathbb{P}(K_{n, s}=1)\).

    2. On pose \(\theta=\mathbb{P}(Z_{n} \leqslant s)\). Montrer que \(\displaystyle \mathbb{P}(K_{n, s}=1)=\theta \sum_{k=1}^{n} \frac{p_{k}}{1-p_{k}}\).

    3. En déduire que \(\mathbb{P}(Y_{n, s}=Z_{n}) \geqslant-\theta \ln (\theta)\).

    4. En déduire l’existence d’au moins une valeur de \(s\), que l’on définira à l’aide de la fonction de répartition \(F_{n}\) de \(Z_{n}\), pour laquelle \(\displaystyle \mathbb{P}(Y_{n, s}=Z_{n}) \geqslant \frac{1}{\mathrm{e}}\).

    • On suppose désormais que les \(X_{k}\) suivent la même loi donc que les \(p_{k}\) sont tous égaux, non nuls.

      On note \(p\) cette valeur commune, \(F\) la fonction de répartition et \(f\) une densité communes aux \(X_{k}\).

      On admet que si \(X\) et \(Y\) sont deux variables à densité indépendantes, de fonction de répartition \(F_{X}\) pour \(X\) et de densité \(f_{Y}\) pour \(Y\), on a alors \(\displaystyle \mathbb{P}(X \leqslant Y)=\int_{-\infty}^{+\infty} F_{X}(t) f_{Y}(t) \,\mathrm{d}t\).

      On rappelle que si \(A\) est un événement de probabilité non nulle, \(\left(\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P}_{A}\right)\) est un espace probabilisé admettant les mêmes variables aléatoires et ayant les mêmes propriétés que \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\).

18. Une estimation – On suppose dans cette question les \(X_{k}\) suivent la loi uniforme sur \([0,1[\).

    1. Montrer que \(s=1-p\).

    2. Écrire une fonction Python simulCouple(n,p) qui renvoie une simulation du couple \(\left(Z_{n}, Y_{n, s}\right)\).

    3. Écrire un programme Python qui réalise et affiche une estimation de \(r_{10}\) dans ces conditions lorsque \(n=10\) et \(p=0.15\).

19. Une expression explicite de \(r_{n}\) – Soit \(k \in \left[\!\left[1, n\right]\!\right]\), on note \(I_{1}, \ldots, I_{\binom{n}{k}}\) les parties à \(k\) éléments de \(\left[\!\left[1, n\right]\!\right]\).

    Pour tout \(j \in \left[\kern-0.35em\left[ {1,\binom{n}{k}} \right]\kern-0.35em\right]\), on définit \(A_{j}\) l’événement \(\displaystyle \left(\bigcap_{i \in I_{j}}\left[X_{i}>s\right]\right) \cap\left(\bigcap_{i \notin I_{j}}\left[X_{i} \leqslant s\right]\right)\).

    1. Montrer que pour tout \(x\) réel et \(i \in I_{j}\), \[\mathbb{P}_{A_{j}}(X_{i} \leqslant x)= \begin{cases}\displaystyle \frac{F(x)-F(s)}{p} & \text { si } x>s \\ \hfill 0 \hfill & \text { sinon } \rule[0pt]{0pt}{20pt}\end{cases}\]

       et que les \(X_{i}\) pour \(i \in I_{j}\) sont indépendantes pour la probabilité \(\mathbb{P}_{A_{j}}\).

    2. En déduire que pour tout \(r \in I_{j}\) : \[\mathbb{P}_{A_{j}} \! \left(X_{r}=\max _{i \in I_{j}}\left(X_{i}\right)\right)=\frac{1}{p^{k}} \int_{s}^{+\infty}(F(t)-F(s))^{k-1} f(t) \,\mathrm{d}t=\frac{1}{k}\]

    3. Montrer que :

       \[\mathbb{P}([Y_{n, s}=Z_{n}] \cap [K_{n, s}=k ] )=\sum_{j=1}^{\binom{n}{k}} \mathbb{P} ( [Y_{n, s}=Z_{n} ] \cap A_{j} ) \text { et que } \mathbb{P}_{A_{j}} (Y_{n, s}=Z_{n} )=\frac{1}{k}\]

    4. Montrer de même que \(\displaystyle \mathbb{P}([Y_{n, s}=Z_{n}] \cap [K_{n, s}=0 ])=\frac{1}{n} \left( 1-p \right)^{n}\).

    5. En conclure que \(\displaystyle r_{n}=\frac{1}{n} \left( 1-p \right)^{n}+\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k}\).

20. Comportement asymptotique – On suppose que \(\displaystyle p=\frac{\lambda}{n}\), \(\lambda\) étant un réel strictement positif ne dépendant pas de \(n\).

    1. En utilisant un résultat de la partie 2 , montrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\), \[\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}\left|\binom{n}{k}\left(\frac{\lambda}{n}\right)^{k}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-k}-\frac{\lambda^{k}}{k!} \mathrm{e}^{-\lambda}\right| \leqslant \frac{4 \lambda^{2}}{n}\]

    2. En déduire que \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} r_{n}=\left(\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\lambda^{k}}{k! \, k}\right) \mathrm{e}^{-\lambda}\).

21. On suppose que \(n\) est assez grand pour pouvoir considérer que \(r_{n}\) vaut \(\displaystyle \left(\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\lambda^{k}}{k! \, k}\right) \mathrm{e}^{-\lambda}\). Comment choisir \(s\) pour que cette probabilité soit maximale?

Aide-mémoire PYTHON

Toutes les fonctions et instructions présentées ne sont pas utiles et il est possible d’utiliser d’autres fonctions ou instructions absentes de cet aide-mémoire.

Listes

Module mathématique numpy

import numpy as np

Sous module random de numpy pour la simulation probabiliste

import numpy.random as rd

Si le paramètre [r,s] est remplacé par r, cette fonction renvoie la réalisation d’un vecteur de longueur r correspondant à la loi en question, et si ce paramètre est omis, elles renvoient un seul coefficient suivant les mêmes contraintes.

Sous module pyplot de matplotlib pour la simulation probabiliste

import matplotlib.pyplot as plt