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Dans tout le sujet :
On désigne par \(n\) un entier naturel, au moins égal à 2.
\(X\) est une variable aléatoire à valeurs dans un intervalle \(\left] 0,\alpha \right[\) où \(\alpha\) est un réel strictement positif. On suppose que \(X\) admet une densité \(f\) strictement positive et continue sur \(]0, \alpha[\), et nulle en dehors de \(\left] 0,\alpha \right[\).
On note \(F\) la fonction de répartition de \(X\).
\(X_1, \ldots, X_n\) sont des variables aléatoires mutuellement indépendantes et de même loi que \(X\).
On admet que toutes les variables aléatoires sont définies sur le même espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).
On admet également que toute variable aléatoire prenant ses valeurs dans un segment admet une espérance.
Si \(g\) est une fonction continue sur \(]0,\alpha[\), on dira que l’intégrale impropre \(\displaystyle \int_0^\alpha g(x)\,\mathrm{d}x\) est convergente si, en notant \(I(a,b) = \displaystyle \int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x\) (bien définie pour tout \((a,b) \in \left] 0,\alpha \right[\)) la fonction \(a\mapsto I(a,b)\) admet une limite quand \(a\) tend vers \(0\) par valeurs supérieures et la fonction \(b\mapsto I(a,b)\) admet une limite quand \(b\) tend vers \(\alpha\) par valeurs inférieures.
Les notations et résultats de cette partie seront utilisés dans le reste du sujet.
On définit deux variables aléatoires \(Y_n\) et \(Z_n\) de la façon suivante.
Pour tout \(\omega \in \Omega\) :
\(Y_n(\omega)=\max(X_1(\omega), \ldots, X_n(\omega))\) est le plus grand des réels \(X_1(\omega), \ldots, X_n(\omega)\);
On remarque que \(Y_n\) est définie également lorsque \(n\) vaut \(1\), de sorte que dans la suite du sujet on pourra considérer \(Y_{n-1}\).
\(Z_n(\omega)\) est le « deuxième plus grand » des nombres \(X_1(\omega), \ldots, X_n(\omega)\), autrement dit, une fois que ces \(n\) réels sont ordonnés dans l’ordre croissant, \(Z_n\) est l’avant dernière valeur. On note que lorsque la plus grande valeur est présente plusieurs fois, \(Z_n(\omega)\) et \(Y_n(\omega)\) sont égaux.
Loi de \(Y_n\).
Soit \(G_n\) la fonction de répartition de \(Y_n\).
Montrer que pour tout réel \(x\) : \(G_n(x)=F(x)^n\).
En déduire que \(Y_n\) est une variable aléatoire à densité et exprimer une densité \(g_n\) de \(Y_n\) en fonction de \(f\), \(F\) et \(n\).
Montrer que \(Y_n\) admet une espérance.
Loi de \(Z_n\).
Soit \(H_n\) la fonction de répartition de \(Z_n\).
Soit \(x\) un réel.
Soit \(\omega \in \Omega\), justifier que \(Z_n(\omega) \leqslant x\) si et seulement si dans la liste de \(n\) éléments \(X_1(\omega), \ldots,X_n(\omega)\), au moins \(n-1\) sont inférieurs ou égaux à \(x\).
Donner une expression de l’événement \([Z_n \leqslant x]\) en fonction des événements \([X_k \leqslant x]\) et \([X_k >x]\) avec \(k \in\{1,\ldots, n\}\).
Établir : \(H_n(x)=n[1-F(x)][F(x)]^{n-1}+F(x)^n\)
Montrer que \(Z_n\) est une variable aléatoire à densité et qu’une densité de \(Z_n\) est donnée par \[h_n(x)=n(n-1)f(x)[1-F(x)][F(x)]^{n-2}\]
Simulation informatique.
On suppose que l’on a défini une fonction
Python d’en-tête
def simulX(n): qui retourne une simulation
d’un échantillon de taille \(n\) de la
loi de \(X\) sous la forme d’un vecteur
de longueur \(n\). Compléter la
fonction qui suit pour qu’elle retourne le couple \((Yn(\omega),Z_n(\omega))\) associé à
l’échantillon simulé par l’instruction
X=simulX(n) :
def DeuxPlusGrands(n):
X=simulX(n)
if .............. :
y=X[0]
z=X[1]
else:
.............
.............
for k in range(2,n):
if X[k]>y:
z=.......
y=.......
elif ........ :
z=.......
return y,z
Premier exemple : loi uniforme.
On suppose dans cette question que \(X\) suit une loi uniforme sur \(]0, \alpha[\).
Donner une densité de \(Y_n\) et une densité de \(Z_n\).
Calculer l’espérance de \(Y_n\) et de \(Z_n\).
Deuxième exemple : loi puissance.
On suppose dans cette question que la densité \(f\) est donnée par : \[f(x)=\begin{cases} \lambda \, \dfrac{x^{\lambda-1}}{\alpha^\lambda}&\hbox{ si } x \in \left] 0,\alpha \right[\\ \hfill 0 \hfill &\hbox{ sinon} \rule[0pt]{0pt}{20pt} \end{cases}\]
où \(\lambda\) est une constante strictement positive.
On dit que \(X\) suit la loi puissance de paramètres \(\alpha\) et \(\lambda\).
Vérifier que \(f\) est bien une densité de probabilité.
Déterminer la fonction de répartition \(F\) de \(X\).
Calculer l’espérance de \(X\).
Montrer que \(Y_n\) suit une loi puissance de paramètres à préciser en fonction de \(n\), \(\lambda\) et \(\alpha\).
En déduire l’espérance de \(Y_n\).
Calculer l’espérance de \(Z_n\).
On reprend la notation de la partie précédente : \(G_{n-1}\) est la fonction de répartition de \(Y_{n-1}\), qui est le maximum de \(X_1, \ldots, X_{n-1}\).
On répond dans cette partie au problème d’optimisation suivant : trouver une fonction \(\sigma\) définie sur \(\left] 0,\alpha \right[\) vérifiant les trois propriétés :
\(\sigma\) est une bijection de \(\left] 0,\alpha \right[\) dans un intervalle \(]0,\beta[\), avec \(\beta\) un réel strictement positif.
\(\sigma\) est de classe \(\mathcal C^1\) sur \(\left] 0,\alpha \right[\) et \(\sigma'\) est à valeurs strictement positives sur \(\left] 0,\alpha \right[\).
on définit, pour tout \(x \in \left]0,\alpha \right[\) et tout \(y \in \left] 0,\beta \right[\), \[\gamma(x,y)=\left( x-y \right) G_{n-1} \! \left(\sigma^{-1}(y)\right)\] Alors pour tout \(x \in \left] 0,\alpha \right[\), \(\gamma(x,y)\) atteint son maximum lorsque \(y=\sigma(x)\).
Analyse.
On suppose dans un premier temps qu’une telle fonction \(\sigma\) vérifiant ces trois propriétés existe.
Montrer que \(\sigma^{-1}\) est dérivable sur \(]0,\beta[\) et exprimer sa dérivée \(\left(\sigma^{-1}\right)'\) en fonction de \(\sigma'\) et \(\sigma^{-1}\).
Calculer la dérivée partielle \(\partial_2(\gamma)(x,y)\).
Montrer que pour tout \(x \in \left] 0,\alpha \right[\), on a \(\partial_2(\gamma)(x,\sigma(x))=0\).
En déduire que pour tout \(x \in \left] 0,\alpha \right[\) : \[\sigma'(x) \, G_{n-1}(x)+\sigma(x) \, g_{n-1}(x)=x \, g_{n-1}(x)\]
Montrer alors, pour tout \(x \in \left] 0,\alpha \right[\) : \[\sigma(x)=\dfrac1{G_{n-1}(x)} \int_0^x t \, g_{n-1}(t) \,\mathrm{d}t\tag{$*$}\]
À l’aide d’une intégration par parties, montrer que pour tout \(x \in \left] 0,\alpha \right[\), on a également : \[\sigma(x)=x - \int_0^x \dfrac{G_{n-1}(t)}{G_{n-1}(x)} \,\mathrm{d}t\tag{$**$}\]
Synthèse.
On suppose à présent que \(\sigma\) est la fonction définie par l’égalité \((*)\) ou \((**)\).
Montrer que pour tout \(x \in \left] 0,\alpha \right[\), \(0<\sigma(x) < x\).
Montrer que \(\sigma\) est de classe \(\mathcal C^1\) sur \(\left] 0,\alpha \right[\) et que pour tout \(x \in \left] 0,\alpha \right[\), \(\sigma'(x)\) est du signe de \(x-\sigma(x)\).
En déduire que \(\sigma'\) est strictement positive sur \(\left] 0,\alpha \right[\).
Montrer que \(\sigma\) réalise une bijection de \(\left] 0,\alpha \right[\) dans \(\left] 0,\beta \right[\) avec \(\beta=\mathbb{E}(Y_{n-1})\).
On fixe un réel \(x \in \left] 0,\alpha \right[\). Soit \(y \in \left] 0,\beta \right[\), on pose \(z=\sigma^{-1}(y)\).
Établir : \[\gamma(x,y)= \left( x-z \right) G_{n-1}(z)+\int_0^z G_{n-1}(t) \,\mathrm{d}t\]
En déduire : \(\gamma(x,\sigma(x))-\gamma(x,y)= \left( z-x \right) G_{n-1}(z)- \displaystyle \int_x^z G_{n-1}(t) \,\mathrm{d}t\).
Déterminer le signe de \(\gamma(x,\sigma(x))-\gamma(x,y)\) et conclure que \(\gamma(x,y)\) est maximal lorsque \(y=\sigma(x)\).
Estimation de \(\sigma(x)\).
Soit \(x \in \left] 0,\alpha \right[\).
On considère la fonction \(\varphi_x\) définie sur \(\mathbb{R}^+\) par : \(\varphi_x(t)=\begin{cases}t&\hbox{ si } t \leqslant x\\ 0&\hbox{ sinon} \end{cases}\).
En utilisant la relation \((*)\), montrer que \(\sigma(x)=\dfrac{\mathbb{E}\left(\varphi_x(Y_{n-1})\right)}{\mathbb{P}(Y_{n-1} \leqslant x)}\).
En déduire une fonction Python
d’en-tête def sigma(x,n): qui retourne une
valeur approchée de \(\sigma(x)\)
obtenue comme quotient d’une estimation de \(\mathbb{E}\!
\left(\varphi_x(Y_{n-1})\right)\) et de \(\mathbb{P}(Y_{n-1} \leqslant x)\).
On utilisera la fonction simulX pour
simuler des échantillons de la loi de \(X\) et on rappelle que si
v est un vecteur,
np.max(v) est égal au plus grand élément de
v.
Exemples.
Donner une expression de \(\sigma(x)\) pour tout \(x \in \left] 0,\alpha \right[\) dans les cas suivants :
\(X\) suit la loi uniforme sur \(\left] 0,\alpha \right[\).
\(X\) suit la loi puissance de
paramètres \(\alpha\) et \(\lambda\). Votre résultat est-il en accord
avec la courbe ci-dessous obtenue sous cette hypothèse, en utilisant la
fonction sigma de la question précédente
lorsque \(n=6\), \(\lambda=0,2\) et \(\alpha=50\) ? Justifier votre réponse.
Un bien est mis en vente aux enchères et \(n\) acheteurs \(A_1,\ldots, A_n\) sont intéressés. Chaque acheteur \(A_k\) attribue une valeur \(x_k\) à ce bien, appelée valeur privée, qui n’est pas connue des autres acheteurs.
Afin de se procurer ce bien, \(A_k\) propose ensuite, de façon secrète, une mise (on dit aussi une offre) \(y_k\). Toutes les mises sont alors révélées simultanément et l’acheteur qui remporte le bien est celui qui a proposé la plus grande mise. En cas d’égalité, le gagnant est tiré au sort parmi ceux qui ont la mise la plus importante.
Le prix à payer par le gagnant au vendeur dépend du type d’enchère organisé. On étudie ici deux formats d’enchères :
l’enchère au premier prix ou enchère hollandaise : l’acheteur gagnant paye la mise qu’il a lui-même proposée. Ce type d’enchère correspond aux enchères dynamiques « descendantes » : la vente commence avec un prix très élevé et baisse progressivement. Le premier qui accepte le prix remporte le bien.
l’enchère au second prix ou enchère
anglaise : l’acheteur gagnant paye le prix correspondant à la deuxième
meilleure mise.
Ce type d’enchère est presque équivalent aux enchères dynamiques «
montantes » bien connues : le prix monte progressivement jusqu’à ce
qu’il ne reste qu’un seul acheteur : celui qui est prêt à mettre le plus
haut prix, et qui paye (à peu de choses près) le prix de la deuxième
meilleure offre après la sienne.
Pour chaque acheteur \(A_k\), on appelle résultat net ou simplement résultat de l’enchère, et on note \(r_k\), le bénéfice ou la perte résultant de l’opération. Pour l’acheteur qui a remporté l’enchère, le résultat est la différence entre la valeur privée et le prix payé. Pour les autres acheteurs, le résultat est considéré comme nul.
À titre d’exemple, considérons quatre acheteurs, dont les mises en
euros sont \(y_1=50\), \(y_2=100\), \(y_3=80\) et \(y_4=40\), alors l’acheteur \(A_2\) remporte l’enchère. Si sa valeur
privée \(x_2\) vaut \(90\) euros, il paye \(100\) euros pour un résultat de \(r_2=-10\) euros, s’il s’agit d’une enchère
au premier prix, et \(80\) euros pour
un résultat de \(r_2=10\) euros si
c’est une enchère au second prix.
On s’intéresse au résultat suivant : à partir de l’information dont
dispose l’acheteur \(k\), notamment à
partir de sa valeur privée \(x_k\),
comment doit-il choisir sa mise \(y_k\)
afin d’optimiser son résultat net ?
On appelle stratégie de l’acheteur \(k\) une fonction \(\sigma_k\) telle que \(y_k=\sigma_k(x_k)\).
On suppose que chaque acheteur \(A_k\) a une valeur privée \(x_k=X_k(\omega)\) qui est une réalisation de la variable aléatoire \(X_k\).
Soit \(\sigma\) la fonction définie à la partie II.
Le problème étant symétrique, on se met par exemple à la place de l’acheteur \(n\), et on suppose que les \(n-1\) premiers acheteurs appliquent la stratégie \(\sigma\), c’est à dire : pour tout \(k \in \{1,\ldots,n-1\}\), l’acheteur \(k\) mise \(\sigma(X_k)\).
L’acheteur \(n\) a une valeur privée \(x_n\) et choisit une mise \(y_n\).
On note \(E_n\) l’événement « l’acheteur \(A_n\) remporte l’enchère ».
En remarquant que \(\mathbb{P}(Y_{n-1}=\sigma^{-1}(y_n))=0\), montrer que \(\mathbb{P}( E_n)=\mathbb{P}( Y_{n-1}<\sigma^{-1}(y_n))\).
On note \(R_n\) la variable aléatoire donnant le résultat net de l’enchère pour l’acheteur \(A_n\).
On note \(1\kern-0.35em1_{E_n}\) la variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre \(\mathbb{P}( E_n)\).
Justifier que \(R_n=(x_n-y_n)\,1\kern-0.35em1_{E_n}\) et en déduire que le résultat espéré de l’acheteur \(A_n\) en fonction de sa valeur privée \(x_n \in \left] 0,\alpha \right[\) et de l’offre \(y_n \in \left]0,\beta \right[\) est donnée par \[\mathbb{E}(R_n)= \left( x_n-y_n \right) G_{n-1} \! \left(\sigma^{-1}(y_n)\right)\]
En déduire que pour optimiser son espérance de résultat, l’acheteur \(A_n\) a intérêt à appliquer lui aussi la stratégie \(\sigma\).
Il s’agit de ce que l’on appelle un équilibre de Nash en théorie des jeux : si tous les acheteurs appliquent cette stratégie d’équilibre \(\sigma\), alors aucun n’a intérêt à changer de stratégie.
On se met à nouveau à la place de l’acheteur \(n\). Soit \(m=\max(y_1, \ldots,y_{n-1})\) la meilleure offre faite par les acheteurs \(A_1\), \(A_1, \ldots, A_{n-1}\) (que \(A_n\) ne connaît pas).
Si on suppose que \(m \geqslant x_n\), montrer que quelle que soit la mise \(y_n\), le résultat net \(r_n\) pour \(A_n\) est négatif ou nul. Que vaut \(r_n\) pour le choix \(y_n=x_n\) ?
Si on suppose que \(m<x_n\), quel est le résultat pour \(A_n\) dans les cas \(y_n<m\) et \(y_n \geqslant m\) ?
En déduire que la meilleur stratégie pour \(A_n\) consiste à prendre \(y_n=x_n\).
Par symétrie, chaque acheteur a également intérêt à miser le montant de sa valeur privée. On parle de stratégie dominante : chaque acheteur a une stratégie optimale indépendamment du comportement des autres acheteurs.
On se met maintenant à la place du vendeur.
Les valeurs privées des acheteurs sont données par les variables aléatoires \(X_1, \ldots, X_n\).
Enchère au premier prix.
On suppose que le vendeur organise une enchère au premier prix, et que les acheteurs adoptent la stratégie d’équilibre \(\sigma\) donnée à la partie III.A.
On note \(B_n\) la variable aléatoire donnant le bénéfice, ou revenu, du vendeur. Il s’agit du montant que paye l’acheteur qui a remporté l’enchère.
Justifier que \(B_n=\sigma(Y_n)\).
En déduire : \[\mathbb{E}(B_n)=n \int_0^\alpha \sigma(x) \, G_{n-1}(x) f(x) \,\mathrm{d}x=n \int_0^\alpha \left( \int_0^x t \, g_{n-1}(t) \,\mathrm{d}t\right) f(x) \,\mathrm{d}x\]
Montrer à l’aide d’une intégration par parties : \[\mathbb{E}(B_n)=n \int_0^\alpha x \left[ 1-F(x) \right] g_{n-1}(x) \,\mathrm{d}x\]
Enchère au second prix.
On suppose que le vendeur organise une enchère au second prix, et que les acheteurs adoptent la stratégie dominante de la partie III.B : chacun mise autant que sa valeur privée.
On note \(B'_n\) la variable aléatoire donnant le revenu du vendeur dans cette enchère.
Justifier que \(\mathbb{E}(B'_n)=\mathbb{E}(Z_n)\).
Établir : \(\mathbb{E}(B_n)=\mathbb{E}(B'_n)\)
Ainsi, le revenu moyen pour le vendeur est le même pour les enchères au premier prix ou au second prix lorsque les acheteurs adoptent tous la stratégie optimale. Plus généralement, on peut montrer que ce revenu moyen est encore le même dans une très grande classe d’enchères, ce résultat portant le nom de principe d’équivalence du revenu.
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.