Dans cet exercice :
On note \(E\) un espace vectoriel de dimension finie \(n \geqslant 2\).
On désigne par \(v\) un endomorphisme de \(E\) diagonalisable sur \(E\) possédant au plus deux valeurs propres \(\lambda\) et \(\mu\).
On notera \(E_{\lambda}\) (resp. \(\left.E_{\mu}\right)\) l’espace propre de \(v\) associé à la valeur propre \(\lambda\) (resp. \(\mu\)).
On posera \(p=\operatorname{dim}\left(E_{\lambda}\right)\) et \(q=\operatorname{dim}\left(E_{\mu}\right)\).
On s’intéresse à l’ensemble \(\mathscr{E}\) des endomorphismes \(u\) de \(E\) vérifiant : \[u=v \circ u+u \circ v\]
Montrer que \(\mathscr{E}\) est un espace vectoriel.
Déterminer \(\mathscr{E}\) lorsque \(\lambda=\mu\). (On distinguera les cas \(\lambda=\frac{1}{2}\) et \(\lambda \neq \frac{1}{2}\)).
Dans toute la suite de cet exercice, on suppose que \(\lambda \neq \mu\).
Dans cette section, on suppose que \(\mu \neq 1-\lambda\). Soit \(u \in \mathscr{E}\).
Montrer que tout vecteur propre de \(v\) est dans \(\operatorname{Ker}(u)\).
En déduire que \(\mathscr{E}=\{0\}\).
Dans cette section, on suppose que \(\lambda+\mu=1\) et \(\lambda \neq \mu\). Soit \(u \in \mathscr{E}\).
Montrer que \(u(E_{\mu}) \subset E_{\lambda}\) et \(u(E_{\lambda}) \subset E_{\mu}\).
Montrer que réciproquement, si \(u\) est un endomorphisme de \(E\) qui vérifie \[u(E_{\mu}) \subset E_{\lambda} \quad \text{et} \quad u(E_{\lambda}) \subset E_{\mu}\]
alors \(u\) est dans \(\mathscr{E}\) (on pourra travailler matriciellement dans une base de \(E\) obtenue par concaténation de bases de \(E_{\lambda}\) et de \(E_{\mu}\)).
Déterminer les endomorphismes \(u\) de \(E\) vérifiant \(u \circ u=u\) et appartenant à \(\mathscr{E}\).
Montrer que \(\mathscr{E}\) contient des endomorphismes \(u\) vérifiant \(u \circ u=\mathrm{id}_{E}\) si et seulement si \(p=q\).
Déterminer la dimension de \(\mathscr{E}\) à l’aide de \(p\) et \(q\).
On admettra le théorème de Cesaro suivant :
Théorème de Cesaro : \(\mathrm{Si}\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) est une suite de réels convergeant vers \(\ell \in \mathbb{R}\), alors la suite \(\left(v_{n}\right)_{n \geqslant 1}\) avec \(\displaystyle v_{n}=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} u_{k}\) converge elle aussi vers \(\ell\).
Dans ce problème, on désigne par \((\Omega, \mathscr{A}, \mathbb{P})\) un espace probabilisé.
Toutes les variables aléatoires sont à valeurs réelles et définies sur \(\Omega\).
On rappelle que si \(X\) est une variable aléatoire et si \(x\) est un réel, \([X=x]\) (resp. \([X \geqslant x]\)) désigne l’événement \(\{\omega \in \Omega \mid X(\omega)=x\}\) (resp. \(\{\omega \in \Omega \mid X(\omega) \geqslant x\}\)).
Soit \(\left(X_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) une suite de variables aléatoires et \(X\) une autre variable aléatoire. On dit que la suite \(\left(X_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) (ou tout simplement \(X_{n}\)) converge :
presque sûrement vers \(X\) si :
il existe \(A \in \mathscr{A}\) avec \(\mathbb{P}(A)=1\) tel que pour tout \(\omega \in A\), \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} X_{n}(\omega)=X(\omega)\)
complètement vers \(X\) si : \[\text { pour tout } \varepsilon>0 \text {, la série } \sum_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{P}(\left|X_{n}-X\right| \geqslant \varepsilon) \text { converge }\]
On remarquera que dans ces deux définitions, quitte à remplacer \(X_{n}\) par \(X_{n}-X\), on peut se ramener au cas où \(X=0\), ce qu’on supposera par la suite.
Le but du problème est d’étudier le lien entre la convergence presque sûre et la convergence complète de suites de variables aléatoires.
On démontrera dans la partie II que la convergence complète entraîne la convergence presque sûre ce que l’on résume schématiquement par:
convergence complète \(\Longrightarrow\) convergence presque sûre
On pourra admettre cette implication pour traiter la partie I.
Dans cette section, on se donne une suite \(\left(p_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) à valeurs dans \(] 0,1[\) et, pour \(n\) dans \(\mathbb{N}, X_{n}\) désigne une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre \(p_{n}\).
Ainsi, \(X_{n}(\Omega)=\{0,1\}\) et \(\mathbb{P}\left(X_{n}=1\right)=p_{n}\).
On pose, pour \(n\) dans \(\mathbb{N}, A_{n}=\left\{\omega \in \Omega \mid X_{n}(\omega)=0\right\}\) et \(\displaystyle B=\bigcup_{n \geqslant 0}\left(\bigcap_{p \geqslant n} A_{p}\right)\).
Pour \(\varepsilon>0\), déterminer \(\mathbb{P}(\left|X_{n}\right| \geqslant \varepsilon)\) et en déduire que \(X_{n}\) converge complètement vers 0 si et seulement si la série \(\displaystyle \sum_{n \in \mathbb{N}} p_{n}\) converge.
Soit \(\omega \in \Omega\). Montrer que \(\omega \in B\) si et seulement si \(X_{n}(\omega)=0\) à partir d’un certain rang.
En déduire que la suite \(\left(X_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) tend presque sûrement vers 0 si et seulement si \(\mathbb{P}(B)=1\).
Dans cette section, on désigne par \(\left(X_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) une suite de variables aléatoires indépendantes, la variable \(X_{n}\) suivant une loi exponentielle de paramètre \(\lambda_{n}>0\).
Pour \(n\) dans \(\mathbb{N}\), on pose \(M_{n}=\min\limits _{0 \leqslant p \leqslant n} X_{p}\).
Soit \(\varepsilon>0\). Montrer que \(\displaystyle \mathbb{P} \! \left(\left|M_{n}\right| \geqslant \varepsilon\right)=\exp\! \left(-\varepsilon \sum_{k=0}^{n} \lambda_{k}\right)\).
Dans cette question, on suppose qu’il existe \(\lambda>0\) tel que : \(\forall n \in \mathbb{N}, \lambda_{n} \geqslant \lambda\).
Montrer que la suite \(\left(M_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) converge complètement vers 0.
Dans cette question, on suppose que \(\lambda_{n}=\ln \! \left(1+\frac{1}{n}\right)\) si \(n \geqslant 1\) et \(\lambda_{0}=0\).
Montrer que la suite \(\left(M_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) ne converge pas complètement vers 0.
Dans cette section, on désigne par \(\left(X_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) une suite de variables aléatoires indépendantes avec \(X_{0}=1\) et pour tout \(n \geqslant 1\) : \[X_{n}(\Omega)=\{0, n\} \qquad \mathbb{P}\left(X_{n}=n\right)=\frac{1}{n^{2}} \qquad \mathbb{P}\left(X_{n}=0\right)=1-\frac{1}{n^{2}}\]
Pour \(p\) entier naturel non nul, on pose \(\displaystyle u_{p}=\prod_{j=p+1}^{2 p}\left(1-\frac{1}{j^{2}}\right)\).
Montrer que \(\displaystyle \lim _{p \rightarrow+\infty} u_{p}=1\) (on pourra encadrer \(\ln \! \left(u_{p}\right)\)).
Justifier que \(\left(X_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) converge complètement vers 0. Pour la suite de cette section, on remarquera que \(\left(X_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) converge presque sûrement vers 0 d’après un résultat admis.
On pose, pour \(n \geqslant 1\), \(\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n} X_{k}\), \(\displaystyle Y_{n}=\frac{S_{n}}{n}\) et \(Y_{0}\) la variable aléatoire nulle.
Montrer que \(\left(Y_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) converge presque sûrement vers 0.
Pour \(p\) et \(k\) entiers naturels non nuls, avec \(p+1 \leqslant k \leqslant 2 p\), on note \(A_{k}\) l’événement : \[A_{k}=[ X_{k}=k ] \cap [ X_{k+1}=0 ] \cap [ X_{k+2}=0 ] \cap \cdots \cap [ X_{2 p}=0 ]\]
avec la convention \(A_{2 p}=[ X_{2 p}=2 p ]\).
Donner \(\mathbb{P}(A_{2 p})\) et justifier que pour \(p+1 \leqslant k \leqslant 2 p-1\), \(\displaystyle \mathbb{P}(A_{k})=\frac{1}{k^{2}} \prod_{j=k+1}^{2 p}\left(1-\frac{1}{j^{2}}\right)\).
Montrer que \(\displaystyle \bigcup_{k=p+1}^{2 p} A_{k}\) est inclus dans l’événement \(\displaystyle \left[ Y_{2 p} \geqslant \frac{1}{2}\right]\).
En déduire que \(\displaystyle \mathbb{P} \! \left(Y_{2 p} \geqslant \frac{1}{2}\right) \geqslant \prod_{j=p+1}^{2 p}\left(1-\frac{1}{j^{2}}\right) \sum_{k=p+1}^{2 p} \frac{1}{k^{2}}\).
En déduire que pour \(p\) assez grand, \(\displaystyle \mathbb{P} \! \left(\left|Y_{2 p}\right| \geqslant \frac{1}{2}\right) \geqslant \frac{1}{8 p}\) et conclure que la suite \(\left(Y_{n}\right)_{n \geqslant 0}\) ne converge pas complètement vers 0.
Pour traiter cette partie, on admettra le lemme de Borel-Cantelli :
Lemme de Borel-Cantelli : Soit \(\left(A_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) une suite d’événements de l’espace probabilisé \((\Omega, \mathscr{A}, \mathbb{P})\). On pose \(\displaystyle E=\bigcap_{p \geqslant 0}\left(\bigcup_{q \geqslant p} A_{q}\right)\).
Si la série \(\displaystyle \sum_{n \geqslant 0} \mathbb{P}\left(A_{n}\right)\) converge alors \(\mathbb{P}(E)=0\).
Si la série \(\displaystyle \sum_{n \geqslant 0} \mathbb{P}\left(A_{n}\right)\) diverge et si les événements \(A_{n}\) sont indépendants alors \(\mathbb{P}(E)=1\).
Dans cette partie on considère une suite de variables aléatoires réelles \(\left(X_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\).
Dans cette section, on suppose que la suite \(\left(X_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) converge complètement vers 0.
Soit \(\left(u_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) une suite réelle. Montrer que l’on n’a pas \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} u_{n}=0\) si et seulement si :
\[\exists n \in \mathbb{N}^{*}, \ \forall p \in \mathbb{N}, \ \exists q \in \mathbb{N}, \ q \geqslant p \text { et }\left|u_{q}\right| \geqslant \frac{1}{n}\]
Si on note, pour \(n\) dans \(\mathbb{N}^{*}\), \(E_{n}\) l’événement \(\displaystyle \bigcap_{p \in \mathbb{N}}\left(\bigcup_{q \geqslant p}\left(\left|X_{q}\right| \geqslant \frac{1}{n}\right)\right)\), montrer que l’ensemble \(B\) des \(\omega\) de \(\Omega\) tels que la suite \(\left(X_{n}(\omega)\right)_{n \in \mathbb{N}}\) ne converge pas vers 0 est exactement \(\displaystyle \bigcup_{n \in \mathbb{N}^{*}} E_{n}\).
Justifier que \(B\) est un événement et que \(\mathbb{P}(B)=0\). Conclusion?
Dans cette section, on suppose que la suite \(\left(X_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}\) est constituée de variables indépendantes et converge presque sûrement vers 0.
Pour \(\varepsilon>0\) et \(n \in \mathbb{N}\), on appelle \(A_{n}\) l’événement \(\left[ \left|X_{n}\right| \geqslant \varepsilon\right]\) et on suppose que la série \(\displaystyle \sum_{n \in \mathbb{N}} \mathbb{P}\left(A_{n}\right)\) diverge.
Montrer que l’événement \(\displaystyle \bigcap_{p \in \mathbb{N}}\left(\bigcup_{q \geqslant p} A_{q}\right)\) est de probabilité 1.
En déduire qu’il existe deux événements disjoints de probabilité 1 et aboutir à une contradiction.
Conclusion?
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
Un très joli sujet, qui offre l'occasion d'une bonne révision en algèbre et probabilités discrètes.