Dans cet exercice, on désigne par \(E\) l’ensemble des fonctions \(f\) de classe \(\mathcal C^{1}\) sur \([0,1]\) à valeurs réelles vérifiant \(f(0)=0\) et \(f(1)=1\).
On se propose de déterminer, si elles existent, les bornes supérieure et inférieure de l’ensemble : \[I=\left\{\int_{0}^{1}\left|f-f^{\prime}\right| ,\ f \in E\right\}\]
On rappelle qu’un ensemble \(I\) non vide de réels admet une borne supérieure (resp. inférieure), si l’ensemble \(I\) est majoré (resp. minoré). Dans ce cas, si \(M\) (resp. \(m\)) est un majorant (resp. minorant) de \(I\) et s’il existe une suite d’éléments de \(I\) convergeant vers \(M\) (resp. \(m\)), alors \(M\) (resp. \(m\)) est la borne supérieure (resp. inférieure) de \(I\).
Pour \(f\) dans \(E\) et \(x\) dans \([0,1]\), on pose \(g(x)=f(x) \exp (-x)\) et on dira que \(g\) est associée à \(f\).
Pour \(x\) dans \([0,1]\), exprimer \(f^{\prime}(x)-f(x)\) à l’aide de \(g^{\prime}(x)\).
Pour \(n\) dans \(\mathbb{N}^{*}\), déterminer une fonction \(g_{n}\) polynomiale de degré 2 telle que : \[g_{n}(0)=0 \qquad g_{n}(1)=\frac{1}{\exp (1)} \qquad g_{n} \! \left(\frac{1}{2}\right)=\frac{n}{\exp (1)}\]
Pour \(n\) dans \(\mathbb{N}^{*}\) et \(x\) dans \([0,1]\), on pose \(f_{n}(x)=g_{n}(x) \exp (x)\).
Déterminer \(\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \int_{0}^{1}\left|f_{n}-f_{n}^{\prime}\right|\) et en déduire que l’ensemble \(I\) n’est pas majoré.
En utilisant la fonction \(g\) associée à une fonction \(f\) quelconque de \(E\), montrer que \(\displaystyle \int_{0}^{1}\left|f-f^{\prime}\right|\) est minoré par \(\displaystyle \frac{1}{\exp (1)}\).
Le but de la suite de cet exercice est de montrer que la borne inférieure de \(I\) est \(\displaystyle \frac{1}{\exp (1)}\). Pour \(t\) dans \(\left] 0,1 \right[\), on définit la fonction \(f_{t}\) sur \([0,1]\) par : \[f_{t}(x)= \begin{cases}\displaystyle \frac{ \left( 2 t-x \right) x \exp (x-1)}{t^{2}} & \text { si } 0 \leqslant x \leqslant t \\ \displaystyle \hfill \exp (x-1) \hfill & \text { si } t<x \leqslant 1 \rule[0pt]{0pt}{20pt}\end{cases}\]
Montrer que \(f_{t}\) est dans \(E\).
Calculer \(\displaystyle \int_{0}^{1}\left|f_{t}-f_{t}^{\prime}\right|\) et en déduire \(\displaystyle \lim _{\substack{t \rightarrow 0 \\ t>0}} \int_{0}^{1}\left|f_{t}-f_{t}^{\prime}\right|\).
Montrer que la borne inférieure de \(I\) est \(\displaystyle \frac{1}{\exp (1)}\).
La première partie de ce problème détermine quelques propriétés des matrices d’Ehrenfest.
La seconde partie étudie un modèle de diffusion de particules à travers une membrane poreuse.
Dans ce problème, \(n\) est un entier naturel supérieur ou égal à 2.
On désigne par \(A_{n}\) la matrice carrée de \(\mathcal{M}_{n+1}(\mathbb{R})\) définie par : \[A_{n}=\left(\begin{array}{cccccc} 0 & n & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 1 & 0 & n-1 & \cdots & \cdots & 0 \\ 0 & 2 & 0 & \ddots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & \ddots & \ddots & 1 \\ 0 & \cdots & \cdots & \cdots & n & 0 \end{array}\right)\]
Plus formellement, pour \(1 \leqslant i \leqslant n+1\) et \(1 \leqslant j \leqslant n+1\), le terme situé sur la ligne \(i\) et la colonne \(j\) de \(A_{n}\) est : \[\begin{cases}n-i+1 & \text { si } j=i+1 \\ \hfill i-1 \hfill & \text { si } i=j+1 \\ \hfill 0 \hfill & \text { sinon }\end{cases}\]
Enfin, on pose \(\displaystyle A_{n}^{\prime}=\frac{1}{n} \, A_{n}\) et \(B_{n}={}^t\!A_{n}\) où \({}^t\!A_{n}\) désigne la matrice transposée de \(A_{n}\).
Par commodité, on confondra matrice colonne à \(k\) lignes et vecteur de \(\mathbb{R}^{k}\).
Déterminer les éléments propres (valeurs propres et espaces propres) de la matrice \(B_{2}\). Cette matrice est-elle diagonalisable?
Déterminer \(B_{2}^{p}\) pour \(p\) entier naturel.
En utilisant \(B_{2}\), justifier que \(A_{2}\) est diagonalisable et donner ses éléments propres.
On va généraliser les résultats obtenus pour \(n=2\) en ce qui concerne les éléments propres de \(B_{n}\).
Pour \(x\) réel, on pose \(\displaystyle \operatorname{ch}(x)=\frac{\exp (x)+\exp (-x)}{2}\) et \(\displaystyle \operatorname{sh}(x)=\frac{\exp (x)-\exp (-x)}{2}\).
On admet les résultats suivants, concernant les fonctions ch et sh :
pour tout réel \(x\), \(\exp (x)=\operatorname{ch}(x)+\operatorname{sh}(x)\)
pour tout réel \(x\), \(\operatorname{ch}^{2}(x)-\operatorname{sh}^{2}(x)=1\)
les fonctions ch et sh sont dérivables sur \(\mathbb{R}\) et \(\mathrm{ch}^{\prime}=\mathrm{sh}\) et \(\mathrm{sh}^{\prime}=\mathrm{ch}\).
Pour \(p\) entier naturel avec \(0 \leqslant p \leqslant n\) et \(x\) réel, on pose \(f_{p}(x)=\operatorname{sh}^{p}(x) \operatorname{ch}^{n-p}(x)\) et on désigne par \(F_{n}\) le sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel \(\mathbb{R}^{\mathbb{R}}\) des applications de \(\mathbb{R}\) dans lui-même, engendré par la famille \(\mathscr{B}=\left(f_{0}, f_{1}, \ldots, f_{n}\right)\).
Pour \(p\) entier relatif, on définit la fonction \(e_{p}\) sur \(\mathbb{R}\) par \(e_{p}(x)=\exp (p x)\).
Montrer que la famille \(\mathscr{B}\) est une base de \(F_{n}\).
Soit \(k\) un entier vérifiant \(0 \leqslant 2 k \leqslant n\).
En remarquant que pour \(x\) réel, \(\exp ((n-2 k) x)=\left(\operatorname{ch}^{2}(x)-\operatorname{sh}^{2}(x)\right)^{k}(\operatorname{ch}(x)+\operatorname{sh}(x))^{n-2 k}\), montrer que \(e_{n-2 k}\) est dans \(F_{n}\).
Déterminer les coordonnées de \(e_{n}\) et de \(e_{n-2}\) dans la base \(\mathscr{B}\).
Montrer que \(e_{2 k-n}\) est dans \(F_{n}\).
Pour \(j\) entier naturel avec \(0 \leqslant j \leqslant n\), exprimer la dérivée \(f_{j}^{\prime}\) en fonction de vecteurs de la famille \(\left(f_{0}, f_{1}, \ldots, f_{n}\right)\).
Montrer que l’application \(u_{n}: f \mapsto f^{\prime}\) réalise un endomorphisme de \(F_{n}\) et donner la matrice de \(u_{n}\) dans la base \(\mathscr{B}\).
Soit \(\lambda\) un réel. Quelles sont les fonctions \(f\) dérivables sur \(\mathbb{R}\) vérifiant \(f^{\prime}=\lambda f\) ? (on pourra calculer la dérivée de \(x \mapsto \exp (-\lambda x) f(x)\)).
Montrer que les valeurs propres de \(u_{n}\) sont les entiers de l’ensemble \[\{ \pm n, \pm(n-2), \ldots, \pm(n-2 p)\}\]
où \(p=\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\) (partie entière de \(\frac{n}{2}\)) et qu’un vecteur propre associé à la valeur propre \(\varepsilon(n-2 k)\) pour \(0 \leqslant k \leqslant p\) et \(\varepsilon \in\{-1,1\}\) est l’application \(e_{\varepsilon(n-2 k)}\).
La matrice \(B_{n}\) est-elle diagonalisable?
Montrer que \(\frac{1}{2^n} \begin{pmatrix} 1 & \binom n1 & \binom n2 & \cdots & \binom n{n-1} & 1 \end{pmatrix}\) est l’unique matrice \(L=\begin{pmatrix} \ell_1 & \ell_2 & \cdots & \ell_{n+1} \end{pmatrix}\) telle que : \[\sum_{i=1}^{n+1} \ell_{i}=1 \quad \text { et } L A_{n}^{\prime}=L\]
Une boîte contient \(n\) particules; cette boîte est séparée en deux boîtes notées \(C_{1}\) et \(C_{2}\) par une membrane poreuse. On modélise le passage des particules d’une boîte à l’autre de la façon suivante. À chaque instant entier, on choisit une des \(n\) particules avec équiprobabilité et on la transfère dans l’autre boîte. Les tirages sont supposés indépendants.
On admet qu’il existe un espace probabilisé \(\mathscr{E}=(\Omega, \mathscr{A}, \mathbb{P})\) tel que pour tout \(p\) de \(\mathbb{N}\), le nombre de particules dans la boîte \(C_{1}\) à l’instant \(p\) définit une variable aléatoire \(X_{p}\) sur \(\mathscr{E}\).
Si \(A\) est un événement élément de \(\mathscr{A}\), si \(0 \leqslant k \leqslant n\) et si \(\mathbb{P}\left(X_{p}=k\right)=0\), on pose par convention \(\mathbb{P}_{[X_{p}=k]}(A )=0\). Avec cette convention, on a la formule que l’on pourra admettre :
\[\mathbb{P}(A)=\sum_{k=0}^{n} \mathbb{P}_{[X_{p}=k]}(A ) \, \mathbb{P}(X_{p}=k)\]
L’espérance d’une variable aléatoire \(X\) discrète finie sera notée \(\mathbb{E}(X)\).
On note enfin, pour \(p\) dans \(\mathbb{N}\), \(L_{p}\) la matrice ligne : \[L_{p}= \begin{pmatrix} \mathbb{P}(X_{p}=0) & \mathbb{P}(X_{p}=1) & \cdots & \mathbb{P}(X_{p}=n) \end{pmatrix}\]
Déterminer \(L_{p+1}\) en fonction de \(L_{p}\) en utilisant la matrice \(A_{n}^{\prime}\) et en déduire \(L_{p}\) en fonction de \(A_{n}^{\prime}\), \(p\) et \(L_{0}\).
On suppose dans cette question que \(X_{0}\) suit une loi binomiale de paramètres \(n\) et \(\frac{1}{2}\).
Quelle est la loi suivie par \(X_{p}\) ? Quelle est son espérance et sa variance?
On revient au cas général.
Montrer que pour tout \(p\) entier naturel :
\[\mathbb{E}(X_{p+1})=\left(\frac{n-2}{n}\right) \mathbb{E}(X_{p})+1\]
et en déduire l’espérance de \(X_{p}\) en fonction de \(n, p\) et \(\mathbb{E}(X_{0})\) (on pourra étudier \(\mathbb{E}\left(X_{p}\right)-\frac{n}{2}\)).
Quelle est la limite de \(\mathbb{E}(X_{p})\) lorsque \(p\) tend vers \(+\infty\) ? Ce résultat vous semble-t-il conforme à l’intuition?
Une modélisation physique stipule que la pression \(P_{p}\) dans la boîte \(C_{1}\) à l’instant \(p\) est de l’ordre de \(P_{p}=\mathbb{E} \! \left(\dfrac{X_{p}}{n}\right)\).
On note \(t\) la fréquence de transitions par seconde et on suppose que \(p=n t\) (temps mis pour effectuer \(n\) transitions).
Exprimer la limite de \(P_{n t}\) lorsque \(n\) tend vers \(+\infty\) en fonction de \(t\) et de \(P_{0}\) seulement. Ceci établit une loi de refroidissement due à Isaac Newton.
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
