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Le but du problème est d’étudier le renouvellement d’un des composants d’un système complexe (une machine, un réseau de distribution d’énergie etc...) formé d’un assemblage de différentes pièces susceptibles de tomber en panne. On s’intéresse donc à une de ces pièces susceptibles de se casser ou de tomber en panne et on se place dans la situation idéale où dès que la pièce est défectueuse, elle est immédiatement remplacée. On suppose que le jour \(0\) une nouvelle pièce a été installée et que celle-ci est en état de fonctionnement.
Dans une première partie, on étudie quelques propriétés fondamentales des variables aléatoires discrètes puis, dans une deuxième partie, on étudie la probabilité de devoir changer la pièce un certain jour donné. Enfin, dans une troisième partie on cherche à estimer le temps de fonctionnement du système avec un certain nombre de pièces de rechange à disposition.
Dans tout le problème, on considère un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\) sur lequel toutes les variables aléatoires envisagées sont définies. Pour toute variable aléatoire réelle \(X\), on note, sous réserve d’existence, \(\mathbb{E}(X)\) l’espérance de \(X\) et \(\mathbb{V}(X)\) sa variance.
Les deuxième et troisième parties sont indépendantes, et peuvent en outre être traitées en admettant si besoin les résultats de la première partie.
Dans cette première partie, on considère une variable aléatoire \(X\) à valeurs dans \(\mathbb{N}^{*}\).
Prouver que : \[\forall j\in\mathbb{N}^\ast,\ \mathbb{P}(X=j)=\mathbb{P}(X>j-1)-\mathbb{P}(X>j)\]
En déduire que : \[\forall p\in\mathbb{N}^\ast,\ \sum_{j=1}^{p} j \, \mathbb{P}(X=j)=\sum_{j=0}^{p-1} \mathbb{P}(X>j)-p \, \mathbb{P}(X>p)\]
On suppose, dans cette question uniquement, que \(X\) admet une espérance.
Montrer que : \[\lim _{p \rightarrow+\infty} \sum_{k=p+1}^{+\infty} k \, \mathbb{P}(X=k)=0\]
En déduire que \[\lim _{p \rightarrow+\infty} p \, \mathbb{P}(X>p)=0\]
Montrer que la série \(\sum\limits_j \mathbb{P}(X>j)\) converge et que : \[\mathbb{E}(X) =\sum_{j=0}^{+\infty} \mathbb{P}(X>j)\]
On suppose, dans cette question uniquement, que la série \(\sum\limits_j \mathbb{P}(X>j)\) converge.
Déterminer le sens de variation de la suite \(\left(v_{p}\right)_{p \geqslant 1}\) définie par : \[v_{p}=\sum_{j=1}^{p} j\,\mathbb{P}(X =j)\]
Comparer \(\sum\limits_{j=1}^{p} j \mathbb{P}(X=j)\) et \(\sum\limits_{j=0}^{+\infty} \mathbb{P}(X>j)\).
En déduire que \(X\) admet une espérance.
Que peut-on conclure des questions précédentes ?
On suppose dans cette question qu’il existe un réel \(\alpha\) strictement positif tel que : \[\forall j\in\mathbb{N},\ \mathbb{P}(X>j) =\frac{1}{(j+1)^{\alpha}} \tag{$*$}\]
Légitimer que (1) définit bien une loi de probabilité d’une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbb{N}^*\).
Montrer que \(X\) admet une espérance si et seulement si \(\alpha>1\).
Montrer que : \[\forall j\in\mathbb{N}^\ast,\ \mathbb{P}(X=j)=\frac{1}{j^{\alpha}} \left[1-\frac{1}{\left(1+\frac{1}{j}\right)^{\alpha}}\right]\]
Étudier les variations de \(f: x \mapsto 1-(1+x)^{-\alpha}-\alpha x\) sur \([0,1]\).
En déduire que : \[\forall j\in\mathbb{N}^\ast,\ \mathbb{P}(X=j) \leqslant \frac{\alpha}{j^{1+\alpha}}\]
Montrer, en utilisant le résultat de la question c, que \[j^{\alpha+1} \, \mathbb{P}(X=j) \;\underset{j\to {+\infty}}{\sim}\;\alpha\]
Montrer que \(X\) admet une variance si et seulement si \(\alpha>2\).
Dans cette partie, on suppose qu’un nouveau composant a été installé le jour \(0\) et que, chaque jour à partir du jour \(1\), celui-ci peut tomber en panne avec une probabilité non nulle. Lorsqu’un composant tombe en panne le jour \(k\), on suppose que celui-ci est immédiatement remplacé par un autre composant, qui peut lui-même tomber en panne chaque jour à partir du jour \(k+1\).
Pour tout entier naturel \(i\) non nul, on note \(X_i\) la durée de vie (exprimée en nombre de jours) du \(i^{\grave{e}me}\) composant installé et on suppose que \(\left(X_{i}\right)_{i \geqslant 1}\) est une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes et de même loi à valeurs dans \(\mathbb{N}^{*}\).
Pour tout entier naturel \(k\) non nul, on note : \[T_{k}= \sum_{i=1}^k X_i = X_{1}+\ldots+X_{k}\] \(T_{k}\) représente donc le jour au cours duquel le \(k^{\grave{e}me}\) composant tombe en panne.
Soit \(n\) un entier naturel non nul. On s’intéresse à la survenue d’une panne le jour \(n\) et on note \(A_{n}\) l’événement « le composant en place le jour \(n\) tombe en panne », autrement dit \(A_n\) est l’événement « il existe un entier naturel \(k\) non nul tel que \(T_{k}=n\) ».
On note : \[\forall j\in\mathbb{N}^\ast,\ p_{j}=\mathbb{P}\left(X_{1}=j\right) \quad\text{et}\quad u_{j}=\mathbb{P}(A_{j} )\]
On pose également \(u_0=1\). On rappelle que les termes de la suite \((p_j)_{j\in\mathbb{N}^\ast}\) ainsi définie sont tous non nuls.
Montrer que \(u_{1}=p_{1}\).
Montrer que \(A_{2}=\left[X_{1}=2\right] \cup\left(\left[X_{1}=1\right] \cap\left[X_{2}=1\right]\right)\).
En déduire \(u_{2}\) en fonction de \(p_{1}\) et \(p_{2}\).
Pour tout entier naturel \(i\), on note \(\widetilde{X}_{i}=X_{i+1}\).
Montrer que \((\widetilde{X}_{i})_{i\in\mathbb{N}^\ast}\) est une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes, toutes indépendantes de \(X_{1}\) et de même loi que \(X_{1}\).
Soit \(k\) un entier naturel non nul strictement inférieur à \(n\). Montrer que \[A_{n} \cap\left[X_{1}=k\right]=\left[X_{1}=k\right] \cap \left( \bigcup_{j = 1}^{+\infty}\left[\widetilde{X}_{1}+\widetilde{X}_{2}+\ldots+\widetilde{X}_{j}=n-k\right] \right)\]
En déduire que pour tout entier naturel \(k\) non nul strictement inférieur à \(n\) : \[\mathbb{P}_{\left[X_{1}=k\right]} (A_{n} )=\mathbb{P}(A_{n-k})\]
Montrer que \[u_{n}= \sum_{k=1}^n u_{n-k} p_k = u_{n-1} p_{1}+\ldots+u_{0} p_{n}.\]
On suppose, dans cette question uniquement, que \(X_1\) suit la loi géométrique de paramètre \(p\in \left] 0,1 \right[\).
La fonction flip de la bibliothèque
numpy permet de changer l’ordre des
coefficients d’un vecteur. Par exemple, si
a=np.arange(0,5) alors la commande
np.flip(a) renvoie le vecteur
[4,3,2,1,0].
Compléter le programme Python suivant pour
qu’il calcule et affiche la valeur de \(u_n\), l’entier naturel \(n\) étant entré par l’utilisateur :
import numpy as np
import numpy.random as rd
n=int(input("n="))
p=float(input("p="))
u=np.zeros(n+1)
u[0]=1
P=...................
for i in range(n):
a=np.flip(u[0:i+1])
b=...............
u[i+1]=np.sum(...)
print(u)
Dans ce script, le vecteur u a vocation à
recevoir les valeurs de \(u_0,u_1,\dots,u_n\) et le vecteur
P a pour vocation à recevoir les valeurs de
\(p_1,\dots,p_{n}\). On notera en
particulier que, pour des raisons d’indexation dans
Python, P[i]
contiendra \(p_{i+1}\).
Compléter la ligne (7) du script pour que
P reçoive un vecteur ligne de longueur \(n\) dont les coefficients sont, dans cet
ordre, \(p_1,\dots,p_n\).
Que contient a après l’exécution de
l’instruction a=np.flip(u[0:i+1]) ?
Compléter la ligne (10) pour affecter à
b un vecteur ligne contenant, dans cet ordre,
\(p_1,\dots,p_{i+1}\).
Compléter la ligne (11) pour que u[i+1]
reçoive la valeur de \(u_{i+1}\).
Soit \(p\) un réel appartenant à \(\left] 0,1 \right[\). Dans cette question uniquement, on suppose que \(X_{1}\) suit la loi géométrique de paramètre \(p\).
Calculer \(\mathbb{P}(X_{1}>n)\) pour tout entier naturel \(n\) non nul.
En déduire que : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \mathbb{P}(A_{n} )= p\]
On suppose dans cette question \(X_1\) prend ses valeurs dans \(\{1,2\}\) et que : \[p_1 = \mathbb{P}(X_1 = 1) = p \quad \text{et} \quad p_2 = \mathbb{P}(X_1=2) = 1-p\]
où \(p\) est un réel appartenant à \(]0,1[\).
Que vaut \(p_{i}\) si \(i\) est un entier supérieur ou égal à 3 ?
On considère la matrice \(M\) suivante : \[M= \begin{pmatrix} p & 1-p \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\] Montrer que : \[\forall n\geqslant 2,\ \begin{pmatrix} u_n \\ u_{n-1} \end{pmatrix} = M \begin{pmatrix} u_{n-1} \\ u_{n-2} \end{pmatrix}\]
Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de \(M\).
En déduire que \(M\) est diagonalisable et préciser une matrice \(P\) inversible dont les coefficients de la deuxième ligne sont tous égaux à \(1\) et une matrice \(D\) diagonale telles que \(M=PDP^{-1}\).
Déterminer la matrice \(P^{-1}\).
Prouver que : \[\forall n \in \mathbb{N},\ M^{n} = PD^{n}P^{-1}\]
En déduire finalement : \[\forall n \in \mathbb{N},\ M^{n}=\frac{1}{2-p} \begin{pmatrix} 1 & 1-p \\ 1 & 1-p \end{pmatrix} + \frac{(p-1)^{n}}{2-p} \begin{pmatrix} 1-p & p-1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\]
Exprimer \(u_{n}\) en fonction de \(p\) et de \(n\).
Déterminer la limite de \(u_{n}\) lorsque \(n\) tend vers \({+\infty}\).
Comme dans la partie précédente, on suppose donnée une suite de variables aléatoires \(\left(X_{i}\right)_{i \geqslant 1}\) indépendantes et de même loi, telle que pour tout entier \(i\) non nul, \(X_{i}\) représente la durée de vie en jours du \(i^{\grave{e}me}\) composant installé.
Soit \(k\) un entier naturel non nul. On étudie dans cette partie la durée de fonctionnement prévisible du système si on dispose de \(k\) composants (y compris celui installé au départ). On notera toujours \(T_{k}=X_{1}+\ldots+X_{k}\).
Dans toute la suite du problème, on considère un réel \(\alpha>1\) et on suppose que la loi de \(X_1\) vérifie : \[\forall j\in\mathbb{N},\ \mathbb{P}(X_{1}>j )=\frac{1}{(j+1)^{\alpha}}\]
En particulier, \(X_{1}\) admet donc une espérance, que l’on notera \(\mu=\mathbb{E}(X_{1} )\).
Que vaut \(\mathbb{E}(T_{k })\) ?
On suppose, dans cette question uniquement, que \(\alpha\) est strictement supérieur à 2, donc que \(X_{1}\) admet une variance \(\sigma^{2}\).
Calculer \(\mathbb{V}(T_{k} )\).
Montrer que : \[\forall \varepsilon\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \mathbb{P}\! \left( \left| T_{k}-k \mu \right| \geqslant k \varepsilon \right) \leqslant \frac{\sigma^{2}}{k \varepsilon^{2}}\]
En déduire que : \[\forall \varepsilon\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \lim _{k \rightarrow+\infty} \mathbb{P}\! \left( \frac{T_{k}}{k} \in \left] \mu-\varepsilon, \mu+\varepsilon \right[ \right) =1\]
On suppose de nouveau uniquement que \(\alpha>1\) et donc que \(X_{1}\) n’a pas nécessairement de variance. On fixe un entier naturel \(m\) strictement positif et on définit, pour tout entier naturel non nul \(i\), deux variables aléatoires \(Y_{i}^{(m)}\) et \(Z_{i}^{(m)}\) de la façon suivante : \[\forall \omega \in \Omega,\ Y_{i}^{(m)}(\omega) = \begin{cases} X_i(\omega) &\text{si } X_i(\omega) \leqslant m \\ \hspace{0.5cm} 0 &\text{sinon} \end{cases} \quad \text{et} \quad Z_{i}^{(m)}(\omega) = \begin{cases} X_i(\omega) &\text{si } X_i(\omega) > m \\ \hspace{0.5cm} 0 &\text{sinon} \end{cases}\]
Montrer que : \[\forall i\in\mathbb{N}^\ast,\ X_{i}=Y_{i}^{(m)}+Z_{i}^{(m)}\]
En utilisant la question 9d, montrer que : \[\mathbb{E}\! \left(Z_{1}^{(m)}\right) \leqslant \sum_{i=m+1}^{+\infty} \frac{\alpha}{i^{\alpha}}\]
Montrer que : \[\mathbb{E}\! \left(Z_{1}^{(m)}\right) \leqslant \int_{m}^{+\infty} \frac{\alpha}{x^{\alpha}} \,\mathrm{d}x\]
Calculer l’intégrale \(\displaystyle \int_{m}^{+\infty} \frac{\alpha}{x^{\alpha}} \,\mathrm{d}x\).
En déduire que : \[\lim _{m \rightarrow+\infty} \mathbb{E}\! \left(Z_{1}^{(m)}\right)=0\]
Prouver finalement que : \[\lim _{m \rightarrow+\infty} \mathbb{E}\! \left(Y_{1}^{(m)}\right)=\mu\]
Montrer que \[\left(Y_{1}^{(m)}\right)^{2} \leqslant m X_{1}\]
En déduire que \[\mathbb{V}\! \left(Y_{1}^{(m)}\right) \leqslant m \mu\]
Soit \(\varepsilon\) un réel strictement positif. Montrer qu’il existe un entier naturel \(m_{0}\) non nul tel que : \[\forall m\geqslant m_0,\ \frac{\alpha}{\alpha-1} \, m^{1-\alpha} \leqslant \varepsilon\] Jusqu’à la fin du problème, \(m\) désignera un entier supérieur ou égal à \(m_{0}\).
On note, pour tout entier naturel \(k\) non nul : \[U_{k}^{(m)}=\sum_{i=1}^{k} Y_{i}^{(m)} \quad \text{et} \quad V_{k}^{(m)}=\sum_{i=1}^{k} Z_{i}^{(m)}\] Vérifier que \[T_{k}=U_{k}^{(m)}+V_{k}^{(m)}\]
Montrer que : \[\mathbb{E}\! \left(V_{k}^{(m)}\right) \leqslant k \times \frac{\alpha}{\alpha-1} \, m^{1-\alpha}\]
En déduire que : \[\mathbb{P}\left(V_{k}^{(m)} \geqslant k \varepsilon\right) \leqslant \frac{\alpha}{\alpha-1} \times \frac{m^{1-\alpha}}{\varepsilon}\]
Montrer que : \[\mathbb{E}\! \left(U_{k}^{(m)}\right) \geqslant k \mu- \frac{k\alpha}{\alpha-1} \, m^{1-\alpha}\]
En déduire que : \[\left|\mathbb{E}\! \left(U_{k}^{(m)}\right)-k \mu\right| \leqslant k \varepsilon\]
Montrer que : \[\mathbb{P}\left(\left|U_{k}^{(m)}-k \mu\right| \geqslant 2 k \varepsilon\right) \leqslant \mathbb{P}\left(\left|U_{k}^{(m)}-\mathbb{E}\! \left(U_{k}^{(m)}\right)\right| \geqslant k \varepsilon\right)\]
Prouver que : \[\mathbb{V}\! \left(U_{k}^{(m)}\right) \leqslant k m \mu\]
En déduire que : \[\mathbb{P}\left(\left|U_{k}^{(m)}-k \mu\right| \geqslant 2 k \varepsilon\right) \leqslant \frac{m \mu}{k \varepsilon^{2}}\]
Montrer que pour tout couple d’événements \(A\) et \(B\) dans \(\mathcal{A}\) : \[\mathbb{P}(A \cap B) \geqslant \mathbb{P}(A)+\mathbb{P}(B)-1\]
En appliquant l’inégalité précédente aux événements \[A= \left[V_{k}^{(m)}<k \varepsilon\right] \quad \text{et} \quad B=\left[ U_{k}^{(m)} \in \left] k \left( \mu-2 \varepsilon \right) , k \left( \mu+2 \varepsilon \right) \right[ \right]\] montrer que : \[\mathbb{P}\! \left(T_{k} \in\left] k \left( \mu-3 \varepsilon \right), k \left( \mu+3 \varepsilon \right) \right[ \right) \geqslant \mathbb{P}\! \left(V_{k}^{(m)}<k \varepsilon\right)+\mathbb{P}\! \left( U_{k}^{(m)} \in \left] k \left( \mu-2 \varepsilon \right) , k \left( \mu+2 \varepsilon \right) \right[ \right) -1\]
Déduire des questions précédentes que : \[\mathbb{P}\! \left(T_{k} \in\left] k \left( \mu-3 \varepsilon \right), k \left( \mu+3 \varepsilon \right) \right[ \right) \geqslant 1-\frac{\alpha}{\alpha-1} \times \frac{m^{1-\alpha}}{\varepsilon}-\frac{m \mu}{k \varepsilon^{2}}\]
Pour \(k\) assez grand, appliquer l’inégalité précédente à un entier \(m_{k} \in[\sqrt{k}, 2 \sqrt{k}]\) pour conclure que : \[\lim _{k \rightarrow+\infty} \mathbb{P}\! \left(\frac{T_{k}}{k} \in\left] \mu-3 \varepsilon, \mu+3 \varepsilon \right[ \right)=1\]
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.