Connectez-vous pour consulter le corrigé.
Notations et objectifs :
Dans tout le problème, \(E\) désigne l’espace vectoriel réel des fonctions continues sur le segment \([0,1]\) et à valeurs réelles. Sous réserve d’existence, on note : \[\varphi : x\mapsto \dfrac{1}{x} - \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2x}{n^2-x^2} \quad\text{et}\quad \psi : x\mapsto \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\,\frac{x}{n^2-x^2}.\]
Le but du problème est d’obtenir, à l’aide des fonctions \(\varphi\) et \(\psi\), des expressions des fonctions \(\sin\), \(\dfrac{1}{\sin}\) et \(\dfrac{\cos}{\sin}\) comme somme de séries ou produit infini (on parle de développements eulériens).
Plus précisément, dans la partie I, on étudie les premières propriétés de la fonction \(\varphi\) ; dans la seconde partie, on introduit et on étudie l’opérateur \(T\) défini sur \(E\) par : \[\forall f\in E,\ \forall x\in [0,1],\ \left[ T(f)\right](x) = f\!\left( \dfrac{x}{2} \right) + f\!\left( \dfrac{x+1}{2} \right).\]
On en déduit une expression de la fonction \(\dfrac{\cos}{\sin}\), puis, dans la partie III, de la fonction sinus. Enfin, dans la partie IV, l’étude de la fonction \(\psi\) permet d’obtenir une expression de \(\dfrac{1}{\sin}\).
Montrer que, pour tout nombre réel \(x\) qui n’est pas un entier relatif, la série de terme général \(u_n(x) = \dfrac{2x}{n^2-x^2}\) est convergente.
Dans la suite, on notera \(D\) l’ensemble des nombres réels qui ne sont pas des entiers relatifs. La fonction \(\varphi\) est donc définie sur \(D\).
Imparité et périodicité de \(\varphi\) :
Justifier que \(\varphi\) est impaire.
Vérifier que pour \(x\) dans \(D\) : \(\dfrac{2x}{n^2-x^2} = \dfrac{1}{n-x} - \dfrac{1}{n+x}\).
Montrer que pour \(x\) dans \(D\) : \(\varphi(x+1)=\varphi(x)\).
La fonction \(\varphi\) est donc périodique de période \(1\).
Continuité de \(\varphi\) :
Justifier pour \(x\) dans l’ensemble \(D\cup \{0,1\}\) l’existence de : \[g(x)= \sum_{n=2}^{+\infty}\frac{2x}{n^2-x^2} = \sum_{n=2}^{+\infty}\left( \frac{1}{n-x} - \frac{1}{n+x} \right).\]
Vérifier que : \(\forall x\in D,\ \varphi(x) = \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{1-x} + \dfrac{1}{1+x} - g(x)\).
Soit \(h\) un nombre réel de \(\left] -\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2} \right[\), montrer que : \[\forall x\in [0,1],\ \left| g(x+h) - g(x) \right| \leqslant C\left| h \right|\] où : \(C=\displaystyle\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{2}{(n-1)\left( n-\frac{3}{2} \right)}\).
En déduire que \(g\) est continue sur \([0,1]\) puis que \(\varphi\) est continue sur \(]0,1[\).
La fonction \(\varphi\) est donc continue sur \(D\).
Étude de \(\varphi\) en \(0\) et en \(1\) :
Montrer que : \(\varphi(x) \;\underset{x\to 0}{\sim}\; \dfrac{1}{x}\) et que : \(\displaystyle\lim_{x\to 0} \left( \varphi(x) - \dfrac{1}{x} \right) = 0\).
Obtenir des résultats similaires lorsque \(x\) tend vers \(1\).
On rappelle que \(E\) désigne l’espace vectoriel réel des fonctions continues sur le segment \([0,1]\) et à valeurs réelles.
\(T\) est l’application définie sur \(E\) par : \[\forall f\in E,\ \forall x\in [0,1],\ \left[ T(f)\right](x) = f\!\left( \dfrac{x}{2} \right) + f\!\left( \dfrac{x+1}{2} \right).\]
On note, pour tout entier naturel \(k\), \(e_k\) l’élément de \(E\) défini par : \[\forall x\in [0,1],\ e_k(x) = x^k\]
et pour tout entier naturel \(n\), \(F_n\) le sous-espace vectoriel de \(E\) dont une base est \(B_n=(e_k)_{k\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n} \right]\kern-0.15em\right]}\).
Vérifier que \(T\) est un endomorphisme de \(E\).
Étude de \(T\) sur \(F_n\) :
Vérifier que : \(\forall f\in F_n,\ T(f) \in F_n\).
On note \(T_n\) l’endomorphisme de \(F_n\) défini par : \(\forall f\in F_n,\ T_n(f)=T(f)\).
Déterminer la matrice de \(T_n\) dans la base \(B_n\).
Quelles sont les valeurs propres de \(T_n\) ? \(T_n\) est-il diagonalisable ?
Étude du noyau de l’endomorphisme \((T-2\,id_E)\) :
Montrer que \(\mathrm{Ker}(T- 2\,id_E)\) n’est pas réduit à \(\{ 0_E\}\).
Soit \(f\) un élément de \(\mathrm{Ker}(T-2\, id_E)\). On note : \[\displaystyle m=\min_{x\in [0,1]} f(x) \quad\text{et}\quad \displaystyle M=\max_{x\in [0,1]} f(x).\]
On fixe \(x_0\) dans \([0,1]\) tel que \(m=f(x_0)\) et \(x_1\) dans \([0,1]\) tel que \(M=f(x_1)\).
Montrer que : \(f\!\left( \dfrac{x_0}{2} \right) = m\).
En déduire que : \(\forall n \in \mathbb{N},\ f\!\left( \dfrac{x_0}{2^n} \right) = m\).
En déduire que : \(m=f(0)\).
Faire une étude similaire pour \(M\).
Montrer alors que \(f\) est constante.
Étude de la fonction \(\cot\) :
Pour tout \(x\) dans l’ensemble \(D\), on note \(\cot(x) = \pi\,\dfrac{\cos(\pi x)}{\sin(\pi x)}\).
Vérifier que \(\cot\) est définie et continue sur \(D\), qu’elle est impaire et périodique de période \(1\).
Montrer que : \(\cot(x) \;\underset{x\to 0}{\sim}\; \dfrac{1}{x}\) et que : \(\cot(x) - \dfrac{1}{x} \;\underset{x\to 0}{\sim}\; -\dfrac{\pi^2}{3}\,x\).
Obtenir des résultats similaires lorsque \(x\) tend vers \(1\).
Démontrer que, pour tout nombre réel \(x\) dans \(D\), on a : \(\dfrac{x}{2} \in D\), \(\dfrac{x+1}{2} \in D\) et : \[\cot\!\left( \dfrac{x}{2} \right) + \cot\!\left( \dfrac{x+1}{2} \right) = 2\,\cot(x).\]
Calcul de \(\varphi\) :
Vérifier que, pour tout nombre réel \(x\) dans \(D\), \(\varphi\!\left( \dfrac{x}{2} \right) + \varphi\!\left( \dfrac{x+1}{2} \right) = 2 \, \varphi(x)\).
Montrer que \(\varphi-\cot\) se prolonge par continuité sur \([0,1]\).
Démontrer alors que \(\varphi=\cot\).
Autrement dit : \(\forall x\in D,\ \pi\,\dfrac{\cos(\pi x)}{\sin(\pi x)} = \dfrac{1}{x} - \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{2x}{n^2-x^2}\).
Première application :
Déterminer \(\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{1-x\,\cot(x)}{2x^2}\).
Pour tout nombre réel \(x\) dans \(]0,1[\), on pose \(\delta(x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^2-x^2} - \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}\).
Vérifier que \(\displaystyle\left| \delta (x) - \dfrac{x^2}{1-x^2} \right| \leqslant x^2 \sum_{n=2}^{+\infty}\dfrac{1}{n^2 \left( n^2 -1 \right)}\).
En déduire que \(\displaystyle\lim_{x\to 0} \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^2-x^2} = \sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^2}\).
Déterminer \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^2}\).
Pour tout \(n\) entier naturel non nul et tout nombre réel \(x\) dans \([0,1[\), on pose \(\alpha_n(x) = \ln\!\left( 1- \dfrac{x^2}{n^2} \right)\) et \(\beta_n(x) = \displaystyle\sum_{k=1}^n \alpha_k(x)\).
Montrer que, pour tout nombre réel \(x\) dans \([0,1[\), la série \(\displaystyle\sum_{n\geqslant 1} \alpha_n(x)\) converge. On note alors \(\beta(x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\alpha_n(x)\).
Explicitation de \(\beta\) : on fixe un nombre réel \(x\) dans \(]0,1[\).
Pour \(N\) entier naturel non nul, calculer \(\displaystyle\int_0^x \left( \sum_{n=1}^N \frac{-2t}{n^2-t^2} \right) \mathrm{d}t\) en fonction de \(\beta_N(x)\).
Justifier l’existence de \(\displaystyle\int_0^x \left( \varphi(t) - \dfrac{1}{t} \right) \mathrm{d}t\).
Montrer que : \(\displaystyle\left| \int_0^x \left( \varphi(t) - \dfrac{1}{t} \right) \mathrm{d}t- \int_0^x \left( \sum_{n=1}^N \frac{-2t}{n^2-t^2} \right) \mathrm{d}t \right| \leqslant \sum_{n=N+1}^{+\infty}\frac{1}{n^2-1}\).
En déduire que : \(\beta(x) = \displaystyle\int_0^x \left( \varphi(t) - \dfrac{1}{t} \right) \mathrm{d}t\).
Montrer alors que, pour tout nombre réel \(x\) dans \(]0,1[\), \(\beta(x) = \ln\! \left( \dfrac{\sin(\pi x)}{\pi x} \right)\).
Pour tout nombre réel \(x\) et pour tout entier naturel non nul \(n\), on pose \[P_n(x) = \pi x \displaystyle\prod_{k=1}^n \left( 1- \frac{x^2}{k^2} \right).\]
Montrer que, pour tout nombre réel \(x\) de \([0,1[\), la suite \(\left( P_n(x) \right)_{n\geqslant 1}\) est convergente.
Dans la suite, on pose \(P(x) = \displaystyle\lim\limits_{n\to+\infty}P_n(x)\) et on note : \[P(x)= \pi x \displaystyle\prod_{n=1}^{+\infty}\left( 1- \frac{x^2}{n^2} \right).\]
Vérifier que, pour tout nombre réel \(x\) de \([0,1[\) : \[P(x) = \pi x \, \exp\!\left( \beta(x) \right) = \sin(\pi x).\]
Montrer que la suite \(\left( P_n(x) \right)_{n\geqslant 1}\) est en fait convergente pour tout nombre réel \(x\). On note encore \(P(x) = \displaystyle\lim\limits_{n\to+\infty}P_n(x)\).
Soient \(n\) un entier naturel non nul et \(x\) un nombre réel dans \(]-n,n[\), montrer que \(P_n(x+1)= - \left( \dfrac{n+1+x}{n-x} \right) P_n(x)\).
En déduire que, pour tout nombre réel \(x\) : \(P(x+1)=-P(x)\). Vérifier alors que \(P\) est \(2\)-périodique sur \(\mathbb{R}\).
Montrer alors que, pour tout nombre réel \(x\), \(P(x)=\sin(\pi x)\).
Finalement, on obtient ainsi : \(\forall x\in\mathbb{R},\ \sin(\pi x) = \pi x \displaystyle\prod_{n=1}^{+\infty}\left( 1- \frac{x^2}{n^2} \right)\).
Dans cette partie, pour tout entier naturel non nul \(n\) et pour tout nombre réel \(x\) dans \(D\cup \{ 0 \}\), on pose \(\lambda_n(x) = \displaystyle\int_0^\pi \cos(xt) \cos(nt)\,\mathrm{d}t\) et \(v_n(x) = (-1)^{n-1}\,\dfrac{x}{n^2-x^2}\).
Montrer que, pour tout nombre réel \(x\) dans \(D\cup \{ 0 \}\), la série de terme général \(v_n(x)\) est convergente.
La fonction \(\psi\) est donc définie sur \(D\cup \{ 0 \}\).
Montrer que, pour tout entier naturel non nul \(n\) et pour tout nombre réel \(x\) dans \(D\cup \{0 \}\) : \[\lambda_n(x) = \displaystyle\frac{(-1)^{n-1} x \sin(\pi x)}{n^2-x^2} = \sin(\pi x) \, v_n(x)\]
Pour cela, on pourra utiliser sans la démontrer la formule trigonométrique : \[\cos(a) \cos(b) = \dfrac{1}{2} \left( \cos(a+b) + \cos(a-b) \right)\]
Pour tout \(t\in\mathbb{R}\) et pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), on pose \(C_n(t) = \displaystyle\sum_{k=1}^n \cos(kt)\).
Vérifier que lorsque \(t\) n’est pas de la forme \(2p\pi\), \(p\in\mathbb{Z}\) : \[C_n(t) = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}\,\dfrac{\sin\!\left( \left( 2n+1 \right) \frac{t}{2} \right)}{\sin\!\left( \frac{t}{2} \right)}.\]
Expliciter \(C_n(t)\) lorsque \(t\) s’écrit \(2p \pi\) avec \(p\) dans \(\mathbb{Z}\).
Donner la valeur de \(I_n=\displaystyle\int_0^\pi C_n(t)\,\mathrm{d}t\).
Soit \(F\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \([0,\pi]\), montrer, à l’aide d’une intégration par parties, que : \[\displaystyle\lim\limits_{n\to+\infty}\left( \int_0^\pi F(t) \,\sin \!\left( \left( 2n+1 \right) \frac{t}{2} \right)\mathrm{d}t\right)=0.\]
Pour \(x\) élément de \(D\), on définit la fonction \(\Phi_x\) sur \([0,\pi]\) par : \[\Phi_x(t) = \begin{cases} \dfrac{\cos(xt) - 1}{\sin\!\left( \frac{t}{2} \right)} &\text{si } t\in \left] 0,\pi\right] \\ \hfill 0 \hfill &\text{si } t=0 \rule[0pt]{0pt}{15pt} \end{cases}.\]
Montrer que \(\Phi_x\) est de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \([0,\pi]\).
Vérifier que, pour tout \(t\in [0,\pi]\) : \[C_n(t) \left( \cos(xt) - 1 \right) = -\frac{1}{2} \left( \cos(xt) - 1 \right) + \frac{1}{2} \,\Phi_x(t) \, \sin\!\left( \left( 2n+1 \right) \frac{t}{2} \right).\]
En déduire que, pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\) et pour tout \(x\in D\) : \[\sum_{k=1}^n \lambda_k(x) = -\frac{1}{2} \,\frac{ \sin(\pi x)}{x} + \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \int_0^\pi \Phi_x(t)\, \sin\!\left( \left( 2n+1 \right) \frac{t}{2} \right) \mathrm{d}t+ I_n.\]
Application :
Démontrer, à l’aide des questions précédentes que, pour tout \(x \in D\) : \[\psi(x) \, \sin(\pi x) = -\frac{1}{2} \,\frac{ \sin(\pi x)}{x} + \frac{\pi}{2}.\]
En déduire que, pour tout \(x\) élément de \(D\), \(\displaystyle\dfrac{\pi}{\sin(\pi x)} = \dfrac{1}{x} + 2x \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^2-x^2}\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
