Connectez-vous pour consulter le corrigé.
Dans tout le problème, on adopte les notations suivantes :
\(\mathcal C^0\left([0,1],\mathbb{R}\right)\) désigne l’ensemble des fonctions continues sur le segment \([0,1]\) et à valeurs dans \(\mathbb{R}\).
Pour tout entier naturel \(k\) supérieur ou égal à \(1\), \(\mathcal C^k\left([0,1],\mathbb{R}\right)\) désigne l’ensemble des fonctions \(k\) fois dérivables sur le segment \([0,1]\), à valeurs dans \(\mathbb{R}\) et dont les dérivées successives jusqu’à la \(k\)-ème sont continues.
Si \(f\) est une fonction continue sur le segment \([0,1]\) et à valeurs dans \(\mathbb{R}\), on note \(\left\| f \right\|_{\infty}\) le nombre réel \(\displaystyle\max_{t\in [0,1]}\left| f(t) \right|\).
Si \(q\) est une fonction continue sur le segment \([0,1]\) et à valeurs dans \(\mathbb{R}\), on note \(F(q)\) l’ensemble défini par : \[F(q) = \left\lbrace f\in \mathcal C^2 \left( [0,1],\mathbb{R}\right) \ / \ \forall t\in [0,1],\ f''(t) = q(t) \, f(t) \right\rbrace.\]
Montrer que \(F(q)\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathcal C^0 \left( [0,1],\mathbb{R}\right)\).
Pour toute fonction \(f\) de \(\mathcal C^0 \left( [0,1],\mathbb{R}\right)\), on définit la fonction \(\Phi(f)\) par : \[\Phi(f) : t\in [0,1] \mapsto \int_0^t \left( t-u \right) q(u) \, f(u)\,\mathrm{d}u.\]
Vérifier que l’application \(\Phi\), qui à \(f\) associe \(\Phi(f)\), est un endomorphisme de \(\mathcal C^0 \left( [0,1],\mathbb{R}\right)\).
Montrer que \(\Phi(f)\) appartient à \(\mathcal C^2 \left( [0,1],\mathbb{R}\right)\) et calculer \(\left[ \Phi(f) \right]'\) et \(\left[ \Phi(f) \right]''\).
En déduire pour toute fonction \(f\) de \(\mathcal C^0 \left( [0,1],\mathbb{R}\right)\), \(f\) appartient à \(F(q)\) et vérifie : \(f(0)=f'(0)=0\) si et seulement si \(\Phi(f) = f\).
Soit \(f\) dans \(\mathcal C^0 \left( [0,1],\mathbb{R}\right)\). On définit la suite de fonctions \((f_n)_{n\in\mathbb{N}}\) par \(f_0=f\) et, pour tout \(n\) entier naturel, \(f_{n+1}=\Phi(f_n)\).
Montrer que : \(\forall t\in [0,1],\ \left| f_n(t) \right| \leqslant \left\| q \right\|_\infty^n \left\| f_0 \right\|_\infty \dfrac{t^n}{n!}\).
En déduire que, pour tout \(t\) de \([0,1]\), la suite \(\left( f_n(t) \right)_{n\in\mathbb{N}}\) converge vers \(0\).
Montrer alors que si \(f\) appartient à \(F(q)\) et vérifie : \(f(0)=f'(0)=0\), alors \(f\) est nulle.
Montrer que l’application \(\Delta: \begin{cases} F(q) & \to \mathbb{R}^2 \\ \hfill f & \mapsto \left( f(0),f'(0) \right) \end{cases}\) est linéaire et injective. Que peut-on en déduire pour la dimension de \(F(q)\) ?
Soient \(\omega\) une fonction continue sur le segment \([0,1]\) et à valeurs réelles strictement positives et \(a\) un nombre réel. On note : \[E_a(\omega) = \left\lbrace f \in \mathcal C^2\left( [0,1],\mathbb{R}\right) \ / \ \forall t\in [0,1],\ f''(t) = -a\omega(t) f(t) \text{ et } f(0)=f(1)=0\right\rbrace\]
Montrer que \(E_a(\omega)\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathcal C^0\left( [0,1],\mathbb{R}\right)\).
Un exemple élémentaire : le cas \(a=0\). Décrire \(E_0(\omega)\).
Un exemple constructif : le cas \(\omega\) est la fonction constante \(1\).
Pour \(a\) strictement négatif, remarquer que les fonctions \[t\mapsto \exp\!\left( \left( \sqrt{-a} \right) t \right) \quad \text{et} \quad t\mapsto \exp\!\left( - \left( \sqrt{-a} \right) t \right)\]
sont dans \(F(-a)\). En déduire \(E_a(1)\) pour \(a\) strictement négatif.
Pour \(a\) strictement positif, remarquer que \(t\mapsto \cos\!\left( \left( \sqrt{a} \right) t \right)\) et \(t\mapsto \sin\!\left( \left( \sqrt{a} \right) t \right)\) sont dans \(F(-a)\). Décrire \(E_a(1)\) pour \(a\) strictement positif en discutant suivant la nature du nombre réel \(\sqrt{a} / \pi\).
On revient au cas général, montrer que : \(\dim(E_a(\omega)) \leqslant 1\). On pourra faire intervenir encore l’application \(\Delta\).
Montrer que : si \(E_a(\omega)\) n’est pas réduit à \(\{0 \}\), alors \(a\) est strictement positif (on pourra introduire \(\displaystyle\int_0^1 \left( f'(t) \right)^2 \mathrm{d}t\)).
Lorsque \(f\) et \(g\) sont deux fonctions continues sur le segment \([0,1]\) et à valeurs dans \(\mathbb{R}\), on pose : \(\left \langle f \,\vert \, g \right \rangle = \displaystyle\int_0^1 f(t) g(t) \omega(t)\,\mathrm{d}t\). Vérifier que cela définit bien un produit scalaire sur \(\mathcal C^0 \left( [0,1],\mathbb{R}\right)\).
Dans toute la suite du problème, l’espace \(\mathcal C^0 \left( [0,1],\mathbb{R}\right)\) est muni de ce produit scalaire.
Pour \(f\) dans \(\mathcal C^0 \left( [0,1],\mathbb{R}\right)\), on note : \(\left\| f \right\|_2 = \sqrt{\left \langle f \,\vert \, f \right \rangle} = \sqrt{\displaystyle\int_0^1 \left( f(t) \right)^2 \omega(t)\,\mathrm{d}t}\).
Si \(a\) et \(b\) sont deux nombres réels distincts, montrer que \(E_a(\omega)\) et \(E_b(\omega)\) sont orthogonaux.
Dans cette partie, \(\omega\) est la fonction constante \(1\) et \(p\) est un entier supérieur ou égal à \(2\). Pour tout \(k\) entier naturel non-nul, on note \(\psi_k\) la fonction définie par : \[\psi_k : t \in [0,1] \mapsto \sqrt{2} \, \sin(k\pi t).\]
Vérifier qu’il existe un nombre réel \(a\) strictement positif tel que \(\psi_k\) appartienne à \(E_a(1)\).
Pour tout couple \((k,l)\) dans \((\mathbb{N}^\ast)^2\), calculer : \(\left \langle \psi_k \,\vert \, \psi_l \right \rangle= \displaystyle\int_0^1 \psi_k(t)\psi_l(t)\,\mathrm{d}t\).
On note \(G\) le sous-espace vectoriel de \(\mathcal C^0 \left( [0,1],\mathbb{R}\right)\) engendré par \((\psi_1,\dots,\psi_p)\). Vérifier que \(C=(\psi_1,\dots,\psi_p)\) est une base orthonormée de \(G\).
Pour \(g\) élément de \(G\), on définit la fonction \(u(g)\) par : pour tout \(t \in [0,1]\), \[\left( u(g) \right)(t) = 2 \cos(\pi t) g(t) - \left( \int_0^1 g(x) \psi_p(x) \,\mathrm{d}x\right) \psi_{p+1}(t).\]
Montrer que \(u:g\mapsto u(g)\) est un endomorphisme de \(G\).
Écrire la matrice de \(u\) dans la base \(C\). Justifier que \(u\) est diagonalisable.
Vérifier que, pour \(g\) élément de \(G\) : \(\left \langle g \,\vert \, u(g) \right \rangle = 2 \displaystyle\int_0^1 \cos(\pi t) g^2(t)\,\mathrm{d}t\).
Soit \(\lambda\) une valeur propre de \(u\), montrer d’abord que \(\lambda\) appartient au segment \([-2,2]\). Vérifier ensuite que \(\lambda\) ne vaut ni \(2\) ni \(-2\) (on pourra raisonner par l’absurde).
Soient \(\lambda\) une valeur propre de \(u\) et \(\theta\) un réel de \(]0,\pi[\) tel que : \(\lambda = 2\cos(\theta)\), on note \(\psi\) un vecteur propre associé. Il existe un \(p\)-uplet de nombres réels \((x_1,\dots,x_p)\) tel que : \(\displaystyle\psi= \sum_{k=1}^p x_k \psi_k\). On pose \(x_0=x_{p+1}=0\).
Vérifier que, pour tout \(k\) dans \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,p} \right]\kern-0.15em\right]\), \(x_{k+1}-2\cos(\theta)\, x_k + x_{k-1}=0\).
On admet que l’on peut en déduire l’existence d’un couple \((A,B)\) de nombres réels tel que, pour tout \(k\) dans \(\left[\kern-0.15em\left[ {0,p+1} \right]\kern-0.15em\right]\), \(x_k=A\cos(k\theta) + B\sin(k\theta)\).
Justifier que \(A\) est nul et qu’il existe \(s\) dans \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,p} \right]\kern-0.15em\right]\) tel que \(\theta = \dfrac{s\pi}{p+1}\).
En déduire les valeurs propres de \(u\) et une base de vecteurs propres de \(u\).
On revient au cas général : \(\omega\) est une fonction continue sur le segment \([0,1]\) et à valeurs réelles strictement positives. On note \((H_\omega)\) l’hypothèse : il existe une suite bornée \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\) de réels strictement positifs, deux à deux distincts, telle que, pour tout entier \(n\), \(E_{a_n}(\omega)\) n’est pas réduit à \(\{0\}\).
L’hypothèse \((H_\omega)\) est-elle vérifiée si \(\omega\) est la fonction constante \(1\) ? Justifier la réponse.
On se propose de démontrer, par l’absurde, que cette hypothèse n’est jamais réalisée.
Ainsi, on suppose qu’il existe \(\omega\) une fonction continue sur le segment \([0,1]\) et à valeurs réelles strictement positives telle que l’hypothèse \((H_\omega)\) est réalisée ; on note \(a\) un nombre réel positif et \((a_n)_{n\in\mathbb{N}}\) une suite de nombres réels deux à deux distincts, tels que, pour tout entier \(n\) : \(E_{a_n}(\omega) \neq \{0 \}\) et \(0<a_n \leqslant a\).
Justifier l’existence d’une suite de fonctions \((f_n)_{n\in\mathbb{N}}\) de \(\mathcal C^0\left( [0,1],\mathbb{R}\right)\) vérifiant : \(\forall n \in \mathbb{N},\ f_n \in E_{a_n}(\omega)\) et \(\displaystyle\int_0^1 \left( f_n(t)\right) ^2 \omega(t) \,\mathrm{d}t= 1\). Une telle suite est ainsi fixée jusqu’à la fin de ce problème.
Soit \(\varphi\) dans \(\mathcal C^0 \left( [0,1],\mathbb{R}\right)\). Pour tout \(n\) entier naturel, on note : \[c_n(\varphi) = \int_0^1 f_n(t) \varphi(t)\omega(t)\,\mathrm{d}t\quad\text{et}\quad S_n(\varphi) = \sum_{k=0}^n c_k(\varphi) f_k.\]
Que représente \(S_n(\varphi)\) ?
Vérifier que, pour tout \(n\) entier naturel : \[\left\| S_n(\varphi) \right\|_2^2 = \displaystyle\sum_{k=0}^n \left( c_k (\varphi) \right)^2 \quad\text{et}\quad \displaystyle\sum_{k=0}^n \left( c_k (\varphi) \right)^2 \leqslant \left\| \varphi \right\|_2^2.\]
Que peut-on dire de la série \(\displaystyle\sum_{n\geqslant 0} \left( c_n (\varphi) \right)^2\) ?
En déduire : \(\displaystyle\lim\limits_{n\to+\infty}\int_0^1 f_n(t)\varphi(t)\omega(t)\,\mathrm{d}t=0\) et \(\displaystyle\lim\limits_{n\to+\infty}\int_0^1 f_n''(t)\varphi(t)\,\mathrm{d}t=0\).
Soit \(x\) un nombre réel fixé dans le segment \([0,1]\). On définit la fonction \(\varphi_x\) par : \[\varphi_x : t\in [0,1] \mapsto \begin{cases} t \left( x-1 \right) &\text{si } t\in [0,x] \\ x \left( t-1 \right) &\text{si } t\in \left] x,1\right] \end{cases}.\]
Vérifier que \(\varphi_x\) est un élément de \(\mathcal C^0\left( [0,1],\mathbb{R}\right)\).
Rappeler la formule de Taylor avec reste intégral appliquée à \(f_n\) à l’ordre \(1\) entre \(0\) et \(x\).
Vérifier que : \[f_n(x) = xf_n'(0) + \displaystyle\int_0^x \left( x-t \right) f_n''(t) \,\mathrm{d}t \quad \text{puis : } f_n'(0)= - \displaystyle\int_0^1 \left( 1-t\right) f_n''(t)\,\mathrm{d}t.\]
En déduire : \(f_n(x) = \displaystyle\int_0^1 \varphi_x(t) f_n''(t)\,\mathrm{d}t\) et conclure : \(\lim\limits_{n\to+\infty}f_n(x)=0\).
Remarquer : \(f_n(x) = -a_n \left \langle \varphi_x \,\vert \, f_n \right \rangle\), en déduire : \(\left| f_n(x) \right| \leqslant a\left\| \varphi_x \right\|_2\).
Calculer \(\displaystyle\int_0^1 \left( \varphi_x(t) \right)^2 \mathrm{d}t\), en déduire : \(\displaystyle\left| f_n(x) \right| \leqslant ax \left( 1-x\right) \sqrt{\frac{\left\| \omega \right\|_\infty}{3}}\).
Justifier : \(\left| f_n'(0) \right| \leqslant a\,\dfrac{\sqrt{\left\| \omega \right\|_\infty}}{\sqrt{3}}\).
Rappeler pourquoi on a : \(f_n'(x) = f_n'(0) - a_n \displaystyle\int_0^x \omega (t) f_n(t)\,\mathrm{d}t\) et en déduire alors : \[\left| f_n'(x) \right| \leqslant a\sqrt{\frac{\left\| \omega \right\|_\infty}{3}} \left( 1+ \frac{a}{4} \left\| \omega \right\|_\infty \right).\]
On note : \(C= \displaystyle a\sqrt{\frac{\left\| \omega \right\|_\infty}{3}} \left( 1+ \frac{a}{4} \left\| \omega \right\|_\infty \right)\) (on remarque que \(C\) est un nombre réel strictement positif).
Déduire des questions précédentes : \[\forall (x,y)\in [0,1]^2,\ \forall n \in \mathbb{N},\ \left| f_n(x) - f_n(y) \right| \leqslant C\left| x-y \right|.\]
Soit \(\varepsilon\) un nombre réel strictement positif, on choisit \(N\) un entier naturel non-nul tel que : \(\dfrac{1}{N} \leqslant \dfrac{\varepsilon}{2C}\) et on pose, pour \(k\) dans \(\left[\kern-0.15em\left[ {0,N} \right]\kern-0.15em\right]\) : \(\alpha_k=\dfrac{k}{N}\).
Justifier qu’il existe un entier naturel \(p\) tel que : \[\forall n\geqslant p,\ \forall k\in \left[\kern-0.15em\left[ {0,N} \right]\kern-0.15em\right],\ \left| f_n(\alpha_k) \right| <\dfrac{\varepsilon}{2}.\]
Soit alors \(x\) un nombre réel fixé dans le segment \([0,1]\). En introduisant un entier \(k\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {0,N-1} \right]\kern-0.15em\right]\) tel que : \(x\in [\alpha_k,\alpha_{k+1}]\), montrer que : \[\forall n\geqslant p,\ \left| f_n(x) \right| <\varepsilon.\]
En déduire : \(\lim\limits_{n\to+\infty}\left\| f_n \right\|_\infty = 0\).
Montrer alors : \(\lim\limits_{n\to+\infty}\displaystyle\int_0^1 \left( f_n(t) \right)^2 \omega(t)\,\mathrm{d}t=0\) et conclure.
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
