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Notations et définitions
Dans tout le problème, \(n\) désigne un entier naturel non nul.
On munit \(\mathbb{R}^n\) de sa structure euclidienne canonique usuelle et on note \(\left \langle \cdot \,\vert \, \cdot \right \rangle\) le produit scalaire canonique sur \(\mathbb{R}^n\), \(\left\| \cdot \right\|\) la norme euclidienne associée.
\(\mathcal{B}_0=(e_1,\dots,e_n)\) est la base canonique de \(\mathbb{R}^n\).
Si \(f\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}^n\) et si \(A\) est la matrice représentative de \(f\) dans la base \(\mathcal{B}_0\), on note \(f^\ast\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^n\) associé à la matrice \({}^t\!A\) dans la base \(\mathcal{B}_0\).
On dit qu’une matrice \(A\) de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) est une matrice normale si elle vérifie : \({}^t\!AA = A\,{}^t\!A\).
Un endomorphisme \(f\) de \(\mathbb{R}^n\) est dit normal si sa matrice dans la base \(\mathcal{B}_0\) est normale, c’est-à-dire si \(f\circ f^\ast = f^\ast \circ f\).
Si \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^n\) stable par un endomorphisme \(f\), on note \(f_F\) l’endomorphisme de \(F\) induit par \(f\).
Pour tout réel \(\theta\), on note enfin : \[R_\theta = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ - \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}\]
Soit \(A=\begin{pmatrix} a & b\\c & d \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})\).
Soit \((a,b)\) un couple de réels différent de \((0,0)\). Justifier l’existence d’un réel \(\theta\) tel que : \[a= \sqrt{a^2+b^2}\, \cos(\theta) \quad \text{et} \quad b= \sqrt{a^2+b^2}\, \sin(\theta)\]
Vérifier que \(A\) est une matrice normale si et seulement si ou bien \(A\) est symétrique ou bien il existe \(\rho \in \mathbb{R}_{+}^{*}\) et \(\theta \in \mathbb{R}\) tels que \(A=\rho R_{\theta}\).
On suppose que \(A\) est une matrice normale, montrer qu’il existe \(P \in \mathbb{R}[x]\) tel que \({}^t\!A=P(A)\) (on pourra utiliser \({}^t\!A+A\)).
Déterminer les matrices normales \(A\) de \(\mathcal M_{2}(\mathbb{R})\) telles que \(A^{2}-A+I_{2}=0\).
Dans cette partie, \(A=\left(a_{i, j}\right)_{(i, j) \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]^{2}} \in \mathcal M_{n}(\mathbb{R})\) et \(f\) est l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^{n}\) représenté par \(A\) dans la base \(\mathcal B_{0}\).
Préciser l’endomorphisme \(\left(f^{*}\right)^{*}\).
Si \(f\) est inversible, préciser l’endomorphisme \(\left(f^{-1}\right)^{*}\).
Pour tout couple \((i, j)\) dans \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]^{2}\), exprimer \(\left \langle f(e_i) \,\vert \, e_j \right \rangle\) à l’aide des coefficients de \(A\).
Montrer que : \[\forall(x, y) \in\left(\mathbb{R}^{n}\right)^{2},\ \left \langle f(x) \,\vert \, y \right \rangle = \left \langle x \,\vert \, f^\ast(y) \right \rangle\]
Montrer que \(f^{*}\) est l’unique endomorphisme de \(\mathbb{R}^{n}\) vérifiant : \[\forall(x, y) \in\left(\mathbb{R}^{n}\right)^{2},\ \left \langle f(x) \,\vert \, y \right \rangle = \left \langle x \,\vert \, f^\ast(y) \right \rangle\]
Montrer que si \(f\) est un endomorphisme normal: \(\forall x \in \mathbb{R}^{n},\ \left\| f(x) \right\| = \left\| f^\ast(x) \right\|\).
Réciproquement, soit \(g \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n)\) tel que, pour tout \(x \in \mathbb{R}^{n}\), \(\left\| g(x) \right\| = \left\| g^\ast(x) \right\|\). En exploitant l’égalité \(\left\| g(x+y) \right\| = \left\| g^\ast(x+y) \right\|\), montrer que \(g\) est normal.
Vérifier que, si \(A\) est une matrice normale de \(\mathcal M_{n}(\mathbb{R})\), la matrice de \(f\) dans toute base orthonormale de \(\mathbb{R}^{n}\) est normale.
Dans la suite du problème, on admettra les résultats suivants :
Si \(f\) est un endomorphisme d’un espace euclidien \(E\) muni du produit scalaire \(\left \langle \cdot \,\vert \, \cdot \right \rangle\), on notera encore \(f^{*}\) l’unique endomorphisme de \(E\) vérifiant : \[\forall(x, y) \in E^{2},\ \left \langle f(x) \,\vert \, y \right \rangle = \left \langle x \,\vert \, f^\ast(y) \right \rangle\]
Dans toute base orthonormée de \(E\), la matrice de \(f^{*}\) est la transposée de la matrice de \(f\).
On dira encore que \(f\) est normal si \(f^{*} \circ f= f \circ f^{*}\).
Soit \(A \in \mathcal M_{n}(\mathbb{R})\) une matrice normale telle qu’il existe \(p \in \mathbb{N}^{*}\) vérifiant \(A^{p}=0 .\) On note \(S={}^t\!A A\). Vérifier que \(S^{p}=0\) et montrer que \(S=0 .\) Montrer alors que \(A=0\).
Soit \(A \in \mathcal M_{n}(\mathbb{R})\) une matrice normale. On suppose qu’il existe \(P \in \mathbb{R}[x]\) et \(q \in \mathbb{N}^{*}\) tel que \(P^{q}(A)=0\). Montrer que \(P(A)=0\).
Exemple. Soit \(M \in \mathcal M_{n}(\mathbb{R})\) telle que \(M^{2}+M-{}^t\!M= \mathrm{I} _{n} .\)
Déterminer un polynôme annulateur de \(M\) de degré 4, puis le factoriser.
En déduire que \(\left(M-\mathrm{I}_n\right)^{3} ( M+\mathrm{I}_n )^{3}=0 .\)
Montrer alors que \(M\) est symétrique et que \(M^{2}=\mathrm{I}_n\).
Dans la suite de cette partie, on suppose que \(A\) est une matrice normale non nulle de \(\mathcal M_{n}(\mathbb{R})\).
Montrer que \(A\) admet un polynôme annulateur \(P \in \mathbb{R}[x]\), non constant.
On note alors \(I_{A}\) l’ensemble des polynômes de \(\mathbb{R}[x]\) annulateurs de \(A\) et \(D_{A}=\left\{\operatorname{deg} (Q) ,\ Q \in I_{A}\right\}\).
Justifier que \(D_{A}\) admet un minimum \(d\).
On considère un élément \(\pi\) de \(I_{A}\), de degré \(d\), et on suppose, dans cette question uniquement, que \(\pi\) admet \(d\) racines réelles distinctes \(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{d}\).
Montrer que \(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{d}\) sont les valeurs propres de \(A\).
En déduire que l’unique élément de \(I_{A}\) de degré \(d\), de coefficient dominant égal à 1 est le polynôme \(\pi_A\) tel que : \[\forall x\in\mathbb{R},\ \pi_A(x) = \prod\limits_{k=1}^{d}\left(x-\lambda_{k}\right)\]
Dans la suite, on admettra qu’il existe un unique polynôme unitaire \(\pi_A\) de \(I_A\) de degré \(d\). On admettra également que toutes les racines de \(\pi_A\) sont d’ordre de multiplicité \(1\) et que, si \(\pi_A\) n’admet pas \(d\) racines réelles distinctes, alors il existe un polynôme \(Q\) et deux réels \(a\) et \(b\) tels que : \[\forall x\in\mathbb{R},\ \pi_A(x) = \left( x^2+ax+b \right) Q(x) \quad \text{et} \quad a^2-4b<0\]
Déterminer \(\pi_{M}\) pour \(M \in \mathcal M_{n}(\mathbb{R})\) telle que \(M^{2}+M-{}^t\!M=\mathrm{I}_n\) et \(M \neq \pm \mathrm{I}_n\).
Dans cette partie, \(A \in \mathcal M_{n}(\mathbb{R})\) est une matrice normale, \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^{n}\) représenté \(\operatorname{par} A\) dans la base \(B_{0}\).
On suppose que \(A\) admet \(d\) valeurs propres distinctes \(\lambda_1,\dots,\lambda_d\) et on note encore \(\pi_{A}\) le polynôme associé à \(A\) défini dans la partie III.
Montrer que \(\mathrm{Ker}(f) = \mathrm{Ker}(f^{*})\) puis montrer que, plus généralement, si \(\lambda \in \mathbb{R}\) : \[\mathrm{Ker}(f-\lambda \, \mathrm{id}_{\mathbb{R}^{n}} )=\operatorname{Ker}(f^{*}-\lambda \, \mathrm{id}_{\mathbb{R}^{n}} )\] En déduire que les espaces propres de \(f\) et de \(f^{*}\), s’ils existent, sont identiques.
Soit \(Q \in \mathbb{R}[x]\) et \(F=\operatorname{Ker}(Q(f))\).
Montrer que \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(\mathbb{R}^{n}\) stable par \(f\) et \(f^{*}\).
Montrer que \(F^{\perp}\) est aussi stable par \(f\) et \(f^{*}\).
Vérifier alors que \(f_{F}\) et \(f_{F^{\perp}}\) sont deux endomorphismes normaux respectivement de \(F\) et de \(F^{\perp}\) et que \(\left(f_{F}\right)^{*}=\left(f^{*}\right)_{F}\).
On désire montrer qu’il existe un sous-espace \(F\), stable par \(f\) et \(f^{*}\), de dimension 1 ou \(2\).
On suppose dans cette question uniquement que \(\pi_{A}\) admet une racine réelle \(\lambda\). Montrer qu’il existe \(e \neq 0_{\mathbb{R}^{n}}\) appartenant à \(\operatorname{Ker}\left(f-\lambda \, \mathrm{id}_{\mathbb{R}^{n}}\right)\) puis que \(F=\operatorname{Vect}(e)\) convient.
Dans la suite de cette question, on suppose maintenant que \(\pi_{A}\) n’admet pas de racine réelle.
Justifier l’existence d’un couple de réels \((a, b)\) tels que \(a^{2}-4 b<0\) et \(f^{2}+a f+b \, \mathrm{id}_{\mathbb{R}^{n}}\) ne soit pas inversible. On note alors \(G=\operatorname{Ker}(f^{2}+a f+b \, \mathrm{id}_{\mathbb{R}^{n}})\) et \(g=f_{G}\).
Vérifier que \(h=g+g^{*}\) est diagonalisable. On note \(e\) un vecteur propre de \(h\).
Montrer alors que \(F=\operatorname{Vect}(e, f(e))\) convient.
Montrer qu’il existe une base orthonormée \(C\) de \(\mathbb{R}^{n}\) dans la quelle la matrice de \(f\) est de la forme : \[\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0\\ 0 & \ddots & \ddots & & & \vdots\\ \vdots & \ddots & \lambda_p & & (0) & \vdots\\ \vdots & (0) & & \rho_1R_{\theta_1} & \ddots & \vdots\\ \vdots & & & \ddots & \ddots & 0\\ 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & \rho_s R_{\theta_s} \end{pmatrix}\]
où \(\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{p}\) sont des réels, \(\rho_{1}, \cdots, \rho_{s}\) sont des réels positifs et \(\theta_{1}, \cdots, \theta_{s}\) des réels appartenant à \([0,2 \pi[\)
Dans cette partie, \(A\) est une matrice normale et inversible de \(\mathcal M_{n}(\mathbb{R})\) telles que \(\left(A+\mathrm{I}_n\right)^{7}=A^{7}+\mathrm{I}_n\). On note \(P\) le polynôme défini par \(P(x) =(x+1)^{7}-x^{7}-1\).
Déterminer deux racines réelles de \(P\) ainsi que leurs multiplicités. On admet (on pourrait le vérifier aisément) que le polynôme \(Q:x\mapsto (x^2+x+1)^2\) divise \(P\).
Montrer que \(A\) est une matrice orthogonale de \(\mathbb{R}^{n}\).
Montrer que \({}^t\!A\) est un polynôme en \(A\).
On suppose de plus que \(n\) est impair et que \(A \neq-\mathrm{I}_n\). Déterminer le polynôme \(\pi_{A}\) associé à \(A\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
