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Notations
Dans tout le problème, on note \(E\) l’ensemble des fonctions continues et bornées sur \(\mathbb{R}\).
Pour toute fonction \(f\) de \(E\), on note \(\displaystyle N(f) = \sup_{x\in \mathbb{R}} \left| f(x) \right|\).
Justifier que la fonction \(g : t\mapsto \dfrac{1}{1+t^2}\) admet une primitive sur \(\mathbb{R}\).
On note \(\mathrm{Arctan}\) l’unique primitive de \(g\) qui s’annule en \(0\). Pour tout \(x\in\mathbb{R}\), écrire \(\mathrm{Arctan}(x)\) sous forme d’intégrale.
Prouver que \(\mathrm{Arctan}\) est impaire et de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(\mathbb{R}\).
Montrer que \(\mathrm{Arctan}\) admet une limite finie \(L\) en \({+\infty}\) puis que \(\mathrm{Arctan}\) réalise une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(]-L,L[\).
Soit \(x\in \left] - \dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2} \right[\). À l’aide du changement de variable \(t=\tan(u)\), calculer \(\mathrm{Arctan}(\tan(x))\) puis en déduire la valeur de \(L\).
Prouver que : \[\forall (x,y)\in \mathbb{R}^2,\ \left| \mathrm{Arctan}(x) - \mathrm{Arctan}(y) \right| \leqslant \left| x-y \right|\]
Démontrer que : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \mathrm{Arctan}(x) + \mathrm{Arctan}\!\left( \dfrac{1}{x} \right) = \dfrac{\pi}{2}\]
Dans toute la suite, on note, sous réserve d’existence : \[\forall f\in E,\ \Phi(f)(x) = \int_0^{+\infty}\mathrm{Arctan}(tx)\, \frac{f(t)}{1+t^2}\,\mathrm{d}t\]
Prouver que \(E\) est un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel.
Prouver que, pour tout \(f\in E\) et pour tout \(x\in\mathbb{R}\), l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\mathrm{Arctan}(tx)\, \frac{f(t)}{1+t^2}\,\mathrm{d}t\) est absolument convergente.
Soit \(f\in E\). Montrer que \(\Phi(f)\) est bornée et que : \[N\left( \Phi(f) \right) \leqslant \frac{\pi^2}{4}\, N(f)\]
Dans cette question, \(f\) désigne un élément de \(E\) et \(x\) un réel.
Soit \(A\in\mathbb{R}_+^\ast\) et \(h\in\mathbb{R}^\ast\). Prouver que : \[\begin{gathered} \left| \Phi(f)(x+h) - \Phi(f)(x) \right| \leqslant N(f) \left[ \int_0^A \frac{\left| \mathrm{Arctan}(t \left( x+h \right) - \mathrm{Arctan}(tx) \right|}{1+t^2}\,\mathrm{d}t\right. \\ \left.+ \int_A^{+\infty}\frac{\left| \mathrm{Arctan}(t \left( x+h \right) - \mathrm{Arctan}(tx) \right|}{1+t^2}\,\mathrm{d}t\right] \end{gathered}\]
En déduire que, pour tout \(h\in\mathbb{R}^\ast\) et pour tout \(A\in\mathbb{R}_+^\ast\) : \[\left| \Phi(f)(x+h) - \Phi(f)(x) \right| \leqslant N(f) \left[ \left| h \right| \int_0^A \frac{t}{1+t^2}\,\mathrm{d}t+ \pi \int_A^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{1+t^2} \right]\]
Prouver finalement que, pour tout \(h\in\mathbb{R}^\ast\) : \[\left| \Phi(f)(x+h) - \Phi(f)(x) \right| \leqslant N(f) \left[ \frac{\left| h \right| }{2}\,\ln\!\left( 1+ \frac{1}{h^2} \right) + \pi \,\mathrm{Arctan}(\left| h \right|) \right]\]
Montrer finalement que \(\Phi(f)\) est continue sur \(\mathbb{R}\).
En déduire que \(\Phi\) est un endomorphisme de \(E\).
Dans cette partie, on note \(g\) l’image par \(\Phi\) de la fonction constante égale à \(1\). On a donc : \[\forall x\in\mathbb{R},\ g(x) = \int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{Arctan}(tx)}{1+t^2}\,\mathrm{d}t\]
Vérifier que \(g\) est impaire.
Soit \(x\) un réel strictement positif.
Prouver que : \[\forall u\in\mathbb{R},\ \left| \mathrm{Arctan}''(u) \right| \leqslant \frac{1}{1+u^2}\]
Soit \(a\) et \(b\) deux réels et \(I\) le segment d’extrémités \(a\) et \(b\). Montrer que : \[\left| \mathrm{Arctan}(b) - \mathrm{Arctan}(a) - \frac{b-a}{1+a^2} \right| \leqslant \frac{(b-a)^2}{2}\,\max_{u \in I} \left( \frac{1}{1+u^2} \right)\]
Soit \(h \in \left] - \dfrac{x}{2},\dfrac{x}{2} \right[\) et \(t\in\mathbb{R}^+\). Prouver que : \[\left| \mathrm{Arctan}(t \left( x+h \right)) - \mathrm{Arctan}(tx) - \frac{th}{1+t^2x^2} \right| \leqslant \frac{t^2h^2}{2} \times \frac{1}{1+ \frac{t^2x^2}{4}}\]
Montrer alors que, pour tout \(h \in \left] - \dfrac{x}{2},\dfrac{x}{2} \right[\) : \[\left| g(x+h) - g(x) - h \int_0^{+\infty}\frac{t}{(1+t^2x^2)(1+t^2)}\,\mathrm{d}t \right| \leqslant 2h^2 \int_0^{+\infty}\frac{t^2}{(4+t^2x^2)(1+t^2)}\,\mathrm{d}t\]
En déduire finalement que \(g\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) et que : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ g'(x) = \int_0^{+\infty}\frac{t}{(1+t^2x^2)(1+t^2)}\,\mathrm{d}t\]
\(g\) est-elle dérivable sur \(\mathbb{R}_-^\ast\) ? Si oui, préciser \(g'(x)\) pour \(x<0\).
Déterminer \(g'(1)\).
Pour tout \(x\in \left] 0,1\right[ \cup \left] 1,{+\infty}\right[\), déterminer deux réels \(A(x)\) et \(B(x)\) tels que : \[\forall t\in\mathbb{R},\ \frac{t}{(1+t^2x^2)(1+t^2)} = A(x) \,\frac{t}{1+t^2x^2} + B(x) \, \frac{t}{1+t^2}\]
En déduire que : \[\forall x\in \left] 0,1\right[ \cup \left] 1,{+\infty}\right[,\ g'(x) = \frac{\ln(x)}{x^2-1}\]
\(g\) est-elle de classe \(\mathcal{C}^1\) sur \(\mathbb{R}_+^\ast\) ?
Pour tout \(x \in\mathbb{R}_+^\ast\), justifier la convergence de l’intégrale \(\displaystyle\int_0^x \frac{\ln(t)}{t^2-1}\,\mathrm{d}t\).
Prouver que : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ \int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{Arctan}(tx)}{1+t^2}\,\mathrm{d}t= \int_0^x \frac{\ln(t)}{t^2-1}\,\mathrm{d}t\]
Prouver que : \[\forall x\in\mathbb{R}_+^\ast,\ g(x) = \frac{\pi^2}{4} - \int_0^{+\infty}\mathrm{Arctan}\!\left( \frac{1}{tx} \right) \frac{1}{1+t^2}\,\mathrm{d}t\]
Établir, pour tout \(x\in\mathbb{R}_+^\ast\) : \[\int_0^{+\infty}\mathrm{Arctan}\!\left( \frac{1}{tx} \right) \frac{1}{1+t^2}\,\mathrm{d}t\leqslant \frac{\pi}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{x} \int_{\frac{1}{\sqrt{x}}}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t \left( 1+t^2 \right)} \leqslant \frac{\pi}{\sqrt{x}}\]
En déduire la limite de \(g(x)\) lorsque \(x\) tend vers \({+\infty}\).
Montrer que l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\ln(t)}{1-t^2}\,\mathrm{d}t\) converge et déterminer sa valeur.
Établir : \[\int_0^{+\infty}\frac{\ln(t)}{1-t^2}\,\mathrm{d}t= 2 \int_0^1 \frac{\ln(t)}{1-t^2}\,\mathrm{d}t\]
Soit \(n\in\mathbb{N}\). Démontrer que : \[\int_0^1 \frac{\ln(t)}{1-t^2}\,\mathrm{d}t= \sum_{k=0}^n \int_0^1 t^{2k} \ln(t)\,\mathrm{d}t+ \int_0^1 \frac{\ln(t)}{1-t^2}\,t^{2n+2}\,\mathrm{d}t\]
Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), calculer l’intégrale \(\displaystyle\int_0^1 t^{2n} \ln(t)\,\mathrm{d}t\).
Montrer que : \[\lim\limits_{n\to+\infty}\int_0^1 \frac{\ln(t)}{1-t^2}\,t^{2n+2}\,\mathrm{d}t= 0\]
En déduire la valeur des sommes \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{(2n+1)^2}\) et \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}\).
Montrer que : \[\sup_{f\in E \setminus \{ 0\}} \frac{N( \Phi(f))}{N(f)} = \frac{\pi^2}{4}\] Dans toute la suite du problème, on considère :
un réel \(\lambda\) tel que : \(\left| \lambda \right| < \dfrac{4}{\pi^2}\) et \(\gamma = \dfrac{\pi^2}{4}\left| \lambda \right|\),
un élément \(f\) non nul de \(E\) et \(M=N(f)\),
pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(\varphi_n = \lambda^n \, \Phi^n(f)\).
Vérifier que : \[\forall n \in \mathbb{N},\ \varphi_{n+1} = \lambda \,\Phi(\varphi_n) \quad\text{et}\quad N(\varphi_{n+1}) \leqslant \gamma \, N(\varphi_n)\]
Peut-on avoir \(\lambda\, \Phi(f) = f\) ? Que peut-on alors dire de \(\mathrm{id} - \lambda\, \Phi\) ?
Démontrer que : \[\forall n \in \mathbb{N},\ N(\varphi_n) \leqslant \gamma^n M\]
En déduire que la série de terme général \(N(\varphi_n)\) est convergente. On notera \(S\) sa somme.
Prouver finalement que, pour tout \(x\in\mathbb{R}\), la série de terme général \(\varphi_n(x)\) converge. Dans la suite, on note : \[\forall x\in\mathbb{R},\ \varphi(x) = \sum_{n=0}^{+\infty}\varphi_n(x)\]
Montrer que \(\varphi\) est bornée sur \(\mathbb{R}\).
Vérifier que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), pour tout \(x\in\mathbb{R}\) et pour tout \(h\in\mathbb{R}^\ast\) : \[\left| \varphi_{n+1}(x+h) - \varphi_{n+1}(x) \right| \leqslant \left| \lambda \right| N(\varphi_n ) \left[ \frac{\left| h \right| }{2}\,\ln\!\left( 1+ \frac{1}{h^2} \right) + \pi \,\mathrm{Arctan}(\left| h \right|) \right]\]
En déduire, pour tout \(x\in\mathbb{R}\) et pour tout \(h\in\mathbb{R}^\ast\) : \[\left| \varphi (x+h) - \varphi (x) \right| \leqslant \left| \lambda \right| S \left[ \frac{\left| h \right| }{2}\,\ln\!\left( 1+ \frac{1}{h^2} \right) + \pi \,\mathrm{Arctan}(\left| h \right|) \right] + \left| f(x+h) - f(x) \right|\]
Prouver que \(\varphi\) est continue sur \(\mathbb{R}\).
Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), calculer \(\displaystyle(\mathrm{id} - \lambda \,\Phi )\! \left( \sum_{k=0}^{n+1} \varphi_k \right)\).
Montrer que : \[\lim\limits_{n\to+\infty}N \!\left[ \displaystyle(\mathrm{id} - \lambda \,\Phi )\! \left( \sum_{k=0}^{n+1} \varphi_k \right) - f \right] = 0\]
Prouver que : \[(\mathrm{id} - \lambda \,\Phi )(\varphi) = f\]
Que peut-on dire de \(\mathrm{id} - \lambda \,\Phi\) ?
Soit \(\mu\in\mathbb{R}^\ast\) tel que \(\Phi - \mu \,\mathrm{id}\) ne soit pas bijective. Montrer que : \[\left| \mu \right| \leqslant \dfrac{\pi^2}{4}\]
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
