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Toutes les variables aléatoires de ce problème sont définies sur le même espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).
On s’intéresse dans ce problème à la détermination de lois de probabilité composées qui interviennent en particulier dans la gestion du risque en assurance et en théorie de la ruine.
On considère pour cela une variable aléatoire \(N\) et une suite \(\left(U_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}^{*}}\) de variables aléatoires et identiquement distribuées. On suppose par ailleurs que les variables aléatoires \(N,U_1,\dots,U_k,\dots\) sont toutes à valeurs dans \(\mathbb{N}\) et mutuellement indépendantes.
On note alors \(X_0\) la variable aléatoire constante égale à \(0\) et, pour tout \(n\in\mathbb{N}^\ast\), \(X_n\) la variable aléatoire définie par : \[X_n= \sum_{k=1}^{n} U_{k}\]
On étudie le modèle suivant:
\(N\) est la variable aléatoire égale au nombre de sinistres à prendre en charge par une compagnie d’assurances sur une période donnée,
pour tout \(k\in\mathbb{N}^\ast\), le coût du \(k^{\grave{e}me}\) sinistre (s’il a lieu) est égal à la valeur prise par la variable aléatoire \(U_k\).
la charge sinistrale totale pour la compagnie d’assurance sur une période est la variable aléatoire \(X\) telle que, si \(N\) prend la valeur \(n\), \(X\) prend la valeur de \(X_n\), c’est-à-dire : \[X=\sum_{k=1}^{N} U_{k}\]
On dit que \(X\) suit une loi composée.
Pour tout entier naturel \(j\), on pose : \[p_{j}=\mathbb{P}(N=j),\quad q_{j}=\mathbb{P}\left(U_{1}=j\right) \quad \text{et} \quad r_{j}=\mathbb{P}(X=j)\]
Dans cette partie I, on suppose que les variables \(U_{k}\) suivent la loi de Bernoulli de paramètre \(p\), où \(p\) est un réel appartenant à l’intervalle \(] 0,1[\).
Pour \(n\) dans \(\mathbb{N}^{*}\), quelle est la loi de \(X_{n}\) ?
Pour tout entier naturel \(j\), établir : \[r_{j}=\sum_{n=0}^{+\infty} \mathbb{P}\left(X_{n}=j\right) \, p_{n}\]
Dans cette question 3 uniquement, on suppose que \(N\) suit la loi binomiale de paramètres \(m\in\mathbb{N}\) et \(\pi \in\left] 0,1 \right[\). Soit \(j\) un entier naturel.
Justifier que \(r_{j}=0\) si \(j>m\).
Établir que, si \(j \in\left[\kern-0.15em\left[ {0,m} \right]\kern-0.15em\right]\) : \[r_{j}=\sum_{n=j}^{m} \binom nj p^{j}(1-p)^{n-j} \binom mn \pi^{n}(1-\pi)^{m-n}\]
Vérifier que, pour tous entiers \(j, n, m\) tels que \(0 \leqslant j \leqslant n \leqslant m\) : \[\binom nj \binom mn = \binom mj \binom {m-j}{n-j}\]
En déduire que, pour tout \(j \in \left[\kern-0.15em\left[ {0,m} \right]\kern-0.15em\right]\) : \[r_{j}= \binom mj (p \pi)^{j} \sum_{\ell=0}^{m-j} \binom{m-j}{\ell} \left[ (1-p) \pi \right]^{\ell}(1-\pi)^{m-j-l}\]
Montrer finalement que \(X\) suit une loi binomiale et préciser ses paramètres en fonction de \(m, p\) et \(\pi\).
On suppose, dans cette question 4 uniquement, que \(N\) suit la loi de Poisson de paramètre \(\lambda>0\).
Compléter la fonction Python suivante
pour qu’elle renvoie une simulation de la variable aléatoire \(X\) :
import numpy.random as rd
import numpy as np
def X(Lambda,p):
N=rd.poisson(.....)
if N==0:
return .......
else:
U=rd.binomial(1,p,N)
return .......
Montrer que, pour tout entier naturel \(j\) : \[r_{j}=\mathrm{e}^{-\lambda} \frac{(\lambda p)^{j}}{j !} \sum_{n=j}^{+\infty} \frac{1}{(n-j) !} \left[ \lambda(1-p) \right]^{n-j}\]
En déduire que \(X\) suit une loi de Poisson, et préciser son paramètre en fonction de \(p\) et \(\lambda\).
On généralise la définition des coefficients binomiaux aux nombres réels en posant, pour tout réel \(y\) et tout entier \(k \in \mathbb{N}^{*}\) : \[\binom yk =\frac{1}{k !} \prod_{i=0}^{k-1}(y-i) \quad \text{et} \quad \binom y0 =1\]
Écrire une fonction d’en-tête
def Binom(y,k) en langage
Python dont l’exécution renvoie la valeur de
\(\displaystyle \binom yk\).
Soit \(c\) un réel strictement positif,et \(x\) un réel appartenant à \([0,1[\).
Pour tout entier naturel \(n\), on pose : \[I_{n}=\int_{0}^{x} \frac{(x-t)^{n}}{(1-t)^{c+n+1}} \, \mathrm{d} t\] À l’aide d’un raisonnement par récurrence, démontrer que : \[\forall n \in \mathbb{N}, \ \frac{1}{(1-x)^{c}}=\sum_{k=0}^{n} \binom {c+k-1} k x^{k}+c \, \binom{c+n}n I_{n}\]
Vérifier que pour tout \(t \in[0, x]\) : \[0 \leqslant \frac{x-t}{1-t} \leqslant x\]
puis en déduire l’encadrement : \[0 \leqslant I_{n} \leqslant \frac{x^{n+1}}{(1-x)^{c+1}}\]
Montrer, pour tout \(n\) dans \(\mathbb{N}^{*}\) : \(\displaystyle \binom{c+n}n = \prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{c}{k}\right)\).
Prouver que, pour tout réel \(t\) positif : \(\ln (1+t) \leqslant t\).
Établir que : \[\forall k \geqslant 2,\ \frac{1}{k} \leqslant \ln( k)-\ln (k-1)\] puis en déduire : \[\forall n \in \mathbb{N}^{*},\ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \leqslant 1+\ln (n)\]
Démontrer que : \[\forall n \in \mathbb{N}^\ast,\ \ln\! \left[ \binom {c+n}n \right] \leqslant c \left[1+\ln( n) \right]\]
En déduire: \[\lim _{n \rightarrow+\infty} \binom {c+n}n x^{n+1}=0\]
En conclure que la série \(\sum\limits_{k\geqslant 0} \binom {c+k-1}k x^{k}\) est convergente et établir la formule du binôme négatif : \[\sum_{k=0}^{+\infty} \binom {c+k-1}k x^{k}=\frac{1}{(1-x)^{c}}\]
Soit \(p \in \left] 0,1 \right[\) et \(r\) un réel strictement positif. On considère la suite \(\left(p_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}}\) définie par : \[\forall k\in\mathbb{N},\ p_{k}= \binom{r+k-1}k (1-p)^{k} p^{r}\] Montrer que la suite \(\left(p_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}}\) définit la loi de probabilité d’une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbb{N}\). On l’appelle loi binomiale négative de paramètres \(r\) et \(p\).
Soit \(Y\) une variable aléatoire suivant la loi binomiale négative de paramètres 1 et \(p\). Que peut-on dire de la loi de \(Y+1\) ?
Soit \(Z\) une variable aléatoire suivant la loi binomiale négative de paramètres \(r>0\) et \(p \in \left] 0,1 \right[\).
Montrer que, pour tout entier \(k \geqslant 1\) : \[k \binom {r+k-1}k =r \binom{r+k-1}{k-1}\]
Montrer que \(Z\) admet une espérance et que : \(\mathbb{E}(Z)=\dfrac{r(1-p)}{p}\).
En commençant par s’intéresser à l’espérance de \(Z(Z-1)\), montrer que \(Z\) admet une variance et que : \[\mathbb{V}(Z)=\dfrac{r(1-p)}{p^{2}}\]
On reprend les notations du début du problème et on rappelle que la loi de la variable aléatoire \(N\) à valeurs dans \(\mathbb{N}\) est donnée par \(p_{k}=P(N=k)\) pour \(k \in \mathbb{N}\).
On suppose dans toute la suite du sujet que la loi de \(N\) vérifie la relation de Panjer, c’est-à-dire qu’il existe deux réels \(a\) et \(b\), avec \(a<1\) et \(a+b>0\), tels que : \[\forall k \in \mathbb{N}^{*}, \ p_{k}=\left(a+\frac{b}{k}\right) p_{k-1}\]
On dira alors que \(N\) suit la loi \(\mathcal{P}(a, b)\).
Montrer que pour tout \(k\in\mathbb{N}^\ast\), on a : \[p_{k}=p_{0} \prod_{i=1}^{k}\left(a+\frac{b}{i}\right)\]
Dans cette question, on suppose que \(a=0\). Montrer que \(N\) suit une loi de Poisson de paramètre \(b\).
Dans cette question, on suppose que \(a<0\).
Montrer qu’il existe un unique entier naturel \(r\), tel que : \[\forall k\in\mathbb{N},\ \begin{cases} p_k =0 &\text{si } k>r \\ p_k \neq 0 &\text{si } k\leqslant r \end{cases}\]
On pourra raisonner par l’absurde, et supposer les \(p_{k}\) tous strictement positifs.
Montrer que : \(b=-a(r+1)\).
Établir que : \[\forall k \in \left[\kern-0.15em\left[ {0,r} \right]\kern-0.15em\right],\ p_{k}=(-a)^{k} \binom rk p_{0}\]
En déduire que : \(p_{0}=\dfrac{1}{(1-a)^{r}}\).
Conclure que \(N\) suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres en fonction de \(a\) et \(b\).
Dans cette question, on suppose que \(a>0\).
Montrer que pour tout entier naturel \(k\), on a : \(\displaystyle p_{k}= \binom{\frac{b}{a}+k}{k} a^{k} p_{0}\).
En déduire que \(N\) suit une loi binomiale négative et préciser ses paramètres en fonction de \(a\) et \(b\).
Montrer que, dans tous les cas, \(N\) admet une espérance et, une variance, et qu’elles sont données par : \[\mathbb{E}(N)=\frac{a+b}{1-a} \quad \text{et} \quad \mathbb{V}(N)=\frac{a+b}{(1-a)^{2}}\]
On reprend les notations de l’introduction du sujet et de la partie III. Si \(A\) est un événement de probabilité non nulle et \(Y\) une variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbb{N}\), on note, si elle existe, \(\mathbb{E}_{A}(Y)\) l’espérance de la loi conditionnelle de \(Y\) sachant \(A\), c’est-à-dire : \[\mathbb{E}_A(Y) = \sum_{k=0}^{+\infty} k\, \mathbb{P}_A(Y=k)\]
Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), exprimer \(\mathbb{P}\left(X_{n}=0\right)\) en fonction de \(q_{0}\) puis établir : \[r_{0}=\sum_{n=0}^{+\infty} q_{0}{ }^{n} p_{n}\]
Soit \(j \in \mathbb{N}^{*}\).
Soit \(n \in \mathbb{N}^{*}\), que vaut \(\mathbb{E}_{\left(X_{n}=j\right)}\left(X_{n}\right)\) ? En déduire : \(\mathbb{E}_{\left(X_{n}=j\right)}\left(U_{1}\right)=\dfrac{j}{n}\).
Établir: \[r_{j}=\sum_{n=1}^{+\infty} \mathbb{P}\left(X_{n}=j\right)\left(a+\frac{b}{n}\right) p_{n-1}=\sum_{n=1}^{+\infty} \mathbb{E}_{\left(X_{n}=j\right)}\left(a+\frac{b}{j} \,U_{1}\right) \mathbb{P}\left(X_{n}=j\right) p_{n-1}\]
Montrer que, pour tout \(n \in \mathbb{N}^{*}\) : \[\mathbb{E}_{\left(X_{n}=j\right)}\left(a+\frac{b}{j} \, U_{1}\right) \mathbb{P}\left(X_{n}=j\right)=\sum_{i=0}^{j}\left(a+\frac{b i}{j}\right) \mathbb{P}\left(U_{1}=i\right) \, \mathbb{P}\left(X_{n-1}=j-i\right)\]
En déduire alors : \[r_{j}=\sum_{i=0}^{j}\left(a+\frac{b i}{j}\right) q_{i} \, r_{j-i}\] puis : \[r_{j}=\frac{1}{1-a q_{0}} \sum_{i=1}^{j}\left(a+\frac{b i}{j}\right) q_{i} \, r_{j-i}\] Cette formule permet de calculer récursivement les nombres \(r_{j}\) et ainsi de déterminer la loi de \(X\).
Des exemples d’application.
Dans cette question, les variables \(U_{i}\) suivent la loi de Bernoulli de paramètre \(p\).
Montrer que, pour tout \(j \in \mathbb{N}^{*}\) : \(r_{j}=\dfrac{p}{1-a+a p}\left(a+\dfrac{b}{j}\right) r_{j-1}\).
En déduire que \(X\) suit une loi de Panjer.
Retrouver les résultats des questions 3 et 4 de la partie I.
Dans cette question, on suppose que \(a=0\). On rappelle que cela entraine que \(N\) suit la loi de Poisson de paramètre \(b\). Soit \(p\) un réel appartenant à l’intervalle \(] 0,1[\).
Montrer qu’il existe un unique réel \(\alpha\) tel que la famille de nombre \(\left(q_{i}\right)_{i \in \mathbb{N}^{*}}\) définie par \(q_{i}=\alpha \frac{p^{i}}{i}\) définisse la loi de probabilité d’un variable aléatoire à valeurs dans \(\mathbb{N}^\ast\). On pose \(q_{0}=0\) et on suppose que les variables \(U_{k}\) suivent cette loi de probabilité.
Montrer que pour tout entier \(j \geqslant 1\), on a : \(\displaystyle r_{j}=\frac{b \alpha}{j} \sum_{i=1}^{j} p^{i} r_{j-i}\).
En utilisant un changement d’indice, établir pour tout \(j \geqslant 2\) : \[r_{j}=\left(p+\frac{p(b \alpha-1)}{j}\right) r_{j-1}\] puis montrer que cette égalité est encore vérifiée pour \(j=1\).
Conclure que \(X\) suit une loi binomiale négative dont on exprimera les paramètres en fonction de \(b, \alpha\) et \(p\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.