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Ce problème comporte trois parties relativement indépendantes.
Dans la première partie on étudie les lois log-normales. On s’intéresse
dans la partie II à une modélisation du cours d’une action appelée
modèle binomial ou de Cox-Ross-Rubinstein et à son comportement
asymptotique. Dans la troisième partie, on établit la formule de Black
et Scholes, pour le prix d’une option dans le modèle limite obtenu dans
la partie II.
Les variables aléatoires qui interviennent dans ce problème sont toutes définies sur le même espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\).
On note \(\Phi\) la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.
On note respectivement \(\mathbb{E}(X)\) et \(\mathbb{V}(X)\) l’espérance et la variance d’une variable aléatoire \(X\), lorsque celles-ci existent.
Soit \(m\) un réel et \(\sigma\) un réel strictement positif. On dit qu’une variable aléatoire \(X\) suit la loi log-normale de paramètres \((m,\sigma^2)\) si \(X\) est à valeurs strictement positives et si \(\ln(X)\) suit la loi normale de paramètres \((m,\sigma^2)\). On écrit alors \(X \hookrightarrow \mathcal{LN} (m,\sigma^2)\).
On note dans cette partie \(m\) un réel et \(\sigma\) un réel strictement positif.
Soit \(X\) une variable aléatoire réelle suivant la loi log-normale de paramètres \((m,\sigma^2)\).
On pourra dans la suite utiliser la variable aléatoire \(Y=\ln(X)\).
Soit \(a\) et \(b\) deux réels, \(a\) étant différent de \(0\). On rappelle que si \(U\) est une variable aléatoire qui suit une loi normale de paramètres \((m,\sigma^{2})\), alors \(aU+b\) suit aussi une loi normale.
Quels en sont les paramètres ?
Cas où \(m=0\).
On suppose dans cette question 2 que \(X\hookrightarrow \mathcal{LN} (0,\sigma^{2})\).
Densité.
Exprimer la fonction de répartition \(F\) de \(X\) en fonction de \(\Phi\) .
En déduire que \(X\) est une variable aléatoire à densité et que la fonction définie par \[x\mapsto \begin{cases} \displaystyle\frac 1{x\sigma\sqrt{2\pi}} \exp \! \left(-\frac{\left(\ln(x)\right)^2}{2\sigma^2}\right)&\text{ si }x>0\\ \\ \qquad 0&\text{ si }x\leqslant 0 \end{cases}\] est une densité de probabilité de \(X\).
Espérance.
Établir l’existence de \(\mathbb{E}(X)\) et l’égalité : \[\displaystyle\mathbb{E}(X)=\frac 1{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty}\exp\left(-\frac 12\left(\frac{y^2}{\sigma^2}-2y\right)\right) \mathrm{d}y\]
En utilisant le changement de variable \(\displaystyle t=\frac{y}{\sigma}-\sigma\), en déduire \(\mathbb{E}(X)\) en fonction de \(\sigma\).
Variance.
Soit \(\alpha\) un réel non nul. Montrer que \(X^{\alpha}\) suit une loi log-normale dont on précisera les paramètres.
En déduire que \(X\) admet une variance et que \(\mathbb{V}(X)=\mathrm{e}^{\sigma^2} (\mathrm{e}^{\sigma^2}-1 )\).
On reprend le cas général : \(X\hookrightarrow \mathcal{LN} (m,\sigma^2)\).
Soit \(\mu\) un réel strictement positif.
Montrer que \(\mu X\) suit une loi log-normale de paramètres \(\big(m+\ln(\mu),\sigma^2\big)\).
Justifier l’existence de \(\mathbb{E}(X)\), de \(\mathbb{V}(X)\), et établir : \[\mathbb{E}(X)=\mathrm{e}^{m+\frac{\sigma^{2}}{2}}\qquad \text{et}\qquad \mathbb{V}(X)=\mathrm{e}^{2m+\sigma^{2}} ( \mathrm{e}^{\sigma^{2}}-1 )\]
Soit \(n\) un entier naturel non nul.
On souhaite modéliser l’évolution du cours d’une action entre les dates \(0\) et \(t\) fixé, strictement positif. On suppose qu’initialement ce cours est \(S_{0,n}=1\) et si l’on note \(S_{k,n}\) la valeur aléatoire de ce cours à la date \(\dfrac {kt}n\), \(k\in\{1,...,n\}\), on a la relation: \[S_{k,n}=S_{k-1,n}\times\left(1+\frac \mu n + \frac v{\sqrt n}\,Y_k\right)\]
où :
\(\mu\) est une constante réelle strictement positive liée au rendement moyen de l’action sur une durée égale à \(t\);
\(v\) est une constante réelle strictement positive appelée volatilité de l’action sur la durée \(t\);
\((Y_k)_{k\in\mathbb{N}^*}\) est une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes la loi uniforme sur \(\{-1,1\}\) (autrement dit, \(\mathbb{P}(Y_{k}=1)=\mathbb{P}(Y_{k}=-1)=\frac{1}{2}\)).
On suppose que \(n\) est assez grand pour que \(\displaystyle 1+\frac {\mu}n - \frac v{\sqrt n}>0\).
On admet que \(S_{0,n},...,S_{n,n}\) sont des variables aléatoires discrètes.
On note \(C_n\) la variable aléatoire \(S_{n,n}\), qui modélise le cours de l’action à l’instant \(t\).
Simulation de la variable aléatoire \(C_{n}\).
On suppose que le début d’un programme
Python contient l’instruction :
import numpy.random as rd import numpy as np
Quelles sont les valeurs que peut renvoyer la commande
Python
2*rd.randint(2)-1 ?
Compléter la fonction en langage Python
suivante pour qu’elle renvoie une simulation de la variable aléatoire
\(C_n\) :
def C(n,mu,v):
S=1
for k in range(...):
Y=..........
S=..........
return S
Calculer l’espérance et la variance commune aux \(Y_k\).
Montrer l’égalité : \(\displaystyle C_{n}=\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{\mu}{n}+\frac{v}{\sqrt{n}}\,Y_{k}\right)\).
En déduire que \(\displaystyle\mathbb{E}(C_n)=\left(1+\frac{\mu}n\right)^n\) et \(\displaystyle\mathbb{V}(C_n)=\left(\left(1+\frac{\mu}n\right)^2+\frac{v^2}n\right)^n-\left(1+\frac{\mu}n\right)^{2n}\).
Déterminer \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty} \mathbb{E}(C_n)\) et montrer que \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty} \mathbb{V}(C_n)=\mathrm{e}^{2\mu}(\mathrm{e}^{v^2}-1)\).
Déterminer les paramètres de la loi log-normale ayant pour espérance la première limite et pour variance la seconde.
Expliciter un couple de réels \((a_n,b_n)\) tel que: \[\forall k\in \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right],\ \ln \! \left(1+\frac \mu n + \frac v{\sqrt n}\,Y_k\right)=a_n+b_nY_k\ .\]
En déduire que \(\displaystyle\ln(C_n)=na_n+b_n\sum_{k=1}^nY_k\).
Établir la convergence en loi, quand \(n\) tend vers \(+\infty\), de \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}\left(Y_1+\cdots+Y_n\right)\) vers la loi normale centrée réduite. On énoncera précisément le théorème utilisé.
Rappeler le développement limité à l’ordre \(2\) de la fonction \(x\mapsto \ln(1+x)\) au voisinage de \(0\).
Déterminer les développements limités à l’ordre \(2\) au voisinage de \(0\) des fonctions \(x\mapsto \ln(1+vx+\mu x^{2})\) et \(x\mapsto \ln(1-vx+\mu x^{2})\).
Montrer que : \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}na_n=\mu-\frac{v^2}2\) et \(\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}\sqrt{n}\,b_n=v\).
En déduire que \(b_n\) est strictement positif à partir d’un certain rang.
On suppose dans la suite que cette condition est réalisée.
On note \(F_n\) la fonction de répartition de \(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{n}}\left(Y_1+\cdots+Y_n\right)\) et \(G_{n}\) la fonction de répartition de \(\ln(C_{n})\).
Soit \(x\) un réel. On pose \(y=\dfrac{x-\mu+\frac{v^2}2}v\).
Soit \(\varepsilon\) un réel strictement positif.
Établir l’existence d’un réel \(\eta\) strictement positif tel que \[\Phi(y)-\frac{\varepsilon}2\leqslant \Phi(y-\eta)\leqslant \Phi(y+\eta)\leqslant \Phi(y)+\frac{\varepsilon}2\ .\]
Montrer qu’il existe un entier naturel \(n_{1}\) tel que, pour tout \(n\geq n_{1}\) : \[\displaystyle y-\eta\leqslant \frac{x-na_{n}}{\sqrt{n}b_{n}}\leqslant y+\eta\ .\]
Montrer qu’il existe un entier naturel \(n_2\) tel que, pour tout \(n\geq n_2\) : \[F_{n}(y+\eta)\leqslant \Phi(y+\eta)+\frac{\varepsilon}{2} \quad\text{et}\quad F_{n}(y-\eta)\geq \Phi(y-\eta)-\frac{\varepsilon}{2}\ .\]
Montrer que \(\displaystyle G_{n}(x)=F_{n}\left(\frac{x-na_{n}}{\sqrt{n}\,b_{n}}\right)\), et en déduire que, pour \(n\) assez grand, on a : \[\left|G_n(x)-\Phi\left(\dfrac{x-\mu+\frac{v^2}2}v\right)\right|\leqslant \varepsilon.\]
En conclure que la suite de variables aléatoires \(\big(\ln(C_n)\big)_{n\geq 1}\) converge en loi vers une variable aléatoire suivant une loi normale dont on précisera les paramètres.
Démontrer que \((C_n)_{n\geq 1}\) converge en loi vers une variable aléatoire de loi log-normale de paramètres \(\displaystyle\left(\mu-\frac{v^2}2,v^2\right)\).
Soit \(t\) un réel strictement positif.
À la date \(0\), un investisseur achète sur un marché une option sur une action dont la date d’échéance est \(t\) et le prix d’exercice \(K\), un réel strictement positif.
Si à la date \(t\), le cours \(C\) de l’action est supérieur ou égal à \(K\), il peut acheter l’action au prix \(K\) et la revendre au prix \(C\);
dans le cas contraire, son option n’a plus de valeur à la date \(t\).
Le but de cette partie est de donner une valeur raisonnable au prix d’achat de l’option, que l’on note \(\pi_{K}\).
On fait les hypothèses suivantes :
On choisit comme unité le cours de l’action à la date \(0\), c’est-à-dire qu’à cet instant le cours de l’action vaut \(1\).
Le cours de l’action à la date \(t\) est une variable aléatoire \(C\) qui suit une loi log-normale de paramètres \((m,v^2)\).
On suppose qu’il existe sur le marché un actif non risqué dont le taux de rentabilité entre les dates \(0\) et \(t\) vaut \(\mathrm{e}^r-1\), où \(r\) est un réel strictement positif.
On définit la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\) par, pour tout \(x\) réel, \(f(x)=\max(0,x)\).
Justifier que la valeur de l’option à la date \(t\) est \(f(C-K)\).
Si au lieu d’acheter l’option, l’investisseur avait placé à la date 0 son prix d’achat \(\pi_{K}\) sur l’actif non risqué, quel serait la valeur de son placement à la date \(t\) ?
En déduire qu’il convient de poser \(\pi_{K}=\mathrm{e}^{-r} \,\mathbb{E}\left(f(C-K)\right)\) si l’on veut que ces deux stratégies aient la méme rentabilité moyenne.
Dans les questions suivantes, c’est cette valeur de \(\pi_{K}\) que l’on utilise.
Montrer que \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\).
établir l’existence de \(\mathbb{E}\big(f(C-K)\big)\) et l’égalité : \[\mathbb{E}(f(C-K))=\frac 1{v\sqrt{2\pi}}\int_{\ln(K)}^{+\infty} \left( \mathrm{e}^x-K \right) \exp \! \left(-\dfrac{(x-m)^2}{2v^2}\right)\mathrm{d}x\]
Montrer l’égalité : \[\pi_K=\exp\!\left(m-r+\frac{v^2}2\right)\Phi \! \left(\frac{v^2+m-\ln(K)}v\right)-K\mathrm{e}^{-r}\Phi \! \left(\frac{m-\ln(K)}v\right)\]
On suppose que \(\displaystyle m=r-\frac{v^2}2\), ce qui signifie que le rendement moyen de l’action et de l’actif non risqué sont identiques.
Établir la formule de Black-Scholes: \[\pi_{K}=\Phi\left(\frac{r-\ln(K)}v+\frac{v}2\right)-K\mathrm{e}^{-r} \, \Phi\left(\frac{r-\ln(K)}v-\frac{v}2\right)\]
Dans la pratique, le prix de l’option est fixé par le marché et
vaut \(x\), où \(x\) est un réel strictement positif. On
pose \(\theta=r-\ln(K)\), de sorte que
le prix d’échéance vaut \(K=\exp(r-\theta)\).
On appelle alors volatilité implicite de l’action, tout réel positif
\(v\), s’il en existe, tel que : \[x=\Phi \!
\left(\frac{\theta}v+\frac{v}2\right)-\mathrm{e}^{-\theta} \,
\Phi\!\left(\frac{\theta}v-\frac{v}2\right)\] On définit alors la
fonction \(\displaystyle\Psi: v\mapsto \Phi\!
\left(\frac{\theta}v+\frac{v}2\right)-\mathrm{e}^{-\theta} \, \Phi
\!\left(\frac{\theta}v-\frac{v}2\right)\) sur \(]0,+\infty[\).
Montrer que \(\Psi\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(]0,+\infty[\) et que pour tout \(v>0\), \[\Psi'(v)=\dfrac 1{\sqrt{2\pi}}\exp \! \left(-\frac{1}{2}\left(\frac{\theta}{v}+\frac{v}2\right)^2\right)\]
Dresser le tableau de variations de \(\Psi\) en y faisant figurer les limites en \(0\) et en \(+\infty\).
On distinguera les cas \(\theta >0\) et \(\theta \leqslant 0\).
Déterminer pour quelles valeurs de \(x\) il existe une volatilité implicite et
prouver alors qu’elle est unique.
En conclure finalement que l’on peut définir la
volatilité implicite si et seulement si: \[f\left(1-\mathrm{e}^{-\theta}\right)< x
<1\,.\]
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.