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L’objet de ce problème est l’étude de la durée de fonctionnement d’un système (une machine, un organisme, un service, …) démarré à la date \(t=0\) et susceptible de tomber en panne à une date aléatoire. Après une partie préliminaire sur les propriétés de la loi exponentielle, on introduira dans la deuxième partie, les notions permettant d’étudier des propriétés de la date de première panne. Enfin, dans une troisième partie on examinera le fonctionnement d’un système satisfaisant certaines propriétés particulières.
Toutes les variables aléatoires intervenant dans le problème sont définies sur un espace probabilisé \((\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})\). Pour toute variable aléatoire \(Y\), on notera \(\mathbb{E}(Y)\) son espérance et \(\mathbb{V}(Y)\) sa variance (lorsqu’elles existent).
On rappelle que, si \(T\) est une variable aléatoire positive admettant une densité \(f\) continue sur \(\mathbb{R}_+\), sa fonction de répartition \(F\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+^\ast\), et dérivable à droite en \(0\). On conviendra de dire dans ce cas que \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}_+\), que \(F'\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+\) et \(F'(0)\) désignera donc dans ce cas la dérivée à droite de \(F\) en \(0\).
Soit \(X\) une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre \(\mu>0\). On rappelle que \(X\) admet pour densité la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \[\forall x\in\mathbb{R},\ f(x)= \begin{cases} \mu\,\mathrm{e}^{-\mu x} &\text{si } x\geqslant 0 \\ \hfill 0 \hfill &\text{sinon} \end{cases}\]
Justifier que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(X^n\) admet une espérance et déterminer, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), une relation de récurrence entre \(\mathbb{E}(X^{n+1})\) et \(\mathbb{E}(X^n)\).
En déduire, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), la valeur de \(\mathbb{E}(X^n)\).
Soient \(\mu >0\) et \(X\) une variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre \(\mu\).
Justifier que: \[\forall x\in\mathbb{R}_+,\ \mathbb{P}(X>x) \neq 0.\]
Montrer que : \[\forall (x,y)\in (\mathbb{R}_+)^2,\ \mathbb{P}_{[X>x]}(X>x+y)=\mathbb{P}(X>y).\]
Réciproquement, soit \(X\) une variable aléatoire positive admettant une densité \(f\) continue et strictement positive sur \(\mathbb{R}_+\), et telle que : \[\forall (x,y)\in (\mathbb{R}_+)^2,\ \mathbb{P}_{[X>x]}(X>x+y)=\mathbb{P}(X>y).\]
On note \(R\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}_+\) par : \[\forall x\in\mathbb{R}_+,\ R(x) = \mathbb{P}(X>x).\]
Justifier que \(R\) est strictement positive sur \(\mathbb{R}_+\).
On pose \(\mu = f(0)\). Montrer que : \[\forall x\in\mathbb{R}_+,\ R'(x)+\mu R(x)=0.\]
En déduire que \(X\) suit une loi exponentielle et préciser son paramètre.
Soit \((\mu_1,\mu_2)\) un couple de réels strictement positifs et \((X_1,X_2)\) un couple de variables aléatoires indépendantes suivant des lois exponentielles, respectivement de paramètres \(\mu_1\) et \(\mu_2\).
On pose \(Y=\max (X_1,X_2)\). Déterminer la fonction de répartition \(F_Y\) de \(Y\) et en déduire que \(Y\) est une variable aléatoire à densité et préciser une densité de \(Y\).
On pose \(Z=\min (X_1,X_2)\). Déterminer la fonction de répartition \(F_Z\) de \(Z\) et en déduire la loi de \(Z\).
Dans cette partie, on s’intéresse à un système dont la durée de vie (c’est-à-dire le temps de fonctionnement avant la survenue d’une première panne) est une variable aléatoire positive \(T\). On suppose que \(T\) admet une densité \(f_T\) continue sur \(\mathbb{R}_+\) et ne s’annulant pas sur \(\mathbb{R}_+^\ast\).
On appelle fiabilité de \(T\) la fonction \(R_T\) définie sur \(\mathbb{R}_+\) par : \[\forall t\in\mathbb{R}_+,\ R_T(t)= \mathbb{P}(T>t)=1-F_T(t)\] où \(F_T\) est la fonction de répartition de \(T\).
Soit \(t\) un réel positif ou nul et \(h\) un réel strictement positif.
Exprimer la probabilité \(\mathbb{P}(t\leqslant T\leqslant t+h )\) (appelée dégradation du système sur l’intervalle \([t,t+h]\)) à l’aide de la fonction \(R_T\).
Montrer que : \[\forall t\in\mathbb{R}_+,\ \lim_{\substack{h\rightarrow 0\\h>0}} \frac{\mathbb{P}(t \leqslant T\leqslant t+h)}{h} = f_T(t)\]
Justifier que \[\forall t\in\mathbb{R}_+,\ R_T(t)>0.\]
On appelle appelle alors taux de défaillance la fonction \(\lambda\) définie sur \(\mathbb{R}_+\) par : \[\forall t\in\mathbb{R}_+,\ \lambda (t)=\displaystyle \frac{f_T(t)}{R_T(t)}.\]
Montrer que la fonction \(t\mapsto \displaystyle\ln\!\left( \frac{1}{R_T(t)} \right)\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+\) et exprimer sa dérivée à l’aide de la fonction \(\lambda\).
En déduire, pour tout \(x\in\mathbb{R}_+\), une expression de \(R_T(x)\) à l’aide de la fonction \(\lambda\) et d’une intégrale.
Soit \(Z\) une variable aléatoire réelle positive admettant une densité \(g\) continue sur \(\mathbb{R}_+\). On suppose que \(Z\) admet une espérance et on pose : \[\forall t\in\mathbb{R}_+,\ R_Z(t)=\mathbb{P}(Z>t) \quad\text{et}\quad v(t) = t R_Z(t).\]
Montrer que \(v\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+\) et que : \[\forall t\in\mathbb{R}_+,\ tg(t)=R_Z(t)-v'(t).\]
Montrer que : \[\lim_{t\rightarrow +\infty}v(t)=0.\]
En déduire que : \[\mathbb{E}(Z)=\displaystyle \int_0^{+\infty} R_Z(t) \,\mathrm{d}t.\]
On suppose désormais que \(T\) admet une espérance. Soit \(t\) un réel positif fixé; le système ayant fonctionné sans panne jusqu’à la date \(t\), on appelle durée de survie la variable aléatoire \(T_t=T-t\) représentant le temps s’écoulant entre la date \(t\) et la première panne.
On a donc : \[\forall x\in\mathbb{R}_+,\ R_{T_t}(x)=\mathbb{P}(T_t> x)=\mathbb{P}_{[T>t]}(T> t+x).\]
Montrer que : \[\forall x\in\mathbb{R}_+,\ R_{T_t}(x)=\displaystyle \frac{R_T(t+x)}{R_T(t)}.\]
En déduire que : \[\mathbb{E}(T_t)=\displaystyle \frac{1}{R_T(t)}\displaystyle \int_t^{+\infty} R_T(u) \,\mathrm{d}u.\]
Les questions suivantes illustrent les notions introduites précédemment pour des systèmes simples.
On considère dans cette question que le système est composé de deux organes \(1\) et \(2\), dont les durées de vie respectives sont des variables aléatoires \(T_1\) et \(T_2\), indépendantes et suivant des lois exponentielles de paramètres respectifs \(\mu_1\) et \(\mu_2\).
On suppose que les deux organes sont montés en série, ce qui implique que le système tombe en panne dès que l’un d’eux organes tombe en panne. On suppose également que \(T_1\) et \(T_2\) sont indépendantes.
Déterminer la fiabilité du système et son taux de défaillance.
On suppose que les deux organes sont montés en parallèle, ce qui implique que le système tombe en panne quand les deux organes sont en panne.
Déterminer la fiabilité du système.
Soit \(\varphi_{n,\beta}\) la fonction définie par : \[\forall t\in\mathbb{R},\ \varphi_{n,\beta}(t)= \begin{cases} \displaystyle \frac{\beta}{(n-1)!} \left( \beta t \right)^{n-1}\mathrm{e}^{-\beta t}& \text{si } t\geqslant 0\\ \hfill 0 \hfill &\text{si } t< 0 \end{cases}.\] où \(\beta\) est une constante réelle strictement positive et \(n\) un entier naturel non nul.
Vérifier que \(\varphi_{n,\beta}\) est une densité de probabilité.
On suppose que \(T\) a pour densité la fonction \(\varphi_{n,\beta}\) (\(T\) suit une loi d’Erlang). Montrer que la fiabilité à la date \(t\) est : \[R_T(t)=\mathrm{e}^{-\beta t}\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \frac{(\beta t)^k}{k!}.\]
Soit \(\psi_{\beta , \eta }\) la fonction définie par : \[\forall t\in\mathbb{R},\ \psi_{\beta , \eta }(t)=\begin{cases} \displaystyle \frac{\beta }{ \eta } \left( \frac{t }{ \eta } \right)^{\beta - 1}\mathrm{e}^{-{(\frac{t }{ \eta})^\beta}}&\text{si } t\geqslant 0\\ \hfill 0 \hfill &\text{sinon} \end{cases}\]
où \(\beta\) est un réel supérieur ou égal à \(1\) et \(\eta\) un réel strictement positif.
Vérifier que \(\psi_{\beta , \eta }\) est une densité de probabilité.
On suppose que \(T\) a pour densité la fonction \(\psi_{\beta , \eta }\) (\(T\) suit une loi de Weibull). Déterminer la fiabilité \(R_T(t)\) et le taux de défaillance \(\lambda (t)\) à la date \(t\).
En discutant selon la valeur de \(\beta\), déterminer la limite de \(\lambda (t)\) lorsque \(t\) tend vers \({+\infty}\).
On considère maintenant un système dont le fonctionnement est défini comme suit : pour tout réel \(t\) positif, le nombre de pannes qui se produisent dans l’intervalle \([0,t]\) est une variable aléatoire \(N_t\) à valeurs entières. On considère que le système est réparé immédiatement après chaque panne.
On notera en particulier que pour \(s\leqslant t\), on a \(N_s\leqslant N_t\).
On suppose qu’on a les quatre propriétés suivantes
\(N_0=0\) et \(0< \mathbb{P}(N_t=0)<1\) pour tout \(t>0\).
Pour tous réels \(t_0,t_1,\dots ,t_n\) tels que \(0\leqslant t_0<t_1<\dots <t_n\) les variables \(N_{t_0}, N_{t_1}-N_{t_0},N_{t_2}-N_{t_1}, \dots\), \(N_{t_n}-N_{t_{n-1}}\) sont mutuellement indépendantes (accroissements indépendants)
Pour tous réels \(s\) et \(t\) tels que \(0<s<t\), \(N_t-N_s\) suit la même loi que \(N_{t-s}\) (accroissements stationnaires)
\(\displaystyle \lim_{\substack{h\rightarrow 0\\ h>0}} \frac{\mathbb{P}(N_h>1)}{ h}=0\).
Justifier que pour tout \(u \in\mathbb{R}_+\) et pour tout \(s\in [0,1]\), \(s^{N_u}\) admet une espérance et que : \[\mathbb{E}(s^{N_u}) =\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} \mathbb{P}(N_u=k) \,s^k.\]
Dans la suite, on note : \[\forall u\in\mathbb{R}_+,\ \forall s\in [0,1],\ G_u(s) = \mathbb{E}(s^{N_u}).\]
Montrer que : \[\forall (u,v)\in (\mathbb{R}_+)^2,\ \forall s\in [0,1],\ G_{u+v}(s)=G_u(s)\, G_v(s).\]
Soit \(s \in [0,1]\).
Montrer que \(G_1(s)\) est strictement positif. On note alors : \[\theta (s)=-\ln (G_1(s)) \quad\text{et}\quad\forall u\in\mathbb{R}_+,\ \psi (u)=G_u(s).\]
Montrer que : \[\forall k\in\mathbb{N},\ \psi (k)=\mathrm{e}^{-k\theta (s)}.\]
Soit \(q\) un entier naturel non nul. En considérant \(G_\frac{1}{ q}(s)\), montrer que : \[\psi \! \left(\frac{1}{q} \right)=\mathrm{e}^{-\frac{1}{ q}\theta (s)}.\]
Montrer que : \[\forall (p,q)\in\mathbb{N}\times \mathbb{N}^\ast,\ \psi (r)=\mathrm{e}^{-r\theta (s)}\] où l’on a posé : \(\displaystyle r= \frac{p}{ q}\).
Montrer que : \[\forall u\in\mathbb{R}_+,\ G_u(s)=\mathrm{e}^{-u\theta (s)}.\]
En déduire que : \[\forall s\in [0,1],\ \lim_{\substack{h\rightarrow 0 \\h>0}} \frac{G_h(s)-1}{h}=-\theta (s).\]
Montrer par ailleurs que : \[\forall s\in [0,1],\ \forall h\in\mathbb{R}_+^\ast,\ G_h(s)-1=\mathbb{P}(N_h=1)(s-1)+\displaystyle \sum_{k=2}^{+\infty} \left( s^k-1 \right)\mathbb{P}(N_h=k).\]
Montrer que : \[\forall s\in [0,1],\ \lim_{\substack{h\rightarrow 0 \\ h>0}} \frac{ \sum\limits_{k=2}^{+\infty} \left( s^k-1 \right)\mathbb{P}(N_h=k)}{ h}=0\]
En déduire que \(\displaystyle\frac{\mathbb{P}(N_h=1)}{ h}\) admet une limite \(\alpha\) positive ou nulle vérifiant : \[\forall s\in [0,1],\ \theta (s)=\alpha \left( 1-s \right)\]
En considérant \(G_1(0)\), montrer que : \(\alpha >0\).
On fixe un temps \(u>0\). Montrer que : \[\forall s\in [0,1],\ G_u(s)=\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} \mathbb{P}(N_u=k) \, s^k = \displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty} \left[ \mathrm{e}^{-\alpha u} \frac{(\alpha u)^k}{ k!} \right] s^k\]
En déduire que, pour tout \(u>0\), la variable aléatoire \(N_u\) suit la loi de Poisson de paramètre \(\alpha u\).
Une famille de variables aléatoires ayant les mêmes caractéristiques que la famille \(( N_t)_{t\geqslant 0}\) est un processus de Poisson et la constante \(\alpha\) s’appelle le paramètre du processus de Poisson.
Soit \(T\) la variable aléatoire désignant la date de la première panne. Pour tout \(t>0\), comparer les événements \([T>t]\) et \([N_t=0]\). En déduire que \(T\) suit la loi exponentielle de paramètre \(\alpha\).
Soit \(t\in\mathbb{R}_+\). On pose : \[\forall h\in\mathbb{R}_+,\ \widetilde N_h=N_{t+h}-N_t\]
Que représente \(\widetilde N_h\) ?
Montrer que la famille \((\widetilde N_h)_{h\geqslant 0}\) est un processus de Poisson de paramètre \(\alpha\).
En déduire que la première panne survenant après la date \(t\) se produit à une date suivant la loi exponentielle de paramètre \(\alpha\).
En déduire que, pour chaque date \(t\) donnée, le taux de défaillance du système après \(t\) est constant.
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
