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Définitions et notations
Dans tout le problème, \(n\) désigne un entier supérieur ou égal à 1.
On confondra les endomorphismes de \(\mathbb{R}^{n}\) avec leurs matrices associées dans la base canonique de \(\mathbb{R}^{n}\).
De même, on confondra les vecteurs de \(\mathbb{R}^{n}\) avec les matrices colonnes qui les représentent dans la base canonique de \(\mathbb{R}^{n}\).
On dit qu’une matrice \(A=\left(a_{i, j}\right)_{1 \leqslant i, j \leqslant n}\) de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) est à diagonale strictement dominante si elle vérifie la condition : \[\forall i \in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right],\ \left|a_{i, i}\right|>\sum_{ \substack{j=1 \\ j \neq i}}^{n}\left|a_{i, j}\right|\]
Soit \(\left(x_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}}\) une suite de vecteurs de \(\mathbb{R}^{n}\). Pour tout \(k\in\mathbb{N}\), on note \(x_k = (x_i^{(k)})_{1 \leqslant i \leqslant n}\). On dit que la suite \(\left(x_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}}\) converge vers un vecteur \(x=(x_i)_{1\leqslant i \leqslant n}\) de \(\mathbb{R}^n\) si, pour tout \(i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), la suite réelle \(( x_{i}^{(k)}) _{k \in \mathbb{N}}\) converge vers le réel \(x_{i}\).
Soit \(\left(M_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}}\) une suite de matrices de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\). Pour tout \(k\in\mathbb{N}\), on note \(M_{k}= (m_{i, j}^{(k)})_{1 \leqslant i,j \leqslant n}\), on dit que \(\left(M_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}}\) converge vers une matrice \(M= (m_{i, j})_{1 \leqslant i, j \leqslant n}\) de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) si pour tout \((i, j)\) de \(\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]^{2}\), la suite réelle \(( m_{i, j}^{(k)} )_{k \in \mathbb{N}}\) converge vers le réel \(m_{i, j}\).
Soit \(A=\left(a_{i, j}\right)_{1 \leqslant i, j \leqslant n}\) une matrice de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) à diagonale strictement dominante.
On suppose qu’il existe \(x=(x_i)_{1\leqslant i \leqslant n} \in \mathbb{R}^{n}\) tel que : \[x \neq 0,\quad Ax=0 \quad \text{et} \quad \forall i \in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right],\ \left|x_{1}\right| \geqslant \left|x_{i}\right|\]
Montrer qu’il y a une contradiction.
En déduire que \(A\) est inversible.
Soit \(A=\left(a_{i, j}\right)_{1 \leqslant i, j \leqslant n}\) une matrice de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\). On note : \[\forall i \in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right],\ D_{i}=\left\{z \in \mathbb{R},\ \left|z-a_{i, i}\right| \leqslant \sum_{\substack{j=1 \\ j \neq i}}^{n}\left|a_{i, j}\right|\right\}\]
\(D_{i}\) est le \(i^{\mathrm{e} m \mathrm{e}}\) disque de Gershgörin de \(A\). On note enfin \(\displaystyle D=\bigcup_{i=1}^{n} D_{i}\).
Montrer que le spectre de \(A\) est inclus dans \(D\) (théorème de Gershgörin).
Écrire une fonction d’en-tête def DG(A)
en langage Python renvoyant une matrice
d comportant \(n\) lignes et deux colonnes et dont les
coefficients de la \(i^{\grave{e}me}\)
ligne sont le centre et le rayon du \(i^{\grave{e}me}\) disque de Gershgörin
associé à la matrice \(A\).
Exemple. On considère la matrice \(A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}\).
Justifier sans calculs que \(A\) est diagonalisable dans \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\).
À l’aide du théorème de Gershgörin, que peut-on dire des valeurs propres de \(A\) ?
Diagonaliser explicitement la matrice \(A\).
Soit \(A=\left(a_{i, j}\right)_{1 \leqslant i, j \leqslant n}\) une matrice de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\). On suppose que \(A\) vérifie la propriété \((P)\) suivante : \[(P) : \begin{cases} \forall i \in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right], \ a_{i, i}>0 \\ \displaystyle \forall(i, j) \in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]^{2}, i \neq j,\ a_{i, j} \leqslant 0 \rule[0pt]{0pt}{15pt}\\ \displaystyle \forall i \in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right], \ \sum_{j=1}^{n} a_{i, j}>0 \rule[0pt]{0pt}{15pt} \end{cases}\]
Montrer que \(A\) est à diagonale strictement dominante et en déduire qu’elle est inversible.
Soit \(x= (x_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}\) un vecteur de \(\mathbb{R}^{n}\) tel que toutes les coordonnées de \(Ax\) soient positives ou nulles.
Montrer que : \[\forall i \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right], \ x_{i} \geqslant 0\]
On pourra considérer \(\displaystyle x_{i_{0}}=\min _{i \in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]} x_{i}\).
Pour tout \(j\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), on note \(C_j\) la \(j^{\grave{e}me}\) colonne de \(A^{-1}\). Pour tout \(j\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), que vaut \(AC_j\) ?
En déduire que les coefficients de \(A^{-1}\) sont tous positifs ou nuls.
Exemple. On considère de nouveau la matrice \(A= \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}\) et on note : \[\forall \alpha\in\mathbb{R}_+^\ast,\ A_{\alpha}=A+\alpha I_{3}\]
où \(I_{3}\) désigne la matrice identité de \(\mathcal{M}_{3}(\mathbb{R})\). Établir que \(A_{\alpha}\) vérifie la propriété \((P)\) et calculer \(A_{\alpha}^{-1}\).
Soit \(\left(x_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}}\) une suite d’éléments de \(\mathbb{R}^n\) et \(\left(M_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}}\) une suite d’éléments de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\).
Pour tout vecteur \(x=(x_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}\) de \(\mathbb{R}^{n}\), on note : \[m(x)=\max _{i \in \left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]}\left|x_{i}\right|\]
Montrer que la suite de vecteurs \(\left(x_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}}\) converge vers un vecteur \(x\) de \(\mathbb{R}^n\) si et seulement si la suite réelle \(( m(x_k-x))_{k\in\mathbb{N}}\) converge vers \(0\).
Pour toute matrice \(M=(m_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n}\) de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), on note : \[s(M)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \left| m_{i,j} \right|\]
Montrer que la suite \(\left(M_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}}\) converge vers une matrice \(M\) de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) si et seulement si la suite réelle \(( s(M_k-M))_{k\in\mathbb{N}}\) converge vers \(0\).
Montrer que : \[\forall M \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}),\ \forall x \in \mathbb{R}^{n}, \ m(Mx) \leqslant s(M) \times m(x)\]
En déduire que, si la suite \(\left(M_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}}\) converge vers une matrice \(M\) de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\), alors, pour tout vecteur \(x\) de \(\mathbb{R}^{n}\), la suite \(\left(M_{k} x \right)_{k \in \mathbb{N}}\) converge vers \(M x\).
Réciproquement, on suppose que \(M\) est une matrice de \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) et que, que pour tout vecteur \(x\) de \(\mathbb{R}^{n}\), la suite \(\left(M_{k} x\right)_{k \in \mathbb{N}}\) converge vers \(M x\). Montrer que la suite \(\left(M_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}}\) converge vers \(M\).
Prouver que : \[\forall(M, N) \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})^{2}, \ s(M N) \leqslant s(M) \times s(N)\]
Établir alors que : \[\forall(Y, Z) \in\left(\mathbb{R}^{n}\right)^{2},\ m(Y+Z) \leqslant m(Y)+m(Z)\] puis en déduire que : \[\forall(Y, Z) \in\left(\mathbb{R}^{n}\right)^{2}, \ \left| m(Y)-m(Z) \right| \leqslant m(Y-Z)\]
On considère ici une suite de matrices \(\left(M_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}}\), toutes inversibles, qui converge vers une matrice \(M\) inversible.
Soit \(x\) un vecteur de \(\mathbb{R}^{n}\). Montrer que : \[\forall k\in\mathbb{N},\ m (M_{k}^{-1} x-M^{-1} x ) \leqslant s (M^{-1} ) \times s (M-M_{k} ) \times m (M_{k}^{-1} x )\] puis établir que : \[\forall k\in\mathbb{N},\ m (M_{k}^{-1} x )\left[1-s (M^{-1}) \times s( M-M_{k} ) \right] \leqslant m (M^{-1} x)\]
En déduire l’existence d’un entier \(k_{0}\) tel que pour tout entier \(k\) supérieur à \(k_{0}\) : \[m( M_{k}^{-1} x) \leqslant 2 m(M^{-1} x)\]
Montrer alors que la suite \(\left(M_{k}^{-1} x\right)_{k \in \mathbb{N}}\) converge vers \(M^{-1} x\).
Conclure alors que la suite de matrices \(\left(M_{k}^{-1}\right)_{k \in \mathbb{N}}\) converge vers la matrice \(M^{-1}\).
Soient \(M\) une matrice inversible de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) et une suite de matrices \(\left(M_{k}\right)_{k \in \mathbb{N}}\) qui converge vers une matrice \(M\) inversible. On suppose de plus que les matrices \(M_{k}\) vérifient toutes la propriété \((P)\). Montrer que les coefficients de la matrice \(M^{-1}\) sont tous positifs ou nuls.
À partir de maintenant et dans toute la suite du problème, \(A=\left(a_{i, j}\right)_{1 \leqslant i, j \leqslant n}\) désigne la matrice de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\) définie par: \[\forall (i,j) \in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]^2,\ a_{i,j} = \begin{cases} \hspace{0.1cm} 2 &\text{si } j=i \\ -1 & \text{si } j=i+1 \text{ ou } j=i-1 \\ \hspace{0.1cm}0 &\text{sinon} \end{cases}\] On a donc : \[A= \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & \cdots & 0 \\ -1 & 2 & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & 2 & -1 \\ 0 & \vdots & 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}\]
Pour tout vecteur \(x=(x_i)_{1\leqslant i \leqslant n}\) de \(\mathbb{R}^{n}\), calculer \({}^t\!\, x Ax\).
Pour tout \(x=(x_i)_{1\leqslant i \leqslant n}\) appartenant à \(\mathbb{R}^n\), exprimer \({}^t\!\, xAx\) comme somme de carrés puis prouver que \(A\) est inversible.
Établir que, pour tout réel \(\alpha\) strictement positif, la matrice \(A+\alpha I_{n}\), où \(I_{n}\) désigne la matrice identité de \(\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})\), vérifie la propriété \((P)\).
Construire une suite de matrices, vérifiant toutes la propriété \((P)\), qui converge vers \(A\).
En déduire que les coefficients de \(A^{-1}\) sont tous positifs ou nuls.
Dans cette partie, \(f\) désigne une fonction de classe \(\mathcal{C}^2\) sur \([0,1]\), à valeurs dans \(\mathbb{R}\).
On dit qu’une fonction \(u\) vérifie le système \((S)\) si elle vérifie : \[\begin{cases} u \in \mathcal{C}^{2}([0,1], \mathbb{R}) \\ u'' =-f \\ u(0)=u(1)=0 \end{cases}\]
Montrer que \((S)\) admet une unique solution \(u\) et que celle-ci est de classe \(\mathcal{C}^{4}\) sur \([0,1]\).
Montrer que si \(f\) est positive, alors l’unique solution \(u\) du système \((S)\) associé à \(f\) est également positive.
Expliciter la solution \(\widetilde{u}\) de \((S)\) lorsque \(f\) est la fonction constante égale à \(1\). Calculer \(\sup\limits_{[0,1]}\tilde{u}\).
On rappelle que \(n\) est un entier supérieur ou égal à \(1\). On pose \(h=\dfrac{1}{n+1}\) et on considère la subdivision \((x_0,x_1,\dots,x_{n+1})\) du segment \([0,1]\) définie par : \[\forall i\in\left[\kern-0.15em\left[ {0,n+1} \right]\kern-0.15em\right],\ x_i = ih = \frac{i}{n+1}\]
Soit \(u\) une fonction de classe \(\mathcal C^{4}\) sur \([0,1]\) et à valeurs dans \(\mathbb{R}\), \(x \in[0,1]\) tel que \((x+h, x-h) \in[0,1]^{2}\). Justifier que : \[\left| u(x+h)-2\, u(x)+u(x-h)-h^{2} \, u''(x) \right| \leqslant \frac{h^{4}}{12} \, \sup _{[0,1]} \left| u^{(4)} \right|\]
En déduire que :
\[\forall i \in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right],\ \left| u''(x_i) -\frac{1}{h^{2}} \left[ u (x_{i-1} )-2\, u( x_{i} )+u ( x_{i+1} ) \right] \right| \leqslant \frac{h^{2}}{12} \, \sup _{[0,1]} \left| u^{(4)} \right| \tag{1}\]
On reprend la matrice \(A\) étudiée dans la question 7 et on note \(\widetilde{F}\) le vecteur de \(\mathbb{R}^n\) dont les composantes sont toutes égales à \(1\) et \(\widetilde{U}\) le vecteur de \(\mathbb{R}^n\) dont les composantes sont \(\widetilde{u}(x_1),\dots,\widetilde{u}(x_n)\).
Réécrire les inégalités (1) dans le cas où \(u\) est la fonction \(\widetilde{u}\).
Montrer que : \[\frac{1}{h^{2}} \, A \widetilde{U}=\widetilde{F}\]
En déduire, en notant \(A^{-1}=(b_{i,j})_{1\leqslant i,j \leqslant n}\), que les coefficients de \(A^{-1}\) vérifient : \[\forall i \in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right], \ 0 \leqslant \sum_{j=1}^{n} b_{i, j} \leqslant \frac{(n+1)^{2}}{8}=\frac{1}{8 h^{2}}\]
Soit \(f \in \mathcal{C}^{2}([0,1], \mathbb{R})\). On pose : \[\forall i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right],\ f_i = f(x_i)\]
et on note \(F\) le vecteur de \(\mathbb{R}^n\) dont les composantes sont \(f_1,\dots,f_n\). On note alors \(u\) l’unique solution du système \((S)\) associé à \(f\) et : \[U=(u_i)_{1\leqslant i \leqslant n} = h^2 A^{-1} F\]
On note alors : \[\forall i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right],\ \Delta u_i = u_i - u(x_i),\]
et enfin on note \(\Delta U\) le vecteur de \(\mathbb{R}^n\) de composantes \(\Delta u_1,\dots, \Delta u_n\) et \(V= A\Delta U=(v_i)_{1\leqslant i \leqslant n}\).
Montrer que : \[\forall i\in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right],\ \left|v_{i}\right| \leqslant \frac{h^{4}}{12} \, \sup _{[0,1]}\left|f''\right|\]
Donner alors, pour \(i \in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\), une majoration de \(\left|\Delta u_{i}\right|=\left|u_{i}-u\left(x_{i}\right)\right|\) en fonction de \(h\) et \(f''\).
Exemple. On suppose dans cette question que \(f\) est définie par : \[\forall x\in [0,1],\ f(x) = \exp(\sin(x))\]
Montrer que : \[\forall x\in\mathbb{R},\ \left|f''(x) \right| \leqslant 2 \,\mathrm{e}\]
En déduire une première valeur de \(n\) qui garantit \(\left|u_{i}-u\left(x_{i}\right)\right| \leqslant 10^{-4}\) pour tout \(i \in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\).
Étudier la fonction \(x \mapsto\left(x^{2}+x-1\right) \exp (x)\) sur \(\mathbb{R}^+\). En déduire une valeur de \(n\) meilleure que la précédente qui garantit encore \(\left|u_{i}-u\left(x_{i}\right)\right| \leqslant 10^{-4}\) pour tout \(i \in\left[\kern-0.15em\left[ {1,n} \right]\kern-0.15em\right]\).
Le corrigé pas à pas, les aides et les explications sont disponibles dans la plateforme.
